Глава 2a (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций), страница 3

Будемиспользовать систему СИ, в которой уравнения Максвелла имеют вид:∂D( ст )Hjj=++,rot∂trotE = − ∂B ,∂tdivD = ρ ,divB = 0.Здесьj– плотность тока проводимости,плотность зарядов.j(ст )-плотность сторонних токов, ρ - объемнаяК восьми скалярным уравнениям добавим материальные уравнения=D ε=B µ а H,а E,110−9 Ф / м =ε а ε 0ε − абсолютная диэлектрическая проницаемость, ε 0 =36π=µ0 4π 10−7 Г / м −электрическая постоянная, =µa µ0 µ − абсолютная магнитная проницаемость,гдемагнитная постоянная.Плотность тока проводимости j связана с вектором E,уравнением, выражающим закон Ома вдифференциальной форме:j = σ E, где ε −проводимость среды.Поскольку по предположению среда является однородной и изотропной, то величиныε а , µа , σявляются постоянными скалярными величинами.Первое уравнение Максвелла∂D+ j + j( ст )rotH=∂tявляется количественнымвыражением следующего положения: переменное во времени электрическое поле взываеттакое же магнитное поле, как и ток проводимости с объемной плотностью jc =плотность тока смещения.Второе уравнение Максвелла rotE = −∂B∂t∂D, где j c∂tявляется обобщенным выражением законаФарадея в дифференциальной форме: изменение во времени магнитного поля в токе Мприводит к появлению в той же точке электромагнитного поля, изменяющегося впространстве.Закон электромагнитной индукции Фарадея: при изменении магнитного поля,проходящего через замкнутый проводник, в последнем возникает э.д.с., пропорциональнаяскорости изменения потока.

Всякое изменение магнитного поля вызывает появлениевихревого электрического поля.Третье уравнение МаксвеллаdivD = ρследствием экспериментально установленногозакона Кулона и показывает, что источником электрического поля являются электрическиезаряды. Это есть дифференциальная форма теоремы Гаусса.Теорема Гаусса: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхностьравен алгебраической сумме зарядов в объеме, ограниченном этой поверхностью.Четвертое уравнение МаксвеллаdivB = 0показывает, что магнитное поле имеетвихревой характер и силовые линии вектора магнитной индукции всегда замкнутые.Подействуем на правую и левую части первого уравнения Максвелла операторомучтем формулу=rot rotH grad divH − ∇ 2 H .rotиВ результате получим:∂=rotrotH ε а rotE + σ rotE +=rot j( ст ) graddivH − ∇ 2 H.∂tУчитывая, что rotE = − µ ∂Hа∂tи divH= 0 , получим векторное уравнение колебаний:∂2H∂H=∇ 2 H + rot j( ст )ε а µа 2 + σµа∂t∂tВ декартовой прямоугольной системе координат данное уравнение можно записатьпокомпонентно, причем для каждой компоненты H x , H y , H z получается скалярноеволновое уравнение видаα=∂ 2u∂u2+=∆u + f ( M , t ) ,aα2∂t∂tσ1=, a2, α − коэффициент затухания,εаε а µаaгде- скорость электромагнитных волн.6) Телеграфные уравненияРассмотрим прохождение тока по проводу с распределенными параметрами.

Введем обозначения:i − сила тока; u −напряжение; R – сопротивление, рассчитанное . наединицу длины;L–коэффициент самоиндукции, рассчитанный на единицу длины; C - коэффициент ёмкости,рассчитанный на единицу длины; G-коэффициент утечки, рассчитанный на единицу длины.Применим закон Ома к участку провода длиной dx: падение напряжения на элементе проводадлиной dx равняется сумме электродвижущих сил:−u x dx = iRdx + it Ldx.Количество электричества, притекающего на элемент провода dx за время dt:−ix dxdti ( x, t ) − i ( x + dx, t )  dt =равно сумме количества электричества, необходимого для зарядки элемента dx, иколичества, теряющегося вследствие несовершенства изоляции:C u ( x, t + dt ) − u ( x, t )  dx + Gdxvdt =( Cut + Gu ) dxdt ,причем величина потерь считается пропорциональной напряжению в рассматриваемой точкепровода.Из полученных формул следует система телеграфных уравнений:0,ix + Cut + Gu =0.u x + Lit + Ri =Замечание.

Полученные телеграфные уравнения являются приближенными в рамках теорииэлектромагнитного поля, поскольку они не учитывают электромагнитные колебания всреде, окружающем провод.Получим из системы телеграфных уравнений одно уравнение относительно тока i,предполагая, что все введенные коэффициенты являются постоянными, то есть провододнородный.Продифференцируем первое из телеграфных уравнений по xа второе уравнение умножим на С и продифференцируем по t:ixx + Cutx + Gu x =0,Cu xt + CLitt + Rit =0.Вычитая из первого уравнения второе, получимixx + Gu x − CLitt − CRit =0.− Lit − Ri, получим уравнение для силы тока:Подставив в полученное уравнение u x =ixx = CLitt + ( CR + GL ) it + GRi.Аналогично получается уравнение для напряжения (дифференцируем второе уравнение пох. первое умножаем на L, дифференцируем по t и вычитаем из продифференцированного по хвторого):u xx = CLutt + ( CR + GL ) ut + GRu.Уравнения для силы тока и напряжения носят название телеграфных уравнений.Если можно пренебречь потерями через изоляцию (G ≅ 0) и если сопротивление оченьмало ( R ≅ 0), то мы приходим к уравнению колебаний:=itt a=ixx , utt a=u xx , a221LC.Рассмотрим начально-краевые задачи для определения силы и напряжения переменноготока, идущего вдоль тонкого однородного провода с непрерывно распределенными по длинепараметрами.

Поскольку провод является однородным, то значения параметров R, C, L, G независят от того, в какой точке мы эти параметры рассматриваем. Предполагаем, что заданначальный ток i ( x, 0 ) = ϕ ( x ) и начальное напряжение u ( x, 0 ) = f ( x ) . Рассмотрим различныевиды граничных условий.а) Левый конец провода заземлен, а к правому приложена э.д.с. E ( t ) :u xx= CLutt + ( CR + GL ) ut + GRu , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,−Gf ( x ) − ϕ ′ ( x ), x ∈ ( 0, l ) ,=( x ) , ut ( x, 0 )u ( x, 0 ) f=Cu ( 0,=t ) 0, u (=l , t ) E ( t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .Замечание. Для получения второго начального условия для функцииu ( x, t )необходимовоспользоваться вторым уравнением системы телеграфных уравнений, записав−ix ( x, 0 ) − Gu ( x, 0 )ut ( x, 0 ) =,Cа также начальными условиями=i ( x, 0 ) ϕ=( x ) , u ( x, 0 ) f ( x ) .При этом, чтобы воспользоваться вторым телеграфным уравнением в точкепредположить, что это уравнение выполняется приt = 0.t = 0 нужноНо в определении классическогорешения требуется, чтобы уравнение выполнялось только на открытой полупрямой: t ∈Поэтому мы раcширяем понятие рещения, считая, что уравнения выполняются при( 0, ∞ ) .t ∈ [ 0, ∞).b) Поставить начально-краевую задачу об электрических колебаниях впроводеспренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если концы провода заземлены: левыйчерез сосредоточенное сопротивление R0 , а правый через сосредоточенную ёмкость C0 .Начально краевая задача для системы телеграфных уравнений при R ≅ 0, G ≅ 0 имеетследующий вид:u x + Lit = 0, ix + Cut = 0, x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,u ( x, 0 ) f ( x ) , =i ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,=0, t ) R0i ( 0, t ) , C0 vt (=l , t ) i ( l , t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .−u (=Замечание.

Граничные условия получаются из соотношенияdi 1∆v= R0i + L0 +idt.∫dt C0С помощью данного соотношения определяется падение напряжения при переходе черезпоследовательно включенные сосредоточенные сопротивление R0 , самоиндукцию L0 и=ёмкость C0 . Например, для конца x = 0 провода имеем 0 − u( 0, t ) R0i ( 0, t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,где 0 − u ( 0, t ) означает разность потенциалов земли (принимается равным нулю) и концапровода.Для напряжения начально-краевая задача имеет вид:122=a,utt a u xx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,=CL1f ( x ) , ut ( x, 0 ) =− ϕ ′ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,u ( x, 0 ) =C R0u x ( 0, t ) =Lut ( 0, t ) , LC0utt ( l , t ) =−u x ( l , t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .Для тока начально-краевая задача имеет вид:122,=aitt a ixx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) , =CL1− f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,ϕ ( x ) , it ( x, 0 ) =i ( x, 0 ) =Lix ( 0, t ) = CR0it ( 0, t ) , C0ix ( l , t ) + Ci ( l , t ) = 0, t ∈ ( 0, ∞ ) .с)Граничныеусловия:левыйконецпровода()самоиндукцию L0, а к правому концу приложена1сосредоточенную самоиндукцию L(0 ) .2заземленэлектродвижущаячерезсиласосредоточеннуюE (t )Сопротивление и утечка проводов являютсяпренебрежимо малыми.Начально-краевая задача для системы телеграфных уравнений имеет вид:.черезu x + Lit = 0, ix + Cut = 0, x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,u ( x, 0 ) f ( x ) , =i ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,=(1)( 2)−u ( 0, t ) L0 it ( 0, t ) , u ( l , t=) − E ( t ) L0 it ( l , t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .=Для напряжения начально-краевая задача имеет вид:122,=autt a u xx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,=CL1− ϕ ′ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,f ( x ) , ut ( x, 0 ) =u ( x, 0 ) =C( 2) L(01)u x ( 0, t ) − Lu =0,0,tL( l , t ) LE ( t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .( )0 u x ( l , t ) + Lu=Для тока начально-краевая задача имеет вид:122,=aitt a ixx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) , =CL1− f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,ϕ ( x ) , it ( x, 0 ) =i ( x, 0 ) =L( 2)CL(01)itt ( 0, t ) =−CE ′ ( t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .ix ( 0, t ) , CL0 itt ( l , t ) + ix ( l , t ) =d) Граничные условия: оба конца провода заземлены через сосредоточенные сопротивления.Сопротивление и утечка провода не являются пренебрежимо малыми.Начально-краевая задача для системы телеграфных уравнений имеет вид:u x + Lit + Ri= 0, ix + Cut + Gu= 0, x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,u ( x, 0 ) f ( x ) , =i ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ,=( 2)(1)−u ( 0, t ) R0 i ( 0, t ) ,=u ( l , t ) R0 i ( l , t ) , t ∈ ( 0, ∞ ) .=Для напряжения начально-краевая задача имеет вид:u xx= CLutt + ( CR + GL ) ut + GRu , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,−Gf ( x ) − ϕ ′ ( x )u x, 0 =−, x ∈ ( 0, l ) , ( ) f ( x ) , ut ( x, 0 ) =Cu 0, t − L u 0, t − R u 0, t = x ( ) R (1) t ( ) R (1) ( ) 0,00LRu x ( l , t ) + ( 2) ut ( L, t ) + ( 2) u ( L, t ) = 0, t ∈ ( 0, ∞ ) .R0R0Для тока начально-краевая задача имеет вид:ixx= CLitt + ( CR + GL ) it + GRi, x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,− Rϕ ( x ) − f ′ ( x ), x ∈ ( 0, l ) ,=( x ) , it ( x, 0 )i ( x, 0 ) ϕ=Li ( 0, t ) − CR (1)i ( 0, t ) − GR (1)i ( 0, t ) =0,0 t0xix ( l , t ) + CR0( 2)it ( l , t ) + GR0( 2)i ( l, t ) = 0, t ∈ ( 0, ∞ ) .7) Уравнения малых акустических колебаний в сплошной средеВо многих задачах газодинамики газ можно рассматривать как сплошную среду.

При этом,говоря о бесконечно малом объеме, предполагается, чтообъем мал по сравнению схарактерными размерами системы, но содержит очень большое число молекул. Когдаговорят о движении частицы газа, то имеют в виду, не движение отдельной молекулы газа, асмещение элемента объема, содержащего много молекул, но который в газодинамикерассматривается как точка.Пусть газ движется о скоростью V ( M , t ) = V ( x, y, z , t ) , проекциикоторой на осикоординат обозначим vx , v y , vz . Отметим, что V ( M , t ) есть cкорость газа в данной точке Mпространства и времени t .Таким образом скорость V ( M , t ) относится к определенным точкам пространства, а не копределенным частицам газа, перемещающемся в пространстве.Вводим:ρ ( M , t ) плотность газа, p ( M , t ) - давление, F ( M , t ) - плотность внешнихдействующих сил, рассчитанных на единицу массы.Введенные нами координаты называются координатами Эйлера.Уравнение движения газа.Выделим элементарный объем газа∆Vс границе∆S .Используя формулы Остроградского, равнодействующую сил давления приложенных кповерхности∆S можно записать следующим образом:− ∫ pndσ =− ∫ grad p dV ,∆Sгде n - единичный вектор внешней нормали к поверхности ∆V .∆VЗамечание.