Глава 2a (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций)

Глава 2. Простейшие детерминированные моделиПри изучении различных физических явлений и процессов математическими методамиво многих случаях удается получить дифференциальное уравнение, решение которогохарактеризует исследуемый процесс. Как правило, это дифференциальные уравнения вчастных производных, причем в большинстве случаев второго порядка. Такие уравненияподразделяются на три основные группы, описывающие качественно различныефизические процессы.

Уравнения гиперболического типа описывают колебательныепроцессы. Уравнения параболического типа описывают процессы переноса тепла ивещества. Уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы, которые независят от времени.Дифференциальные уравнения выполняются внутри (или снаружи) области, в которойищется решение.1. Начальные и граничные условия. Условия сопряженияДифференциальные уравнения с обыкновенными, а тем более частными производными имеютбесконечное множество решений. Для однозначного определения процесса кроме уравнениянеобходимо задать еще некоторые дополнительные условия.Определение. Математическая задача поставлена корректно (по Адамару), если:1) решение задачи существует;2) решение задачи единственно;3) решение задачи устойчиво (то есть непрерывно зависит от входных данных).Задавая дополнительные условия, нужно помнить, что эти условия должны обеспечиватьсуществование решения (задача не должна быть переопределенной) и единственность решения(задача не должна быть недоопределенной).

Желательно также, чтобы выполнялось и условиеустойчивости решения (что бывает далеко не всегда).Рассмотрим основные типы дополнительных условий.1) Начальные условия. Определяют состояние системы в некоторый выделенный моментвремени, который считается «начальным» (обычно берут t=0). В случае уравненийгиперболического типа, содержащих вторую производную по времени, нужно задать дваначальных условия, которые накладываются на функцию решения и ее первую производнуюпо времени.Уравнения параболического типа содержат первую производную по времени, поэтому длянего ставится одно начальное условие, накладываемое на решение.

Решение уравненияэллиптического типа не зависит от времени, потому для него начальное условие не ставится.2) Граничные (краевые) условия. Определяют состояние решения на границе области, вкоторой ищется решение. Рассмотрим линейные граничные условия. Если, например,изучается процесс колебания струны, то ее концы могут быть закреплены (условие Дирихле),быть свободными (условие Неймана) или быть упруго закрепленными (условие Робена).Граничные условия могут быть более сложными, например, содержать производные повремени.

Нелинейные граничные условия оказываются еще более сложными.Возможны предельные случаи граничных условий. Пусть точка (M,t), в которой ищетсярешение, расположена «далеко» от границы в том смысле, что возмущение, вышедшее из этоточки, за промежуток времени0<t<Tв силу конечности скорости распространениявозмущения не успевает дойти до границы, то есть в точке (M,t), где 0< t < T, «граница нечувствуется».В этом случае приходим к задаче во всем пространстве. Возможен также вариант, когда одниграницы «чувствуются», а другие «не чувствуются», в частности, можно получить внешнююкраевую задачу. Во всех этих случаях для обеспечения единственности решения внешнихкраевых задач необходимо поставить дополнительные условия на бесконечности, что поройявляется весьма непростым делом.Отметим, что задача в неограниченной области с условиями на бесконечности обычноназывается задачей Коши или начальной задачей.3) Условия сопряжения.

Если коэффициенты уравнения кусочно-непрерывные функции(например, когда характеристики среды, заполняющей область D, в которой ищется решение,кусочно-непрерывны), то в точках разрыва (первого рода) коэффициентов ставятся условиясопряжения. Например, в задаче о распространении тепла в точке разрыва ставятся дваусловия сопряжения: непрерывность температуры и непрерывность потоков тепла, приусловии отсутствия тепловых источников на границе (если на границе раздела сред естьисточник тепла, то разность тепловых потоков пропорциональна мощности этого источника).2. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа1) Малые продольные колебания упругого стержняРассмотрим стержень, расположенный в положении равновесия вдоль оси Ох от точки х=0до точки х=l.Введем следующие обозначения.1) Мы будем рассматривать продольные колебания при которых все точки одного сеченияиспытывают одно и то же отклонение.

В этом случае каждое сечение можно описывать однойкоординатой.Для описания процесса колебания стержня можно воспользоватьсяпеременными Эйлера, или переменными Лагранжа. В переменных Эйлера каждая физическаяточка стержня в разные моменты времени характеризуетcя координатой X(t). В переменныхЛагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего процесса характеризуетcя одной итой же геометрической координатой x, которую эта точка имела в положении равновесия.Физическая точка, занимавшая в начальный момент (в состоянии равновесия) положение х,в любой поcледующий момент времени находится в точке с координатой Х(t)=х+u(х, t), где X–переменная Эйлера.

Связь между переменными Лагранжа и Эйлера имеет вид: х=Х(t)-U(X,t).2) Мы будем предполагать, что в пределах сечения свойства стержня постоянны иобозначим линейную плотность стержня как ρ ( х ).3) Малыми мы будем называть такие продольные колебания стержня, при которыхнатяжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука: F(x,t) = k(x) ε ( x, t ) ,где относительное удлинениеε ( x, t )∆x ) ′(= lim,∆x → 0∆xF( ∆х )=′ { х + ∆х + u ( x + ∆x, t )} − { x + u ( x, t )} − ∆x=u ( x + ∆x, t ) − u ( x, t ) -.абсолютное удлинение, откуда относительное удлинение равно:ε ( х, t ) = u x ( x, t ) .4) Через f ( x, t )обозначим плотность продольной внешней силы , приложенной кстержню.Будем применять следующее правило знаков: силу, с которой часть стержня,расположеннаяправеевыделенногосечения,действуетначастьрасположенную левее данного сечения, будем учитывать со знаком плюс, астержня,силу, скоторой часть стержня, расположенная левее выделенного сечения, действует на частьстержня, расположенную правее данного сечения, будем учитывать со знаком минус,Для вывода уравнения о малых продольных колебаниях упругого стержня воспользуемсятеоремой об изменении количества движения: изменениевыделенного участка ∆x стержня за время∆tколичества движенияравно импульсу действующих на него сил:x +∆x∫ ρ (ξ ) ( u (ξ , t + ∆t ) ) − u (ξ , t ) ) dξ =ttxt +∆t=t +∆t∫ {k ( x + ∆x ) u ( x + ∆x,τ ) − k ( x ) u ( x,τ )}dτ + ∫xtxtdτx +∆x∫ f (ξ ,τ )dξxВ дальнейшем будем предполагать, что все входящие в последнюю формулу функции( x, t ) дважды непрерывно дифференцируемапо х и t, функция k ( x ) непрерывно дифференцируема, а функции ρ ( x ) и f ( x, t )обладают достаточной гладкостью: функция uнепрерывны.Воспользуемся формулой среднего значения:ρ ( x ) ( ut ( x , t + ∆t ) − ut ( x , t ) ) ∆x ==где( k ( x + ∆x ) u ( x + ∆x, t ) − k ( x ) u ( x, t ) ) ∆t + f ( x , t ) ∆x∆t ,xxx , x ∈ [ x, x + ∆x ] , t , t ∈ [t , t + ∆t ] .Поделив на∆x∆t и переходя к пределу при∆x → 0, ∆t → 0,уравнение колебаний на конечном отрезке:ρ ( x ) utt ( x, t )=( k ( x ) u ( x, t ) )xx+ f ( x, t ) .получим одномерноеЕсли стержень однородный ( k ( x ) = k0 ,ρ ( x ) = ρ0 ), то уравнение колебаний примет вид:=utt ( x, t ) a 2u xx ( x, t ) + F ( x, t ) ,гдеF ( x, t )=k01f ( x, t ) , a 2.=ρ0ρ0Построенное уравнение для малых продольных колебаний упругого стержня являетсяуравнением гиперболического типа.Поставим начально-краевую задачу, моделирующую процесс малых продольных колебанийупругого стержня.ρ =( x ) utt ( x, t ) ( k ( x ) ux ( x, t ) ) x + f ( x, t ) ,u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,=ut ( x, 0 ) ψ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,=u ( 0, t )= 0, u ( l , t )= 0, t ∈ [0, ∞).x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,Модель включает в себя уравнение колебаний, которое выполняется в области x ∈ ( 0, l ) ,t ∈ ( 0, ∞ ) , два начальных условия и два граничных условия первого рода (условия Дирихле)на левом и правом концах стержня.

Данная модель является детерминированнойдифференциальной математической моделью.Полученное уравнение колебаний является уравнением гиперболического типа.Определение. Функцияu ( x, t )называется классическим решением поставленнойначально-краевой задачи, если она:1) дважды непрерывно дифференцируема по х и по t в области x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,непрерывна по х и непрерывно дифференцируема по t в области x ∈ [ 0, l ] , t ∈ [0, ∞),2) удовлетворяет уравнению в классическом смысле (подстановка u (x,t) в уравнениеприводит его к тождеству),3) непрерывно примыкает к начальным и граничным условиям.Необходимым условием существование классического решения поставленной начальнокраевой задачи являетсяусловие согласования начальных и граничных условий:=ϕ ( 0 ) 0,=ϕ ( l ) 0,=ψ ( 0 ) 0,=ψ ( l ) 0.2) Различные виды граничных условийРассмотрим более подробно постановку различных типов линейных граничных условий напримере начально-краевой задачи, моделирующей процесс малых продольных колебанийупругого стержня длины l .