А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач, страница 6

2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.где ε′ определяет фазовую скорость, а ε″ обусловлена проводимостью и определяет диссипацию. В нашем случаеσε ( ω ) =1 − i,(2.34)ε 0ωт.е. диэлектрическая восприимчивость χ (ω) – чисто мнимая.Используя комплексную форму записи, уравнение волны (2.16)можно представить в виде: exp ⎡i ( ωt − kr ) ⎤ ,А ( r ,t ) = Re A(2.35)0⎣⎦~где A 0 = A 0 exp(iϕ) − комплексная амплитуда. Такое представление значительно упрощает выполнение операции дифференциро∂вания, поскольку⇒ iω ; div ⇒ ( −ik ) , ; rot ⇒ [ − i k ] .∂tПлоские волны E(r,t) и H(r,t) в виде (2.35) будут решениямителеграфных уравнений при условии:ω2k 2 = 2 ε ( ω) ,(2.36)cгде волновой вектор k может быть представлен в виде:{k = k′ − ik″.}(2.37)Если среда однородная и изотропная, то векторы k′ и k″ коллинеарны и сонаправлены. Подставляя (2.37) в (2.36) и учитывая(2.34), получим:ω2σω,k ′2 − k ′′2 − 2ik ′k ′′ = 2 − iε 0cc⎧ 2ω22⎪k ′ − k ′′ = 2 ,⎪cили⎨σω⎪k ′k ′′ =.⎪⎩ε 0c2ωωПолагая k ′ = n′ и k ′′ = n′′ , получаем:cc⎧( n′ )2 − ( n′′ )2 = 1,⎪⎨σ.⎪n′n′′ =ε0 ω⎩42ОПТИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешением этой системы уравнений являются такие действительная (n′) и мнимая (n′′) части комплексного показателя преломления n = n′ − in′′ , зависимость которых от частоты ω определяетсяформулами:2⎡⎤⎛ σ ⎞1⎢2⎥,1+( n′ ) = ⎢ 1 + ⎜⎜⎟⎟⎥εω2⎝ 0 ⎠⎢⎣⎥⎦2⎡⎤⎛ σ ⎞1⎢⎥( n′′ ) = ⎢ 1 + ⎜⎜⎟⎟ − 1⎥ .εω2⎝ 0 ⎠⎣⎢⎦⎥С учетом (2.37) уравнения для волн Е и Н представимы в виде:E ( r ,t ) = E0 ( r ) ⋅ ei( ωt −k ′r ) ,(2.38)H ( r ,t ) = H ( r ) ⋅ ei( ωt −k ′r ) .(2.39)20Амплитуды волн (2.38) и (2.39)E0 ( r ) = E0 e−k ′′r ,H 0 ( r ) = H 0 e−k ′′rэкспоненциально убывают в направлении k″.

Фазовая скоростьволн (2.38) и (2.39) определяется действительной частью показателя преломления:cv=еk′,n′тогда как мнимая часть характеризует глубину Δ проникновенияволны в проводящую среду:1cΔ= =.(2.40)k ′′ n′′ωЕсли σ = const, то по мере увеличения частоты ω показательn″ убывает, стремясь к нулю, и прозрачность проводящей средыповышается.В соответствии с (2.36) и (2.37) вектор k вещественный, еслипроницаемость ε ( ω) вещественная и положительная, или k′⊥k″(как в случае полного внутреннего отражения света на границесред, см. гл. 7). Если векторы k′ и k″ неколлинеарны, то плоскиеволны (2.38) и (2.39) неоднородные.43Гл. 2.

Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.Чтобы найти связь между Е и Н для электромагнитной волныв проводящей среде, подставим (2.38) и (2.39) в уравнения Максвелла. В результате получим:⎛σ ⎞− [k , H ] = ωε 0 E ⎜1 − i⎟,ε0 ω ⎠⎝ω[k, E] = 2 H ,ε0 c(k , E) = 0 ,(k , H ) = 0 .Таким образом, и в этом случае электромагнитная волна – поперечная, т.е. векторы Е, Н и k ( k ′ ↑↑ k ′′ ) взаимно ортогональны,однако волна Е опережает по фазе волну Н наn′′ϕ = arctg .n′σn′′πВ частности, если≈1и ϕ= .>> 1 , тоn′4ε 0ωВ соответствии с формулой (2.24):μ0 H 0 = n ε0 E0 ,или()μ 0 H 0 = ε0 ( n′ ) + ( n′′ ) E0 .22Интенсивность световой волны в проводящей среде убывает позаконуI = I 0e −2k ′′r ,гдеI0 =ε0( n′ )2 + ( n′′ )2 E02cosϕ ⋅ c .2С формальной точки зрения затухание волны имеет место, если ε′′ ≠ 0 .

В диэлектрической среде без дисперсии поляризация Р (аследовательно, и смещение связанных зарядов из положения равновесия) и поле Е изменяются синфазно, а скорость зарядов и Есдвинуты по фазе друг относительно друга на π 2 . Поэтому средняя по времени мощность сил электрического поля равна нулю. Вслучае же проводящей среды скорость свободных зарядов и Е из-44ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧменяются в фазе, поэтому затухание волн обусловлено так называемыми «потерями на джоулево тепло».4. Электромагнитные волны в проводящей среде (ε ≠ 1)В этом случаеσε ( ω) = ε′ − iε′′ = (1 + χ ) − i.ε0 ωДля действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления ( n = n′ − in′′ ) имеем:2⎡⎤1⎢ 2 ⎛ σ ⎞2( n′ ) = ⎢ ε′ + ⎜ ⎟ + ε′⎥⎥ ,2⎝ ε0ω ⎠⎣⎢⎦⎥( n′′ )22⎡⎤1⎢ 2 ⎛ σ ⎞⎥=ε′ + ⎜⎟ − ε′ ⎥ .2⎢εω⎝ 0 ⎠⎥⎦⎣⎢Замечание.

Если ε′′ = 0 , а ε′ < 0 , то k ′ = 0 , а k ′′ ≠ 0 . В этомслучае диссипация энергии отсутствует, однако волна вглубь средыне распространяется (как, например, в случае отражения от плазмыпри низких частотах). Если же ε′′ ≠ 0 (инерционность отклика среды), то затухание интенсивности будет обусловлено работой электрического поля E, затрачиваемой на индуцирование токов связанных зарядов.2.2. Задачи с решениямиЗадача 2.2.1. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна E = e y E0 cos ( ωt − kx ) с частотой ω = 1,5⋅108 с−1,где e y – орт вдоль оси у. Найти амплитуду Е0 напряженности электрическогополяволнывточкескоординатойx = 10 м в момент t = 40 нс, если в той же точке и в тот же моментвремени Н = 0,2 еz[А⋅м−1].РешениеВ соответствии с (2.30):cε0 E0 = H 0 .Поскольку вектор k ориентирован вдоль оси х, тоГл. 2.

Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.45ω ⎞⎛H = e z H 0 cos ( ωt − kx ) = e z H 0 cos ⎜ ωt − x ⎟ = e z H 0 cosϕ ,c ⎠⎝10 ⎞⎛ x⎞⎛где ϕ = ω ⎜ t − ⎟ = 1,5 ⋅ 108 ⎜ 40 ⋅ 10−9 −⎟ = 1 , и следовательно,3 ⋅ 108 ⎠⎝ c⎠⎝cos ϕ ≈ 0,54 .Таким образом,H0,2H0 === 0,37 А/м,cosϕ 0 ,54а искомая амплитуда:0,37E0 == 139 В/м.83 ⋅ 10 ⋅ 0 ,885 ⋅ 10−11Ответ: E0 = 139 В/м.Задача 2.2.2. Шар, находящийся в немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью ε = 4,0 , облучается плоской электромагнитной волной с амплитудой Е0 = 200 В/м. Найти радиусшара R, если за время Δt = 1 мин на него падает энергия5 кДж.

Длина волны λ << R .РешениеЭнергия, падающая на шар за время Δt , равнаW = I ⋅ SΔt ,где I – интенсивность световой волны, S = πR 2 – площадь большого круга шара. Согласно (2.31) интенсивность световой волны равнаε εE 2I = 0 0 υ,2где υ = c ε − скорость света в среде. Таким образом,R=2W,πΔt ε0 ε E02 cили2 ⋅ 5 ⋅ 103= 0,5 м.3,14 ⋅ 60 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 104 ⋅ 3 ⋅ 108Ответ: R = 0,5 м.R=46ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 2.2.3. Исследовать структуру светового поля, создаваемого двумя плоскими, линейно поляризованными, когерентными волнами, бегущими в вакууме под углом α друг к другу.РешениеПусть волновые векторы k1 и k 2 лежат в координатной плоскости хOz под углом θ к оси Oz( α = 2θ , см.

рис. 2.2). Тогдаk 1 = {k x , 0, k z } ,k 2 = {− k x , 0, k z } ,k x = k ⋅ sin θ ,k z = k ⋅ cos θ ,гдеk = 2π λ = ω c , с – скорость светаРис. 2.2. Ориентация волновыхв вакууме.векторов k1 и k 2 в плоскости x0zУравнения для компонент Е иН каждой из волн могут быть записаны (при соответствующем выборе начала отсчета) следующим образом:E1 = E10 ei( ωt −k1r ) , H1 = H10 ei( ωt −k1r ) ,E = E ei( ωt −k 2r ) , H = H ei( ωt −k 2r ) .220220Рассмотрим сначала случай, когда плоскости поляризацииобеих волн совпадают с плоскостью х0z (рис.

2.2). Так как электромагнитные волны – поперечные, то:E10 = { E0 cosθ, 0, − E0sinθ} ,E20 = { E0 cosθ , 0 , E0sinθ}H10 = {0, H 0 , 0} ,H 20 = {0, H 0 , 0} ,причемH0 =ε0E0 = cε 0 E0 .μ0Посколькуk1r = k x x + k z zиk 2r = −k x x + k z z , то проекции векторов E и H на координатныеоси:E x = E1x + E2 x = E0 cosθ ⋅ eik x x + e −ik x x ⋅ ei( ωt − k z z ) ,()E z = E z + E z = E sinθ ⋅ ( eik x − e−ik x ) ⋅ ei( ωt −k z ) ,120xxz47Гл. 2.

Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.()H y = H1 y + H 2 y = H 0 eik x x + e −ik x x ⋅ ei( ωt − k z z ) .Переходя от комплексной формы записи к вещественной, получим:E x = 2 E0 cosθ ⋅ cos ( k x x ) ⋅ cos ( ωt − k z z ) ,E z = −2 E0sinθ ⋅ sin ( k x x ) ⋅ sin ( ωt − k z z ) ,H y = 2 H 0 cos ( k x x ) cos ( ωt - k z z ) .Эти уравнения позволяют рассматривать результирующее поле как суперпозицию двух волн: неоднородной ( E x , H y ) -волны,бегущей вдоль оси 0z, и стоячей ( E z , H y ) -волны.На рис. 2.3 показана ориентация векторов Е и Н в некоторыхточках плоскости х0z в момент времени t = 0 .

Фазовая скоростьбегущей ( E x , H y ) -волныωωc==k z k cos θ cos θбольше скорости света (при θ ≠ 0 ), а скорость переноса энергиивдоль оси 0zu z = c ⋅ cos θυz =меньше скорости света, причем u z ⋅ υz = c 2 . Вектор Пойнтинга, характеризующий мгновенное распределение плотности потока энергии в пространстве:S = [E, H ] = − E z H y , 0, E x H y ,{}лежит в плоскости х0z и изменяется с удвоенной частотой 2ω:S x = E0 H 0sinθ ⋅ sin ( 2k x x ) ⋅ sin ⎡⎣ 2 ( ωt − k z z ) ⎤⎦ ,S z = 4 E0 H 0 cosθ ⋅ cos 2 ( k x x ) ⋅ cos 2 ( ωt − k z z ) .Для соответствующих направлений интенсивность поля равна:I x = Sx T = 0 ,I z = SzT= 2 E0 H 0 cosθ ⋅ cos 2 ( k x x ) .Таким образом, Iz достигает максимума в плоскостяхk x x = 0, ± π , ± 2π, ...

(см. рис. 2.4), которые являются узловыми длястоячей ( E z , H y ) -волны, т.е. для этих плоскостей тангенциальнаясоставляющая E всегда равна нулю.48ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис.2.3. Ориентация векторов E и H в различных точках пространства в моментвремени t = 0Рис. 2.4. Распределение интенсивности светового поляI z вдоль оси xЭта особенность структуры электромагнитного поля в рассматриваемом случае может быть положена в основу анализа распространения волн в металлических волноводах (концепция Бриллюэна).

В частности, при фиксированном расстоянии а между двумя узловыми плоскостями незатухающее распространение волнвдоль оси 0z возможно, только если sin (k x a ) = 0 , т.е. для дискрет-Гл. 2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.ного набора k x = n49π2π( n = 1, 2,.. ). А так как k x = ksinθ =sinθ иaλnλ≤ 1 , то длина волны не может быть больше 2а.

Если2aλ < 2a , то для фиксированных а и λ угол θ может принимать лишь2a⎡ 2a ⎤nm дискретных значений: nm = ⎢ ⎥ ([ ] − целая часть).λ⎣λ⎦В случае, когда векторы E1 и E 2 параллельны оси 0у, структура светового поля аналогична описанной выше, но координаты хузловых плоскостей стоячей волны оказываются иными. (Найдитеих самостоятельно!)Расстояние между двумя соседними максимумами Iz (рис. 2.4)равно:sinθ =Δx =ππλλ===,k x ksinθ 2sinθ 2sin ( α 2 )а при малых углах α – Δx ≈ λ α .Задача 2.2.4. Найти силу давления F плоской световой волнына шар радиусом R, если интенсивность волны равна I0, а поверхность шара рассеивает падающее излучение равномерно по всемнаправлениям.РешениеРассмотрим сначала случай, когда плоская световая волна падает на пластинку площадью σ под углом θ (рис.

2.5).Так как интенсивность световой волны равна I 0 , то среднеезначение объемной плотности энергии электромагнитного поля:Iw= 0 ,cгде с – скорость волны, асреднее значение объемной плотности импульса:wP =I0 w= .c2 cРис. 2.5. Падающий и отраженный световыепучки и силы, действующие на пластинку П50ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСледовательно, за время Δt волна «приносит» к пластинке импульсIΔP = wP ⋅ cΔt ⋅ (σ cos θ ) ⋅ eI = 0 Δt σ cos θ ⋅ eI ,cгде e I – единичный вектор в направлении распространения света.Если свет, падающий на пластинку, полностью поглощается,то на пластинку будет действовать силаΔP I 0= σ cosθ ⋅ e I ,f0 =cΔtпроекции которой на направления n и τ равны соответственноf n = f 0 cosθ и fτ = f 0sinθ ,а давление света на пластинку:fIp = n = 0 cos 2 θ .cσПри частичном отражении света от пластинки под углом θ( I r = ρI 0 , ρ ≤ 1 – коэффициент отражения по интенсивности) пластинка будет получать дополнительный импульс («импульс отдачи»), причемf r = rf 0 .В результате сила давления f (см.

рис. 2.5) равнаf = f0 + f r ,а формулы для проекций этой силы на различные направленияимеют вид:If n = ( f , e n ) = (1 + ρ ) 0 σ cos 2 θ ,cI sin 2θ.f τ = ( f , e τ ) = (1 − ρ ) 0 σ2cВ случае рассеяния пластинкой падающего на нее света равномерно по всем направлениям сила fr (в силу симметрии геометриирассеяния) будет направлена вдоль нормали n . Найдем величинуэтой силы.Гл. 2. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.51Пусть пластинка площадьюσ рассеивает за время Δtэнергию ΔW равномерно повсем направлениям в телесномугле 2π (левое полупространство на рис.