№2 (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуМОДЕЛИРОВАНИЕЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРИПОМОЩИ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЫ(теоретическое введение к задаче №1 из раздела«Электричесво и магнетизм»)Доцент Пустовалов Г.Е.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.2МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЫЦелью задачи является изучение электростатического поля, создаваемогоэлектродами различной формы в плоском случае1. В частности, может бытьисследовано поведение эквипотенциальных поверхностей и линийнапряженности вблизи поверхности проводника.

В задаче рассматриваютсятакже принципы моделирования физических явлений.Принадлежности: ванна с водой, набор электродов, цифровойвольтметр с зондом.МоделированиеЗадача о движении зарядов в электрическом полеДля ряда практических целей (расчета электронно-лучевых трубоктелевизоров и осциллографов, фотоумножителей, электронных ламп и т.д.)нужно знать, как движутся электрические заряды в электрическом поле,создаваемом заряженными проводниками различной формы (электродами).Подобные задачи решаются в два этапа. Сначала по известным зарядам (илиизвестным потенциалам) электродов определяется напряженностьэлектрического поля в каждойточке пространства. Если известнанапряженность, то по формуле f qE легко найти силу, действующую назаряд, находящийся в данной точке пространства2.

Нахождение движения(траектории, скорости) заряда по известным силам при заданных начальныхусловиях является второй частью задачи, решение которой относится уже кобласти механики и может быть выполнено с помощью законов Ньютона.Расчет электрического поля при сложной форме электродов являетсявесьма трудоемкой математической задачей, требующей при вычислении наЭВМ большой затраты машинного времени.

При помощи моделированиянаглядные качественные, а иногда и достаточно точные количественныехарактеристики электрического поля могут быть получены заметно быстрееи с меньшими затратами.Моделированием называется замена изучения какого-либо явления внастоящих условиях изучением его при помощи тех или иных моделей, вусловиях, специально подобранных для удобства экспериментирования. Приэтом, кроме изменения размеров тел, участвующих в явлении, и материалов,из которых они изготовлены, часто исследуемый процесс может бытьзаменен другим, который либо зависит от наиболее важных для данногоявления величин, либо имеет совсем другую природу, но сходное1Плоскими случаями называют случаи, когда какая-либо физическая величина зависиттолько от двух декартовых координат и не меняет своего значения при изменении третьейкоординаты (при условии, что две первые остаются постоянными).2Предполагается, что сами движущиеся заряды не вносят заметного вклада вэлектрическое поле, что, однако, не всегда справедливо.3математическое описание (например, изучение механических колебанийможет быть в ряде случаев заменено изучением электрических).Электролитическая ваннаДля изучения распределения электрического поля между электродамиразличной формы часто используется электролитическая ванна - сосуд,заполненныйслабопроводящейэлектрическийтокжидкостью(электролитом).

В жидкость погружены металлические электроды. Припомощи источника ЭДС между электродами поддерживается необходимаяразность потенциалов. При этом в жидкости между электродами возникаетэлектрический ток, представляющий собой движение ионов. Вследствиесопротивления со стороны молекул жидкости движение ионов можетпроисходить лишь в том случае, если во всех точках их траекторий на нихдействует сила со стороны электрического поля, возникающего вокругэлектродов.Электрическое поле в проводнике, по которому течет ток (в том числе ив электролите), вообще говоря, отличается от электрического поляпроводника, внутри которого движения зарядов не происходит. В частности,если заряды неподвижны, то потенциал всех точек проводника одинаков.Если же заряды движутся, то согласно закону Ома, вдоль проводника внаправлении движения зарядов должно существовать падение потенциала,пропорциональное сопротивлению проводника.

Однако в металлическихэлектродах, благодаря их незначительному сопротивлению по сравнению ссопротивлением электролита, падение потенциала очень мало. Поэтому, хотяток, текущий через ванну, проходит и по электродам, можно считать, что вовсех точках каждого электрода потенциал один и тот же. Таким образом,поверхности электродов можно принять за эквипотенциальные поверхности,как это должно быть в случае электростатики.С другой стороны, как было показано в методической разработке 3 внастоящем сборнике, однородный проводник, по которому течет ток, внутриэлектрически нейтрален.

Некомпенсированные заряды могут находитьсялишь в местах неоднородности вещества, образующего проводник. В случаеэлектролитической ванны такими местами являются границы междуэлектродами и электролитом. Поэтому заряды, которыми определяетсяэлектрическое поле между электродами, распределены по поверхностямэлектродов так же, как они распределялись бы, если бы между электродамибыл вакуум.Таким образом, задача о нахождении электростатического поля в пустомпространстве между электродами, имеющими заданные потенциалы, можетбыть заменена задачей о нахождении электрического поля, возникающегомежду электродами в электролитической ванне при прохождении тока черезэлектролит при условии, что электроды имеют те же потенциалы.

При этомможно сначала найти потенциал каждой точки пространства, заполненногоэлектролитом, а затем вычислить значения напряженности электрическогополя.4ПодобиеДля того чтобы можно было по значениям какой-либо физическойвеличины, найденным на модели, судить о ее значениях для моделируемогообъекта (оригинала), нужно знать соотношения между этими значениями.Обычно модели изготовляются не в натуральную величину, а больше илименьше оригинала в некоторое число раз, но обязательно с соблюдениемгеометрического подобия. Геометрическое подобие заключается в том, чтоотношение расстояния между двумя любыми точками модели к расстояниюмежду соответственными точками оригинала должно быть постояннойвеличиной.

Кроме геометрического подобия должны быть выполненыусловия подобия для всех величин, характеризующих данную задачу. Этозначит, что отношение значений физической величины для модели кзначениям той же физической величины для оригинала должно бытьпостоянным (во всех соответственных точках модели и оригинала и длясоответственных моментов времени3.

Величина этого отношения называетсякоэффициентом подобия. Конечно, для разных физических величинкоэффициенты подобия могут быть различными. Вообще говоря, не всегдаудается одновременно удовлетворить условиям подобия для всех физическихвеличин, характеризующих данную задачу. В таком случае приходится либоотказываться от моделирования, либо уменьшать число величин, т.е.характеризовать задачу не полностью.При моделировании электростатического поля при помощиэлектролитической ванны могут быть изменены по сравнению с оригиналомкак размеры электродов, так и значения потенциалов на них. Условияподобия для электрического поля в пространстве между электродамивыполняются легко.

Они заключаются в следующем. При изменении внесколько раз всех размеров электродов и одновременно во столько же разрасстояний между ними, если значения потенциалов электродов неменяются, потенциалы соответственных точек модели и оригинала будуттакже одинаковы. При этом напряженность электрического поля согласноUформуле Eбудет меняться обратно пропорционально линейнымlразмерам. С другой стороны, при сохранении размеров электродов ирасстояний между ними, но при одновременном изменении потенциалов всехэлектродов в одно и то же число раз потенциалы всех точек пространствамежду электродами изменяются в то же число раз. Напряженностьэлектрического поля в этом случае меняется прямо пропорциональнопотенциалам электродов.Изоляторы в электролитической ванне. Влияние стенокНаправления движения зарядов (линии тока) и линии напряженностиэлектрического поля в электролите согласно закону Ома в3При моделировании может быть изменен также и масштаб времени, т.е.

изменена в однои то же число раз скорость протекания всех процессов.5дифференциальной форме jE совпадают. Если в электролитическуюванну поместить изолятор, то движущиеся в электролите заряды будутобходить его, перемещаясь вдоль поверхности изолятора. Поэтому линиинапряженности, проходящие в электролите вблизи поверхности изолятора,также идут вдоль этой поверхности. Между тем, известно, что вэлектростатическом случае линии напряженности проходят внутрь изолятора(диэлектрика), преломляясь на его поверхности.

Таким образом, поведениелиний напряженности в случаях, когда диэлектрик помещен в пустоту (илинепроводящую среду) или когда он помещен в электролит, совершенноразлично. Следовательно, моделировать изменения электрического поля,вызванные помещением диэлектрика в пространство между электродами, припомощи электролитической ванны, вообще говоря, нельзя.Если стенки ванны изготовлены из изолятора, то линии тока и линиинапряженности электрического поля вблизи стенок будут направлены вдольних, а эквипотенциальные поверхности будут перпендикулярны стенкам.Поэтому вблизи стенок картина поля искажается по сравнению с полем внеограниченной среде.