Задача 5. Спектр водорода. Тонкая структура головной линии серии Бальмера. (Задачи атомного практикума), страница 2

Из(16) видно, что постоянная тонкой структуры определяет масштаб релятивистской энергетической поправки, сдвигающей2−3уровни атома вниз на величину ∆ E ≅ α E ≅ 10эВ.Учет спин-орбитального взаимодействия приведет к качественно иному результату - расщеплению уровней. Механизмспин-орбитального взаимодействия обусловлен наличием уэлектрона магнитного спинового момента связанного с механическим спиновым моментом импульса; этот собственный момент импульса не зависит от состояния движения (перемещения) электрона и является присущим электрону «свойством», таким, как его масса и заряд .Собственный (спиновый)магнитный момент электрона направлен противоположно механическому (заряд электрона отрицателен) и равен11→µs = −→2SeПодставляя в (20) электрическое поле ядра(17)2mc→здесь S - механический спиновый момент импульса, множи-→→E = Z e r r 3 находим, что магнитное поле коллинеарно ор→битальному моменту импульса l :тель 2, выражающий аномальные гиромагнитные свойства спина, является эмпирическим фактором (гиромагнитный фактордля орбитального движения равен 1).

Как всякий момент импульса, спиновый момент согласно квантовой механике имеетсвойство:→ 2 2S =h s( s +1 ) ;(18)→H =→ → →elr ⋅p = Z32 m c r32mcr ZeВ системе отсчета, связанной с электроном и движущейся вместе с ним в электрическом поле ядра, индуцируется магнитное поле обусловленное движением (в этой системе!) заряженного ядра. При v << c это поле есть :→ 1  → →H =  E ⋅v c →1 → → H = E ⋅v 2c (20)Энергия взаимодействия спинового магнитного момента(17) с этим полем (20) - энергия спин-орбитального взаимодей-22ствия - одинакова (с точностью до членов ~ v / c ) в обеихсистемах координат - связанных и с электроном и с ядром:)Для энергии спин-орбитального взаимодействия, такимобразом, получаем :2 e δU (r ) = Z ls2mc( 19 )Вообще говоря, эта формула справедлива для инерциальнойсистемы отсчета ; учет ускорения электрона приводит к появлению в формуле множителя 1/2 – фактора Томаса - Френкеля.(22)разумеется, орбитальный момент импульса ( как и всякий момент импульса ! ) имеет свойство→ 2l= h 2 l l +1 .(23)(s = 1 / 2 - спиновое квантовое число электрона.;→→1r32 l ⋅s;(24)Существенно, что это взаимодействие зависит от угла между→→моментами импульса l и s .Квантовая механика дает следующий рецепт для вычисления скалярного произведения моментов: квадраты моментовв выражении для квадрата суммарного (полного) момента импульса2222→j→ →=l+s→=l+→→→s+ 2⋅ l ⋅ s→ →δ U = − µ s ⋅H12(21)следует заменить их значениями, выраженными через квантовые числа моментов132( )2( )2( )→→h j j + 1 = h l l +1 + h s s +1 + 2⋅ l ⋅ s.

(25)Подставляя (25) в (24) и усредняя затем полученноевыражение по положениям электрона найдем величину энергии спин-орбитального взаимодействия :2 eh  <δ Els = Z > nl [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s ( s + 1 )] ;r3 2mc1(26)здесь e h / 2 m c = µ - магнетон Бора. Эта поправка к энергииуровня «выглядит как» энергия взаимодействия точечных магнитных моментов, равных магнетону Бора, разнесенных на расстояние ~ r , механизм же спин-орбитального взаимодействия,описанный выше, не соответствует концепции точечных магнитных моментов.Воспользовавшись формулами (15), получим окончательное выражение для энергии спин-орбитального взаимодействия :δ E l s = E0( α Z ) 2 j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s (s + 1)n2 l (l + 1 / 2 )( l + 1 )результатом являются два значения поправки (27) для каждогозначения l и, следовательно, расщепление уровня энергии сзаданными квантовыми числами( Enl = E0 + δ E p )на два уровня с различными величинами полного момента им2пульса j .

Из формулы (27) видно, что δ El s ≅ α E0 . Такимобразом, оба эффекта - собственно релятивистский и связанныйсо спин-орбитальным взаимодействием имеют один и тот же по−32рядок величины: α E ≅ 10эB ; энергетическая поправка0δE должна быть учтена, следовательно, совместно с реляти-()lsвистской поправкой при определении энергии электрона в атоме.Таким образом, энергия атома равнаE = E0 + δ E p + δ El s .(30)Подставляя в (30) соотношения (16), (27), для обоих возможныхзначений полного момента j = l ± 1 / 2 получим :E n , j = E0 + ∆ El s = E0 + δ E p + δ El s =.(27)Зависимость от угла между взаимодействующими моментами→ →l и s проявляется в (27) в величине квантового числа суммарного момента j , а именно, в зависимости от взаимной ори→→ентации l и s квантовое число j (для одного электрона) α 2 Z 2  13 = E0 1 +−n  j + 1/ 24 n Таким образом, суммарная поправка есть2∆E n , j = δ E p + ∆ El s = E0= − Ryможет принимать два значенияj = l + s = l + 1/ 2 ;j = l − s = l −1/ 2 ;n, l(28)(29).(31)α Z4 n313 −  = j + 1 / 2 4n α 2Z 4 n313  .− j + 1 / 2 4n (32)Отметим, что сдвинутые и расщепленные релятивистскимиэффектами уровни оказываются ниже бальмеровскогоEn = − Ry / n 2 .

Таким образом, вследствие влияния обоих факторов все уровни одноэлектронного атома, согласно (31) расще-1415пляются на два подуровня по числу возможных значений квантового числа j , ( s -уровни не расщепляются, j имеет единственное значениеj=масштаб мал ( ≈ αs = 1/2 ). Это расщепление, поскольку его2E0 ; α = 1 / 137 ), называется тонкимрасщеплением. Поэтому безразмерная постоянная α , определяющая масштаб расщепления, называется постоянной тонкойструктуры.

Из (31, 32) следует, что величина расщепленияуровня (разность энергий между подуровнями j = l + 1 / 2 и1j = l − 1 / 2 одного и того же уровня n , l ) равна :2∆ E j1 j 2 = Ryα 2Z 4n31.l(l +1)(33)jГлавное квантовое число n определяет в первом, самом грубом,приближении энергию электрона в атоме и принимает значенияиз натурального ряда:n = 1, 2, 3, ... .(35)l , определяющее величинуквадрата момента количества движенияно условиемl = 0, 1, 2, ..., n − 1.h 2 l ( l + 1 ) , ограниче(36)При заданном n имеется n состояний, отличающихся величиной квантового числа l.

Состояния одного электрона, отличаю-16l =012345.....символсостоянияspdfgh.....Квантовое число полного момента импульса j (внутреннее квантовое число) определяет величину квадрата полного момента2импульса электрона в атоме h j ( j + 1) и принимает значенияj = l ± 1/ 2 .Из (33) видно, что величина расщепления уровня сильно зависит4от заряда ядра ( ~ Z ) и быстро убывает с увеличением главно32го ( ~ 1 / n ) и орбитального ( ~ 1 / l ) квантовых чисел .Согласно современной теории атома (это частично видноиз изложенного выше) состояние электрона в атоме может бытьзадано набором из четырех квантовых чисел, например:n, l , j , m.(34)Орбитальное квантовое числощиеся величиной орбитального квантового числа, принято обозначать строчными латинскими буквами в соответствии со схемой:Магнитное квантовое число mj определяет величинупроекции полного момента импульса электрона на какое-либонаправление (например, на направление магнитного поля) ипринимает, при заданном j значения :mj = j , j - 1 , .....

, - j .(38)2 j + 1 значение.Если внешних полей нет, то, несмотря на то, что состояние движения электрона в атоме характеризуется четырьмяквантовыми числами, энергия электрона в атоме водорода зависит от двух квантовых чисел n и j , (см.(31)).Для обозначения состояния одного электрона в атомеприменяется специальная символика, то есть, определеннаяформа записи набора квантовых чисел. Записывается главноеквантовое число, затем строчная латинская буква, соответствующая орбитальному квантовому числу, внизу справа отэтой буквы - значение внутреннего квантового числа j :то естьnljОсновное состояние электрона в атоме водорода есть:1s1/2 ,этому соответствуют квантовые числа: n = 1, l = 0, j = 1/2 .Схема энергетических уровней атома водорода с учетомтонкой структуры изображена на рис.2.

Обратим внимание наравенство энергий уровней с одинаковым полным момен-17том импульса и одинаковым главным квантовым числом см.(31).Оптические переходы из одного состояния в другое подчиняются правилам отбора. Для электрических дипольных переходов (см. § 28 в [2] ) эти правила гласят :∆ n - произвольно ;∆ l = ±1 ;∆ j = 0, ± 1 .(39)Если атом водорода находится в основном состоянии 1 s1/2 , топри возбуждении, согласно правилам отбора, возможны переходы только в p -состояния и, тем самым, возможно появление линий серии Лаймана 1 s - n p ; линии серии Лаймана - дублеты(см. рис.2).Линии серии Бальмера возникают при переходах 2p - ns,2s - np , 2p – nd , n = 3,4,5,.… При этом, в согласии с правиламиотбора, линии серии Бальмера обладают более сложной структурой, чем линии серии Лаймана.