Теормин ТФКП (Теормин)

Определение 1: Система открытых множеств {O}, множество O – открытое, образуетоткрытое покрытие множества E, если ∀z ∈ E ∃O z ∈ {O} : z ∈ O zЛемма Гейне-Бореля: Из любого бесконечного открытого покрытия {O} компакта Eможно выделить конечное подпокрытие.Определение 2: Функция f(z) называется дифференцируемой, если приращение∆f = A∆z + o(1)∆z ; из дифференцируемости следует непрерывность.Условия Коши-Римана: u ′x = v ′y ; u ′y = −v ′xTh Для того, чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была дифференцируема в точке z0=x0+iy0,необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y), v(x,y) были дифференцируемы в точке(x0,y0) и чтобы выполнялись условия Коши-Римана.Определение 3: Отображение f(z) называется конформным в точке z0, если при этомотображении сохраняются углы между гладкими кривыми.Определение 4: Функция f(z) называется аналитической в области D, если она в областиD имеет производную f ′( z ) ∈ C ( D)Классы интегрируемых функций:1.

Класс непрерывных функций2. Класс ограниченных по модулю функций, имеющих на кривой конечное числоточек разрыва3. Класс функций, обладающих I-свойством, т е для любого e>0 найдётся конечноечисло спрямляемых дуг, принадлежащих данной кривой AB, и таких что суммадлин этих дуг меньше e.Th Жордана: Замкнутая жорданова кривая Г разбивает комплексную область С на 2области. Одна область D Г = int Г (внутренние точки Г) – ограниченная область и еёграницей является Г, вторая область С \ D Г - неограниченная, содержит ∞ и её границейтакже является Г.Определение 5: Область D ⊂ C - односвязная область, если её граница dD – замкнутое,связное множество.

Область D называется конечно-связной или n-связной, n>1, если еёграница состоит из конечного (из n) числа замкнутых связных компонент. В любомдругом случае область D – бесконечно связная.Интегральная теорема Коши: Пусть D – односвязная область и f ( z ) ∈ Α( D) . Тогда длялюбого контура Γ ⊂ D∫ f ( z )dz = 0ΓОбобщение Th Коши для конечно-связной области: Если D – ограниченная, конечносвязная область, граница которой состоит из (n+1) компонент: ∂D = Γ ∪ γ 1 ∪ ... ∪ γ n , гдеГ , γ 1 ,..., γ n не пересекаются и внутри Г содержатся γ 1 ,..., γ n . Тогда если f ( z ) ∈ A( D) , то∫f ( z )dz = 0;∂D∫ΓЛеммаnf ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dzЖордана:i =1 γ iПустьD = {z : Im z ≥ a}, f ( z ) ∈ C ( D ∩ { z ≥ R0 }), lim f ( z ) = 0.

Тогдаz →∞ ,z∈Dlim ∫ e imz f ( z )dz = 0, где m > 0, C R = D ∩ {z : z = R}R →∞CRИнтегральная формула Коши: Пусть D – область, функция f ( z ) ∈ Α( D) , контур Γ ⊂ D ,причём int Г ( D Г ) также принадлежит D. Тогда имеет место формула1 f (ξ )dξf ( z0 ) =2πi ∫Γ ξ − z 01Th Интеграл типа Коши – F(z) – есть аналитическая функция, при этом она имеетn!f (ξ )dξпроизводную любого порядка, равную F ( n ) ( z ) =∫2πi Γ (ξ − z ) ( n +1)∂2∂2+∂x 2 ∂y 2Определение 6: Функция u(x,y) дважды непрерывно дифференцируемая в области D иудовлетворяющая условию ∆u = 0 называется гармонической.Принципмаксимумамодуляаналитическойфункции:Пустьа ( я ) ∈ Α( D), M = sup f ( z ) , f ( z ) ≠ const , тогда для любой точки z∈D слкдует |f(z)|<MОператор Лапласа: ∆ =z∈DСледствие: Пусть D – ограниченная область и f ( z ) ∈ Α( D) ∩ C ( D). Тогда |f(z)| достигаетмаксимума на границе области.Принцип максимума гармонической функции:Пусть функция u(x,y) гармонична вобласти D, u ( x, y ) ≠ const , M = sup u ( x, y ), m = inf u ( x, y ) .

Тогда для любой точки (x,y) ∈ DDDсправедливы неравенства m<u(x,y)<MСледствие: Пусть D – ограниченная область и u ( x, y ) ∈ C ( D) и гармонична в D. Тогдамаксимум и минимум функции u(x,y) достигается на границе области D.αTh Лиувилля: Пусть f ( z ) ∈ Α(C ) и существуют α > 0, M > 0 : ∀z ∈ C → f ( z ) ≤ M z .Тогда f(z) – многочлен, степень которого не превышает целой части α - [ α ]Определение 7: Функциональный ряд∞∑fn =1если ряд∞∑fn =1nn( z ) сходится равномерно внутри области D,( z ) сходится равномерно на любом компакте K ⊂ D.Первая Th Вейерштрасса: Пусть ∀n ∈ N f n ( z ) ∈ A( D) и ∀ компакта K ⊂ D ряд∞∑fn =1n( z)сходится равномерно к f(z) на K.

Тогда1) f ( z ) ∈ A( D)∞2) f ( k ) ( z ) = ∑ f n( k ) ( z )n =1∞Ряд∑fn =1(k )nВторая( z ) сходится равномерно внутри области D.Вейерштрасса:Thn ∈ N f n ( z ) ∈ Α( D) ∩ C ( D). , ряд∞Тогда ряд∑fn =1nПусть∞∑fn =1(k )nD-ограниченнаяобласть,длялюбого( z ) сходится равномерно на границе dD области D.( z ) сходится равномерно в ( D ) к некоторой функции f ( z ) ∈ Α( D) ∩ C ( D).∞Первая Th Абеля: Если ряд∑an =1n( z − z 0 ) n сходится в точке z1 ≠ z0 , то он сходится вточке z : z − z 0 < z1 − z 0 , причём абсолютно.Th Коши-Адамара: Если R=0 (т е lim n a n = ∞ ), то рядn→∞∞∑an =1n( z − z 0 ) n сходится только вточке z0.

Если R=inf (т е lim n a n = 0 ), то ряд сходится абсолютно во всей комплекснойn→∞2плоскости C и равномерно внутри C. Если 0<R<inf, то ряд сходится абсолютно внутрикруга z − z 0 < R , равномерно внутри круга; вне замкнутого круга расходится.Th Тейлора: Пусть функция f(z)∈A(D) и точка z0∈D. Пусть ρ = ρ ( z 0 , ∂D) > 0 (р можетравняться inf). Тогда функцию f(z) можно разложить в степенной ряд∞f ( z ) = ∑ a n ( z − z 0 ) n , z ∈ {z : z − z 0 < ρ} , ряд сходится равномерно внутри круга, при этом(z0 ).

Из вида коэффициентов an следует, что разложение функции f(z) вn!степенной ряд единственно.Определение 8: Точка z0 называется нулём кратности k аналитической функции f(z), еслиf ( z 0 ) = 0, f ′( z 0 ) = 0,..., f ( k −1) ( z 0 ) = 0, f ( k ) ( z 0 ) ≠ 0.Th единственности: Пусть функции f(z), g(z) ∈ A(D), последовательность{z n } ∈ D, z i ≠ z j , i ≠ j и такая, что существует предельная точка z0 ∈ D. Тогда, еслиan =fn =0( n)f ( z k ) = g ( z k ) ∀k ∈ N , то f ( z ) ≡ g ( z ), z ∈ DTh (принцип непрерывности): Пусть функции f1(z) и f2(z) таковы, чтоf1 ( z ) ∈ A( D1 ) ∩ C ( D1 ∪ Γ), f 2 ( z ) ∈ A( D2 ) ∩ C ( D2 ∪ Γ), f1 ( z ) = f 2 ( z ), z ∈ ΓТогда существует функция f ( z ) ∈ A( D), D = D1 ∪ D2 ∪ Γ. Функция f(z) имеет вид⎧ f1 ( z ), z ∈ D1⎪f ( z ) = ⎨ f 2 ( z ), z ∈ D2⎪ f = f ,z∈Γ2⎩ 1При этом говорят, что функция f1(z) аналитически продолжается в область D2 черезграницу Г.Определение 9: Точка ς ∈ {| z − z 0 |= R} называется правильной точкой или регулярной∞для суммы ряда f ( z ) = ∑ a n ( z − z 0 ) n , если существует функция F ( z ) ∈ A(U δ (ς )), δ > 0 иn =0такая, что f ( z ) = F ( z ), z ∈ U δ (ς ) ∩ {| z − z 0 |< R} .

В любом другом случае точкаς ∈ {| z − z 0 |= R} называется особой точкой, лежащей на границе круга сходимостистепенного ряда.Th Пусть радиус сходимости степенного ряда∞∑an =0n( z − z 0 ) n ограничен (0<R<inf), тогдана границе круга сходимости лежит, по крайней мере, одна особая точка.Ряд вида∞∑an = −∞n( z − z 0 ) n , где {an} – последовательность комплексных чисел, называетсярядом Лорана. Он сходится в точке z, если сходятся одновременно два ряда∞∑ an ( z − z 0 ) n (правильная часть) иn =0−1∑an = −∞n( z − z 0 ) n (главная часть)Th Лорана: Пусть функция f(z)∈A(r<|z-z0|<R), тогда функцию f(z) можно разложить врядf ( z) =∞∑an = −∞n( z − z 0 ) n , r < z − z 0 < R , ряд сходится равномерно внутри кольца;разложение в ряд Лорана единственно, при этом1f (ξ )dξ, n = 0,±1,±2,..., r < ρ < Ran =∫2πi ξ − z0 = ρ (ξ − z 0 ) n +1<классификация особых точек>3Th Сохоцкого-Вейерштрасса: Пусть точка z0-существенно особая точка функции f(z),тогда Ε δ = C , где Ε δ - множество значений функции f(z) в окрестности 0 < z − z 0 < δ < rОпределение 10: Функция f(z) называется мероморфной в области D, если в области Dфункция f(z) имеет только изолированные особые точки, являющиеся полюсами.1Определение 11: Вычетом функции f(z) в точке z0 называется интегралf (ξ )dξ и2πi ∫Γ1обозначается res f ( z ) =f (ξ )dξz = z02πi ∫ΓTh о вычетах: Пусть ограниченная область D с границей dD, являющейся контуром,такова, что точки z1,z2,…,zn∈D – изолированные особые точки функции f(z) иf ( z ) ∈ Α( D \ {z1 , z 2 ,..., z n }) ∩ C (∂D) .

Тогдаn1f(ξ)dξ=res f ( z )∑z = zk2πi ∂∫Dk =14.