Глава 1 (А.Н. Боголюбов - Презентации лекций)

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕПрофессор А.Н.БоголюбовЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?Моделирование не является единственным методом изученияокружающего мира. Существует целая область знания - методология,которая специально занимается изучением методов познания.Из всеобщих методов в истории познания известны два:диалектический и метафизический. Это общефилософские методы.С середины XIX века метафизический метод начал все большевытесняться из естествознания диалектическим методом.Классификация общенаучных методов тесно связана с понятиемуровней научного познания. Различают два уровня научногопознания: эмпирический и теоретический.

Одни общенаучные методыприменяются только на эмпирическом уровне (наблюдение, эксперимент,измерение), другие – только на теоретическом (идеализация,формализация).Но есть общенаучные методы, которые используются как наэмпирическом уровне, так и на теоретическом. Таким общенаучнымметодом является моделирование.Моделирование – метод познания окружающего мира, которыйможно отнести к общенаучным методам, применяемым как наэмпирическом, так и на теоретическом уровне познания. Припостроении и исследовании модели могут применяться практическивсе остальные методы познания.Под моделью понимается такой материальный или мысленнопредставляемый объект, который в процессе познания (изучения)замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данногоисследования типичные его черты. Процесс построения ииспользования модели называется моделированием.Другими словами, модель – это объект-заменитель объектаоригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующихисследователя свойств оригинала.Любая модель нетождественна объекту-оригиналу, поскольку при еепостроении исследователь учитывал лишь важнейшие с его точки зренияфакторы.

В этом отношении любая модель является неполной.«Полная» модель, очевидно, будет полностью тождественна оригиналу(Норберт Винер: наилучшей моделью кота является другой кот, а ещелучше – тот же самый кот).Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могутслужить основой для прогнозирования поведения или свойствисследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту.Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятыхкритериев. Идеально адекватная модель принципиально невозможна всилу неполноты модели.Использование моделирования на эмпирическом и теоретическомуровнях исследования приводит к делению (условному) моделей наматериальные и идеальные.Материальное моделирование – это моделирование, при которомисследование объекта происходит с использованием его материальногоаналога воспроизводящего основные физические, геометрические,динамические и функциональные характеристики данного объекта.Основными разновидностями материального моделированияявляется натурное и аналоговое.Натурное моделирование – это такое моделирование, при которомреальному объекту ставится в соответствие его увеличенный илиуменьшенный материальный аналог, допускающий исследование спомощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов иявлений с модели на объект на основе теории подобия.Аналоговое моделирование – это моделирование, основанное нааналогии процессов и явлений, имеющих различную физическуюприроду, но одинаково описываемых формально (одними и теми жематематическими соотношениями, логическими и структурнымисхемами).Фактически процесс исследования моделей данного типа сводится кпроведению ряда натурных экспериментов, где вместо реального объектаиспользуется его физическая или аналоговая модель.К примерам натурного моделирования можно отнести макеты вархитектуре, модели судов в судостроении.

Следует отметить, чтоименно с натурных моделей судов в середине XIX века моделированиестало развиваться как научная дисциплина, а сами модели – активноиспользовался при проектировании новых технических устройств.Середина XIX века связана в судостроении с окончанием эпохи парусныхсудов и началом эпохи парового флота.

Оказалось, что использованиепаровых машин требует принципиального изменения конструкции судов.В первую очередь это осознали строители военных кораблей. Какизвестно, в условиях морского сражения время жизни судна зависитглавным образом от его маневренности и скорости. Для парусных судов врезультате многовекового опыта были выработаны оптимальныесочетания формы корпуса и парусов.

Для кораблей с паровой машинойскорость определяется в значительной степени мощностью паровоймашины. В тот период тепло для машин получали от сжигания угля втопках котлов.Поэтому чем выше требуемая мощность машины, тем большее числокотлов необходимо использовать и иметь на судне больший запас угля.Все это утяжеляло судно и снижало его скорость, сводя к нулевомуэффекту увеличение мощности машины.Учитывая, что строительство одного крейсера занимало несколько лет,а его стоимость была весьма значительной, можно понять стремлениесудостроителей найти более быстрый и дешевый по сравнению страдиционным методом проб и ошибок способ поиска оптимальныхпараметров судна.

Выход был найден в моделировании. Протягивая вбассейне небольшие модели будущих судов и измеряя силусопротивления, конструкторы нашли рациональные решения, как поформе корпуса судна, так и по мощности силовой установки. Внастоящее время методы натурного моделирования находят самоеширокоеприменениевсудостроении,авиастроении,автомобилестроении, ракетостроении и других областях. Например, приразработке нового самолета большое значение имеют эксперименты снатурными моделями, испытываемыми в аэродинамической трубе.Проведенные исследования позволяют изучить особенности обтеканияфюзеляжа воздушными потоками, найти наиболее рациональную формукорпуса и отдельных узлов. Натурные модели используются и приисследовании причин крупных аварий и катастроф.

Активноприменяются натурные модели в сочетании с другими методамимоделирования (например, компьютерного) при съемке кинофильмов.Так, на съемках американского фильма «Титаник» для сцен гибеликорабля было использовано более десяти моделей судов.В основу аналогового моделирования положено совпадениематематических описаний различных объектов. Примерамианалоговых моделей могут служить электрические и механическиеколебания, которые с точки зрения математики описываютсяодинаковымисоотношениями,ноотносятсяккачественноотличающимся физическим процессам. Поэтому изучение механическихколебаний можно вести с помощью электрической схемы, и наоборот.При некоторых допущениях аналогичными можно считать процессыраспространения тепла в теле, диффузии примесей и просачиванияжидкости.К числу интересных примера можно отнести известную в теорииупругости аналогию Прандтля, который показал, что уравнения дляфункции напряжений (по которой простым дифференцированием покоординатам определяются компоненты тензора напряжений) в задаче окручении стержня произвольного поперечного сечения идентичныуравнениям, определяющим прогиб нерастяжимой мембраны, натянутона упругий контур той же формы, под действием равномерного давления.Это позволит заменить отнюдь не простые эксперименты поопределению компонент тензора напряжений в скручиваемом стержнепростыми измерениями прогиба мембраны.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕМатематическое моделирование – третий путь познания.А.Н.ТихоновМатематическое моделирование – это идеальное научное знаковоеформальное моделирование, при котором описание объектаосуществляется на языке математики, а исследование модели проводитсяс использованием тех или иных математических методов.В настоящее время математическое моделирование это один из самыхрезультативных и наиболее часто применяемых методов научногоисследования.

Фактически все современные разделы физики посвященыпостроению и исследованию математических моделей различныхфизических объектов и явлений.Так физики - «ядерщики» до проведения экспериментов выполняютсерьезные исследования с применением математических моделей.При этом на основании теоретического моделирования разрабатываетсяи уточняется методика натурных экспериментов, выясняется, какиеэффекты, где и когда следует ожидать, когда и что регистрировать.

Такойподход позволяет значительно снизить затраты на проведениеэксперимента, повысить его эффективность.Как правило значительные успехи в биологии и химии в последнеевремя были связаны с разработкой и исследованием математическихмоделей для биологических систем и химических процессов.Идут активные работы по созданию математических моделей вэкологии, экономике и социологии.Огромную роль играет использование математических моделей вмедицине и промышленности.Появилась возможность на научной, то есть логически обоснованнойоснове подходить ко многим экологическим и медицинским проблемам:имплантации и замене различных органов, прогнозирование развитияэпидемий, обоснования планов ликвидации последствий крупных аварийи катастроф.Очень часто методы математического моделирования являютсяединственно возможными.Приведем два примера.Всестороннее математическое моделирование и «проигрывание»различных вариантов на ЭВМ позволило в кратчайшие срокиобоснованно спланировать и преступить к реализации плана ликвидациипоследствий Чернобыльской катастрофы.Уникальные результаты были получены по проекту «Гея», связанному сматематическим моделированием последствий ядерной войны.

Былопоказано, что в результате сильного запыления атмосферы возможнозначительное глобальное похолодание («ядерная зима») и связанное сэтим практическое вымирание всего живого.По сравнению с натурным моделированиеммоделирование имеет следующие преимущества:математическое1)экономичность (в частности, сбережение ресурсов реальнойсистемы);2)возможность моделирования гипотетических, то есть не реализуемыхв природе объектов (прежде всего на разных этапах проектирования);3)возможностьреализациирежимовопасныхилитрудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерногореактора, работа системы противоракетной обороны);4)возможностьизменениямасштабоввремени;простотамногоаспектного анализа;5)большая прогностическая сила вследствие возможности выявленияобщих закономерностей;6)универсальность технического и программного обеспеченияпроводимой работы (ЭВМ, системы программирования ипакетыприкладных программ широкого назначения).Элементы математического моделирования использовались с самогоначала появления точных наук: слово «алгоритм» происходит от именисредневекового арабского ученого Аль-Хорезми (аль Хорезми АбуАбдала Мухамед бен Мусса аль Маджуси, 787 г.

– ок. 850 г.).Второе рождение математического моделирования пришлось на конец40-х – начало 50-х годов XX века и было обусловлено в основном двумяпричинами.Первая из них – появление первых компьютеров. Вторая – социальныйзаказ – выполнение национальных программ СССР и США по созданиюракетно-ядерного щита, который не мог быть выполнен традиционнымиметодами.Математическое моделирование блестяще справилось с этойзадачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников былипредварительноосуществленывнедрахЭВМспомощьюматематических моделей и лишь затем претворены на практике.Сейчасматематическоемоделированиевступаетвтретийпринципиально важный этап своего развития, встраиваясь в структуруинформационного общества. «Сырая информация» обычно мало чтодает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за ихисполнением.Нужнынадежныеспособыпереработкиинформационного сырья в готовый продукт – точные знания.Основные этапы метода математическогомоделирования1.