Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - Lecture 9 (Лекции Козлова)

1 Ëåêöèÿ 91.1 Òåîðåìà Âåéëÿ î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèèÂâåäåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü Tn - n -ìåðíûé òîð, ïàðàìåòðèçîâàííûé nóãëîâûìè ïåðåìåííûìè {x1 , . . . , xn mod2π}Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå T : xj 7→ xj + αj (mod2π) , îíî çàäàåòñÿ ÷èñëàìè α1 , . . . , αn .∀x 7→ x, T x, T 2 x, . . .

- îðáèòà (òðàåêòîðèÿ) òî÷êè x .Òåîðåìà(Âåéëÿ): Ïóñòü m1 α1 + . . . + mn αn + m0 2π = 0 ⇔ m1 = m2 =R. . . = mn = m0 = 0 ,1nïóñòü f : Tn → R - èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. Òîãäà f (T m x) −→ (2π)nTn f (x)d x, m → ∞ðàâíîìåðíî ïî x .Ñëåäñòâèå 1: Òðàåêòîðèÿ (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü) T k x, k = 0, 1, 2 . . . ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíàïî Tn ïðè âñåõ x .Ñëåäñòâèå 2: (Êðîíåêåð) Ïóñòü α1 , . . . , αn ; β1 , .

. . , βn - çàäàíû, ïðè÷åì α1 , . . . , αn , 1 ðàöèîíàëüíî íåñîèçìåðèìû. Òîãäà ∀ε íåðàâåíñòâî |pαj + βj + qj (mod1)| < ε, 1 ≤ j ≤ nèìååò áåñêîíå÷íî ìíîãîðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ p, q1 , . . . , qn .Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíûé àíàëîã.Ïóñòü f : Tn → R - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ω íàáîð ÷àñòîò{ω1 , . . . , ωn } , ãäå ωi = const . Åñëè äâèæåíèå çàäàåòñÿ óðâíåíèÿìè xj = ωj t + x0j , 1 ≤ j ≤ n, òî òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèì.Íàáîð ÷àñòîò ω íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì, åñëè âûïîëíåíà ñëåäóþùàÿ èìïëèêàöèÿ:k1 ω1 + · · · + kn ωn = 0 ⇔ kj = 0∀j ∈ 1, n .Ôóíêöèÿ f (ω1 t + x01 , . .

. , ωn t + x0n ) íàçûâàåòñÿ óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ïî t .Âîçüìåì ôèêñèðîâàííûéíåðåçîíàíñíûé íàáîð ÷àñòîò è ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:RτI(t, x0 ) = 0 f (ω1 t + x01 , . . . , ωn t + x0n ) dtÒåîðåìà: I(t, x0 )R= λτ + o(τ ) , ∀x0 ∈ Tn ,1nλ = const = (2π)nTn f (x) d x =< f > .Çàìå÷àíèå: Òåîðåìà Âåéëÿ èìååò åùå òàêóþ ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó:0)limτ →∞ I(τ,x= λ, ∀x0 ∈ Tn .τÒåîðåìà (Áîëÿ î çíàêîïîñòîÿíñòâå èíòåãðàëîâ îò óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèõôóíêöèé): Åñëè ÷àñòîòû ðàöèîíàëüíî íåñîèçìåðèìû, < f >= 0 òî ñóùåñòâóåò òî÷êàx01 (x02 ) òàêàÿ, ÷òî I(t, x0 ) ≥ (≤)0, ∀t ∈ R, f (x0i ) = 0, (i = 1, 2) .R x Ïðèìåð: Ïóñòü n = 1 , òîãäà f (x + 2π) = f (x), ∀x ∈ R, < f >= 0 .

Òîãäà ∃x0 :f (z) dz ≥ 0, f (x0 ) = 0.x0Ðàññìîòðèì:fR = cos x ⇒< cos x >= 0xcos z dz = sin x − sin x0 . Òðåáóåòñÿ, ÷òîáû: sin x − sin x0 ≥ 0 ⇒ sin x0 = −1 ⇒ cos x0 =x00.Ñäåëàåì çàìåíóR x âðåìåíè:R x−x00z = t + x , x0 f (z) dz = 0f (t + x0 ) dt .Ïîïîëó÷àåì:R x ôîðìóëå Íüþòîíà - Ëåéáíèöà0f(z)dz=F(x)−F(x),F(x)=f (x) , F (x + 2π) = F (x) ò < f >= 0 .0x0Ìîæíî âçÿòü x01 = xmin , x02 = xmax - òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè F .

Ïðèìåðäåéñòâèòåëüíî èëëþñòðèðóåò òåîðåìó Áîëÿ â ñëó÷àå n = 1Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áîëÿ:1. Ïóñòü ñíà÷àëà f - òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì, îáîçíà÷èì k = (k1 , . . . , kn ) ∈ Zn .P0P0 PÒîãäà f (x) = |k|≤N fk ei(k,x) , ãäå ââåäåíî ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå äëÿ ñóììû= k6=0 .PnÑ÷èòàåì, ÷òî (k, x) = j=1 kj xj .P0P0 n ∂gfkÐàññìîòðèì g(x) = |k|≤N i(k,ω)ei(k,x) . j=1ω = f ⇒ [g(ωt + x0 )˙] = f (ωt + x0 )∂xj jI(τ, x0 ) = g(ωτ + x0 ) − g(x0 ) Ïóñòü x0 = xmin - òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè g(x) ⇒∀τ I(τ, x0 ) ≥ 0 ⇒ f (x0 ) = 02 . Ïðèìåíèì òåîðåìó Âåéåðøòðàññà, òî åñòü âîçüìåì ∀f - ïðîèçâîëüíóþ íåïðåðûâíóþ1ôóíêöèþ, ïóñòü åùå âûïîëíåíî, ÷òî: < f >= 0 . Òîãäà ∀ε > 0, ε = mñóùåñòâóåòòðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì ∃fm (x), < fm (x) >= 0 òàêîé ÷òî: maxx∈Tn |f (x) − fm (x)| <ε = m1RτÐàññìîòðèì Im (τ, x0 ) = 0 fm (ωt + x0 ) dt èç ïðåäûäóùåãî⇒ ∃x0m : Im (τ, x0m ) ≥ 00∀τ, fm (xm ) = 0 .

Ìîæåì âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü x0mn → x0 , (n → ∞) .Âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:∀τ : I(τ, x0 ) ≥ 0 è f (x0 ) = 0 .Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ôèêñèðîâàííîì τ âûïîëíÿåòñÿ: Imk (τ, x0mk ) → I(τ, x0 ), k → ∞ .¤Óïðàæíåíèå: Ïóñòü ω1 , . . . , ωn ðàöèîíàëüíî ñîèçìåðèìû è < f >= 0 . Òîãäà ∃ õîòÿáû äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè òàêèå, ÷òî:I(τ, x0 ) ≥ 0(≤ 0)∀τ f (x0 ) = 0Ïðèìåð: ωj = 0 ⇒ I(τ, x0 ) = τ f (x0 ), f (x0 ) R= 0τÏóñòü òåïåðü n = 2 , ðàññìîòðèì: I(τ, x01 , x02 ) = 0 f (ω1 t+x01 , ω2 t+x02 ) dt . Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî ωω12 - èððàöèîíàëüíî è < f >= 0 .

Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà: Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C 2 (R2 ) , òî ∀ε > 0 è T > 0 ñóùåñòâóåò ∃τ > T òàêîå, ÷òî:I(τ, x0 ) < ε, ∀x0 ∈ T2Âîïðîñ: À ÷òî áóäåò äëÿ n = 3 ?.