Задача 17. Лазер на рубине. (Задачи атомного практикума), страница 2

Очевидно, что сумманаселенностей всех состояний равна полному числу атомов N вединице объема вещества. Изменение плотности энергии излученияв пучке происходит только за счет вынужденных переходов 1 → 2 и2 → 1 . Вероятность спонтанного излучения в весьма малый телесный угол, в котором распространяется пучок, исчезающе мала. Поэтому приращение энергии излучения за счет вынужденных переходов в единице объема веществаg∆ρ = W1 изл − W0 изл =  N 2 − 2 N1  ρω B 21 hω 21 d t =g1gg=  N 2 − 2 N1  ρωc σ12 d t =  N 2 − 2 N1  ρωσ12 d xg1g1,(23)или, если уровни невырождены,∆ρ = ( N 2 − N1 ) ρωc σ12 d t = ( N 2 − N1 ) ρωσ12 d x ,где dx = c dt - пройденное излучением расстояние.10(24)Величина B hωggχ =  N 2 − 2 N1  σ12 =  N 2 − 2 N1  21 12g1g1c(25)называется коэффициентом усиления.Из (23) следует, что если χ > 0 , то излучение будет веществом усиливаться; если χ < 0 , то , по мере распространения излучения в среде, интенсивность его будет уменьшаться, то есть будетиметь место поглощение излучения.

Таким образом, для того, чтобыизлучение усиливалось, необходимо выполнение условияN2 >g2N ,g1 1(26)или, в случае невырожденных уровнейN 2 > N1.(27)В тех случаях, когда выполняются условия (26) и (27), говорят, чтоимеет место инверсная населенность уровней. Из (26), (27) следует, что для того, чтобы среда усиливала излучение, число атомов ввозбужденном состоянии должно быть больше числа их в нижнемсостоянии.О ширине спектральной линииОдним из основных понятий спектрального анализа являетсяпонятие ширины спектральной линии.

Ширина спектральной линии- диапазон частот, в котором излучает или поглощает излучение некоторая квантовая система (атом, молекула и т.д.). Спектр излучения или поглощения атомарного газа - линейчатый, т.е. состоит изотдельных резких линий. Прибор большой разрешающей силы позволяет установить, что спектральные линии имеют конечную ширину. Обычно под шириной спектральной линии ∆ ω понимаютрасстояние между двумя точками ее контура, соответствующимиинтенсивности, равной 0,5 максимальной (см.рис.2). Половину этойвеличины называют – ”полушириной” линии (см.[1] гл.YII, 83).11Рис.

2. Форма контура спектральной линии .Спектральная линия (атома, молекулы) не является строго монохроматичной хотя бы потому, что энергия возбужденного уровня неявляется строго определенной величиной. Согласно соотношениюнеопределенностей энергия уровня, имеющего конечное время жизни, не имеет точного значения, а определена лишь с точностью довеличины ширины уровня:∆E ≈h/τ .(28)Таким образом, спектральная линия излучения изолированного покоящегося атома должна иметь ширину∆ω ≈ 2π/ τ(29)Эту величину часто называют естественной шириной спектральной линии. Обычно спектральные линии значительно уширены.Это связано с целым рядом причин. Если излучающий атом движется относительно спектрографа, последний зарегистрирует частоту,сдвинутую относительно частоты излучения покоящегося атома ω 0vcна величину, обусловленную эффектом Доплера ∆ ω D ≈ ω 0 , v скорость атома относительно прибора.

В случае, когда атомы излучающего вещества движутся с тепловыми скоростями, соответствующая доплеровская ширина спектральной линии будет∆ω = ω 0vTc,, где v T - тепловая скорость атомов. Строгий расчет12дает для ширины доплеровского контура величину (см.

[1], гл.YII84)2 ω 0  2 RT ln 2 ∆ω D ≈c  M 1/ 2,(30)где R -газовая постоянная; M - атомный вес. В шкале длин волн доплеровская ширина линии равна2 λ  2 RT ln 2  1 / 2T0∆ λD ≈= 7 ,16 ⋅ 10 − 7 λ 0 Mc  M1/ 2,(31)где длина волны λ выражена в сантиметрах.Другим важным механизмом уширения, проявляющимся, восновном, в твердых телах, является сдвиг и уширение атомныхуровней при взаимодействии атомов между собой. Колеблясь околоположения равновесия в узлах решетки твердого тела, атом испытывает изменяющееся во времени воздействие своих соседей по решетке.

Энергия атомных уровней от этого изменяется, уровни сдвигаются и уширяются, причем, как правило, на величину, значительно превышающую собственную (естественную) ширину уровня, определяемую временем жизни. В момент излучения атомы тела могутоказаться в различных местах решетки и иметь, соответственно,различные энергии уровней. Ширина линии излучения в этом случаеопределяется взаимодействием излучающих атомов с соседями порешетке. Эту ширину часто называют по методу ее наблюдения шириной линии люминесценции. От величины ширины линии излучения сильно зависит взаимодействие излучения с веществом.

В атомеможет произойти переход (1 → k или k → 1 ) лишь в том случае,если в системе отсчета атома частота фотона равна частоте переходаν1k с точностью до естественной ширины, которая, как правило,очень мала. Вероятность такого событияP1k (вероятность фотопе-рехода 1 → k или k → 1 есть величина порядка отношения естественной ширины ∆ ω E к спектральной ширине линии ∆ ω 1 k (люминесценции, доплеровской):P 1k =∆ω E∆ ω1 k13.(32)В теории столкновений показывается, что , если сечение соударения частиц есть S, а вероятность некоторого процесса α (например, возбуждения атома) есть P , то ”сечение процесса α ”α(33)Sα = S P α .Поскольку сечение имеет размерность площади, а P1kбезразмер-ная величина, то из (33) вытекает, что необходимо найти величинутакой же размерности, характеризующую взаимодействие атома сизлучением [3].

Таковыми могут быть лишь квадрат длины волныизлучения λ 2 , либо “площадь” атома R 2 ( R - радиус атома). Приaaсоударениях частиц сечение пропорционально квадрату размерабольшей из них. Естественно ожидать этого же и в случае ”соударения” фотона с атомом. Любые квантовые системы (которыми являются атомы и молекулы) излучают и поглощают, как правило, электромагнитные волны с длиной волны, значительно превышающейразмеры атома.

Действительно, частота излучения должна иметь порядок величины частоты движения частиц в системе, т.е.vω изл = ω движ =Ra,(34)где v - скорость частицы в системе. R- размер системы.aИз (34) определим порядок величины отношения длины волнык размерам системы, т.е.:λ = c ≈ c >> 1 .Ra ω Ra v(35)Суммируя вышесказанное, приходим к выводу, что сечение фотоперехода должно определяться отношением вида:σ ф ≈ const ⋅ λ 2∆ωE∆ω,(36)const – численный коэффициент.Квантовая механика подтверждает соотношение (36) и даетчисленное значение коэффициента14σф ≈λ24π2⋅∆ωE∆ω.(37)В дальнейшем под сечением фотоперехода будем иметь в виду этувеличину, а под шириной спектральной линии иметь в виду ширинулинии люминесценции в случае лазеров на твердом теле и доплеровскую ширину в случае газовых лазеров.Способы создания инверсной населенности.Как уже говорилось, излучение может усиливаться в веществев том и только в том случае, если в нем существует инверсная населенность уровней.

Такое состояние вещества является неравновесным, и для создания его требуются затраты энергии в том или иномвиде, которые осуществляются при ”накачке”. Методы накачки вещества с целью получения в нем инверсной населенности весьма ивесьма разнообразны (оптическая накачка, электрический разряд,химические реакции и т.д.)Оптическая накачка заключается в том, что вещество подвергается воздействию мощного излучения, которое, поглощаясь веществом, выводит его из состояния равновесия. Рассмотрим, для простоты, вещество, состоящее из атомов, у которых имеется всего двауровня: основной - 1 и возбужденный - 2 (см.рис.1) По мере ”накачки” этого вещества излучением частоты ωзаселенность уровней21будет изменяться.

Сначала вещество находилось в термодинамическом равновесии со своим окружением, и распределение атомов поуровням описывалось формулой Больцмана E −E N21= exp  − 2;N1kTN = N1 + N 2 .(38)g 1 = g 2 = 1 - уровни невырождены; N 1, 2 - населенностиуровней 1 и 2; N - полная концентрация атомов; k- постояннаяЗдесьБольцмана; Т - начальная температура вещества. Коэффициент усиления (см. формулу (25)) отрицателен, то есть излучение поглощается. Ясно, что как только будет достигнуто равенство населенностейN = N , коэффициент поглощения станет равным нулю, и веще12ство станет прозрачным. Следовательно, инверсная населенность15N 2 > N 1 (см.(27)) не может быть получена при оптической накачке в двухуровневой системе.Поэтому вещества, применяемые для оптических квантовыхгенераторов (ОКГ), выбираются таким образом, чтобы в процессенакачки и генерации излучения принимало участие более двухуровней.