А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач, страница 2

Закон отражения: на границе раздела двух сред луч падающий (1), луч отраженный (1') и нормаль (N) к отражающей поверхности в точке падения О лежат в одной плоскости; угол падения θ1равен углу отражения θ0 (рис. 1.1):θ1 = θ0.(1.1)3. Закон преломления света: награнице раздела двух сред луч падающий (1), луч преломленный (2) и нормаль (N) к преломляющей поверхностив точке падения О лежат в одной плоскости; угол падения θ1 и угол преломления θ2 связаны соотношением (см.рис. 1.1):n1 ⋅ sin θ1 = n2 ⋅ sin θ 2 ,(1.2)Рис. 1.1.

Отражение и преломление светового луча награнице раздела двух сред( n1 < n2 )где n1 и n2 – показатели преломлениясоответственно первой и второй сред.4. Закон независимого распространения световых лучей: лучи не влияют друг на друга и распространяются независимо.8ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПреломление света на сферической границе раздела двух средПусть сферическая поверхность, радиус которой OC = R , разделяет среды с показателями преломления n1 и n2 (рис.

1.2 и 1.3). Впараксиальном приближении (при малых углах между световымлучом и оптической осью Oх) х-координаты точек S1 (предмет) и S2(изображение), отсчитываемые от вершины поверхности О, связанысоотношением:⎛ 1⎛ 11⎞1⎞n1 ⎜− ⎟ = n2 ⎜− ⎟,(1.3)⎜ xS⎟⎜ xS⎟⎝ 1 R⎠⎝ 2 R⎠илиn2nn −n− 1 = 2 1.(1.4)xS2 xS1RДля оптической системы, показанной на рис. 1.2: n2 > n1 ,R > 0 , xS1 < 0 , xS2 > 0 ; для оптической системы, представленнойна рис. 1.3: n2 > n1 , R < 0 , xS1 < 0 , xS2 < 0 .Рис. 1.2. Преломление лучей на сферической границе раздела двух сред (n2 > n1)Величинаn2 − n1(1.5)Rназывается оптической силой сферической преломляющей поверхности. Если Φ > 0 (рис. 1.2), то луч 2, параллельный главной оптической оси Ох, после преломления (луч 2') пересекает ее в точкеF2 (задний фокус), а луч 3, проходящий через передний фокус F1,после преломления (луч 3') параллелен оптической оси.

В случаеФ=9Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системыΦ < 0 (рис. 1.3) задний (F2) и передний (F1) фокусы соответствуютточкам пересечения с оптической осью продолжений лучей 2' и 3.Рис. 1.3. Преломление лучей на сферической границе двух сред (n2 > n1)Полагая в формуле (1.3) поочередно xS2 = ∞ и xS1 = ∞ , дляфокусных расстояний сферической преломляющей поверхностиполучим соответственно:nRf1 ≡ xF1 = − 1 = −,Фn −1(1.6)n2 n ⋅ Rf 2 ≡ xF =,=2Ф n −1nгде n = 2 − относительный показатель преломления. Как следуетn1из (1.6),f 2 = −n ⋅ f1 .(1.7)Плоскости, перпендикулярные оптической оси и пересекающие ее в точках S1 и S2, называют сопряженными, а параллельныеим плоскости F1 и F2 – соответственно передней и задней фокальной плоскостью.С учетом (1.6) формулу (1.4) можно представить в виде:f2f+ 1 = 1.xS2 xS1Кроме того, справедливо соотношение:xS1 − f1 ⋅ xS2 − f 2 = f1 f 2 .()()(1.8)(1.9)10ОПТИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис. 1.4. Отражение лучаот сферического зеркалаОтражение света от сферическогозеркалаЕсли в формуле (1.4) для луча, отраженного от сферической поверхности радиуса R, положить n 2 = − n1 , то получимформулу сферического зеркала:112(1.10)+= ,xS 2 xS1 Rдля которого фокусное расстояние равно (см.рис. 1.4)xF ≡ f =R.2(1.11)Формулы для центрированной оптической системыСовместим координатную ось 0х с главной оптическая осьюсистемы − прямой линией, на которой лежат центры кривизны всехпреломляющих поверхностей.Характеристики такой центрированной оптической системыможно полностью описать, задав положения ее кардинальных элементов – главных (Н1 и Н2) и фокальных (F1 и F2) плоскостей, которые перпендикулярны главной оптической оси и пересекаются сней соответственно в главных точках (Н1 и Н2) и в фокусах (F1 иF2), а также узловых точек N1 и N2 (см.

рис. 1.5).Рис. 1.5. Кардинальные элементы центрированной оптической системыи ход лучей в нейЕсли координаты х точек с индексом 1 (S1, F1 и N1) отсчитывать от главной точки Н1, а координаты х' точек с индексом 2 (S2, F2Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы11и N2) – от главной точки Н2, то в параксиальном приближении дляцентрированной оптической системы справедлива формула:n2n(1.12)− 1 =Φ,xS′ 2 xS1гдеΦ=n2n=− 1xF′ 2xF1(1.13)– оптическая сила центрированной системы, n1 и n2 – показателипреломления сред соответственно слева и справа от крайних преломляющих поверхностей оптической системы.Координаты узловых точек N1 и N2 (через них проходят продолжения параллельных лучей 3 и 3' на рис.

1.5) могут быть найдены по формулам (рис. 1.6):(1.14)x N = xF + xF′ ,112x′N 2 = xF′ 2 + xF1 .(1.15)Рис. 1.6. Положения узловых точек N1 и N2 центрированной оптической системыЕсли xF1 = − xF′ 2 , то узловые точки N1 и N2 совпадают с соответствующими главными точками Н1 и Н2.Толстая линзаДля линзы толщиной O1O 2 = d (толстая линза), изготовленнойиз материала с показателем преломления n (рис. 1.7), оптическаясила Ф находится по формуле:d(1.16)Φ = Φ1 + Φ 2 − Φ1Φ 2 ,n12ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде Ф1 и Ф2 – оптические силы (1.5) сферических преломляющихповерхностей линзы.Рис. 1.7.

Схематическое представление толстой линзыКоординаты вершин линзы О1 и О2, отсчитываемые соответственно от главных точек Н1 и Н2 (рис. 1.7), могут быть найдены поформулам:d ΦxO1 = − ⋅ 2 ,(1.17)n Φd Φ1xO2 = ⋅.n ΦЛинза называется собирающей, если Ф > 0, и рассеивающей,если Ф < 0.Тонкие линзыВ случае тонкой линзы ( d = 0 ) из материала с показателемпреломления n ее оптическая сила Ф равнаΦ = Φ1 + Φ 2 ,где(1.18)n − n1,R1n −nФ2 = 2.R2Если тонкая линза окружена средой с показателем преломления n0,то в этом случае:⎛ 11 ⎞.(1.19)Φ = ( n − n0 ) ⋅ ⎜ −⎟RR2⎠⎝ 1Ф1 =13Гл.

1. Геометрическая оптика и простые оптические системыГлавные и узловые точки тонкой линзы совпадают с ее оптическимцентром.Для системы из двух тонких линз с оптическими силами Ф1 иФ2 :l(1.20)Φ = Φ1 + Φ 2 − Φ1Φ 2 ,n0где l − расстояние между линзами, n0 − показатель среды междуними.1.2. Задачи с решениямиЗадача 1.2.1. В каких пределах может изменяться угол отклонения луча ϕ при его прохождении через стеклянную призму с пре-ломляющим углом α = 60D ? Показатель преломления стеклаn = 1,5 .РешениеВ соответствии с законом преломления (1.2) луч, падающий набоковую грань призмы под углом θ1 (рис.1.8), после двукратногопреломления выйдет из призмыпод углом θ2′, отклонившись отпервоначального направления наугол ϕ.Так как сумма внутреннихуглов четырехугольника ABCDравна 2π, тоθ1 + θ′2 + (π − ϕ) + (π − α ) = 2π ,илиϕ = θ1 + θ′2 − α ,а с учетом закона преломления и соотношения θ1′ + θ2 = α :Рис. 1.8.

Ход луча через стекляннуюпризмуϕ = arcsin(n sin θ2 ) + arcsin[n sin(α − θ2 )] − α .(1.21)Для призмы с преломляющим углом α = 60D из условийsin(α − θ1 ) ≤ 1 n и n ⋅ sin θ1 ≤ 1 получаем 18, 2° ≤ θ1 ≤ 41,8°.Производнаяn ⋅ cos θ2n ⋅ cos(α − θ2 )∂ϕ=−2∂θ21 − (n ⋅ sin θ )1 − [ n ⋅ sin(α − θ )]22214ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧобращается в нуль, если α − θ2 = θ2 , т.е. при θ2 = α 2 = 30°(преломленный луч АС параллелен основанию призмы).Подставив в (1.21) значения θ 2 = 18, 2° , 30º и 41,8º, получимϕ ≈ 58° , 37º и 58º соответственно.Таким образом, угол отклонения луча может изменяться в пределах от 37º до 58º, а его минимальное значение ϕmin связано с углом α соотношением:ϕ+ααsin min= n ⋅ sin .22В частности, для стеклянной призмы ϕmin = α , если α ≈ 83° .Задача 1.2.2.

Световой луч падает на выпуклое сферическоезеркало (рис. 1.9 а; F – фокус, ОО' – оптическая ось). С помощьюгеометрических построений найти направление отраженного луча.РешениеПостроим вспомогательный луч 2, падающий на зеркало параллельно лучу 1 «с прицелом на фокус F» (рис. 1.9 б). Отраженный вточке B луч 2' должен быть параллелен оптической оси ОО'.абРис. 1.9. Заданное направление луча, падающего на выпуклое зеркало с фокуснымрасстоянием F (а), и построение отраженного луча 1' (б)Продолжение луча 2' (влево) пересекает фокальную плоскостьF в точке А. Следовательно, отраженный в точке С луч 1' долженлежатьнапрямой,пересекающейфокальнуюплоскость F в той же точке А.Задача 1.2.3.

Найти с помощью геометрических построенийположение сферического зеркала и его фокуса, если Р и Р' – сопряженные точки, а ОО' – оптическая ось (рис. 1.10 а).Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы15РешениеПроведем через точки Р и Р' прямую линию 1.

Она пересечетоптическую ось в точке С, являющейся центром кривизны зеркала.абРис. 1.10. Положения сопряженных точек Р и Р′ относительно оптической оси ОО′сферического зеркала (а) и вспомогательные построения при определении положения зеркала и его фокуса (б)Из точки Р опустим перпендикуляр на оптическую ось ОО'(рис. 1.10 б) и продолжим его до точки P0 ( PB = BP0 ). Проведемчерез точки Р' и Р0 прямую 2 в направлении на вершину зеркала О1.Таким образом, точка Р' – мнимое изображение точки Р в выпуклом сферическом зеркале с радиусом О1С. Луч 3, параллельныйоптическойосиОО',отражаетсявнаправлениилуча 3', который лежит на прямой, проходящей через точку Р′ ифокус F.В соответствии с формулой (1.11): O1F = FC = R 2 .Задача 1.2.4.

Луч света падает из воздуха на стеклянную пластину со сферической поверхностью (рис.1.11 а; точками отмеченыположения фокусов). С помощью геометрических построений найти направление преломленного луча.РешениеВ соответствии с (1.5) оптическая сила сферической преломляющей поверхностиn −1Ф=< 0,Rпоскольку R < 0 (луч падает на вогнутую сферическую поверхность). Следовательно, задний фокус F' находится слева от вершины О преломляющей поверхности, а передний фокус F – справа(рис. 1.11 б).16ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧабРис.

1.11. Падение луча света 1 на стеклянную сферическую поверхность и положения фокусов (а); построение преломленного луча 1′ (б)Проведем луч 2 параллельно заданному лучу 1 в направлениина передний фокус F. Преломленный луч 2' будет параллелен главной оптической оси, а его продолжение (влево) пересечет заднююфокальную плоскость F′ в точке А. Искомый луч 1' будет лежать напрямой АВ.Задача 1.2.5. Точечный источник света S находится на расстоянии а = 20 см от передней поверхности стеклянной симметричной двояковыпуклой линзы (рис.1.12 a): толщина линзыd = 5 см, радиус кривизны поверхностей R = 5 см.

Показательпреломления стекла n = 1,5. На каком расстоянии от задней поверхности линзы находится изображение источника?Решение1-й способ. Пусть промежуточное изображение S' точки S, даваемое первой преломляющей поверхностью, находится на расстоянии b = O1S′ от вершины О1 (рис.