А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач, страница 8

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПри наблюдении в опыте Поля интерференционной картинына бесконечности (например, в фокальной плоскости собирающейлинзы, см. рис. 3.5) апертура интерференции Ω ≈ 0 , что означаетотсутствие ограничений на размер D источника. В этом случае, сучетом закона преломления ( nsinθ′ = sinθ ), оптическая разностьхода интерферирующих лучей 1 и 2 равнаΔ = 2nhcosθ′ = 2h n 2 − sin 2θ(3.22)и не зависит от угла θ и от положения источника S.Рис.

3.5. Схема наблюдения локализованной на бесконечности интерференционной картины в опыте с пластинкойС учетом изменения на π фазы волны при отражении от верхней границы (луч 1 отражается от оптически более плотной среды),для разности фаз ϕ интерферирующих лучей имеем:ϕ ( θ) = k Δ ± π =4 hπ 2n − sin 2 θ ± π .λ(3.23)Соответствующая интерференционная картина получила название"полос равного наклона".В случае протяженного источника интерференционная картина локализована в бесконечности. Если, однако, пластинка достаточно тонкая, то можно наблюдать интерференционную картинувблизи передней отражающей поверхности пластинки (рис. 3.6).Для лучей 1 и 2 разность фаз ϕ в точке Р (при условии h << a ) может быть оценена с помощью формулы (3.23) для различных точекпротяженного источника.

Впрочем, если θ изменяется в достаточно узком интервале Δθ , то ϕ = ϕ ( h ) , а наблюдаемую интерференционную картину называют "полосами равной толщины". В беломГл. 3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.63свете полосы окрашены (цвета тонких пленок). Наблюдают полосыравной толщины либо невооруженным глазом, либо с помощьюлупы или микроскопа.Рис. 3.6.

Схема наблюдения интерференции света от протяженного источникасвета, локализованной вблизи передней отражающей поверхностиЧтобы на практике обеспечить условие малости Δθ , можновести наблюдение в направлении θ ≈ 0 . Если наблюдение ведетсяпод углом, то следует ограничивать входной зрачок объектива. Поэтому, например, видны невооруженным глазом радужные цветамасляных пятен на поверхности воды.3.2. Задачи с решениямиЗадача 3.2.1. Свет от протяженного монохроматического источника S размером D = 1 мм падает на непрозрачный экран Э, вкотором имеются два маленьких отверстия (рис. 3.7). Интерференция света, прошедшего через отверстия, наблюдается в точке Р.Источник света S и точка Р находятся на одинаковом расстоянии Lот экрана. Если смещать верхнее отверстие, увеличивая расстояниеd ( d << L ), то интенсивность в точке Р периодически убывает ивозрастает.

Определить расстояние d1 между отверстиями, которо-64ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧму соответствует 1-й минимум интенсивности в точке Р, если амплитуда осцилляций уменьшается до нуля при d 2 = 20d1 .РешениеВ соответствии с формулами (3.18) и (3.19) интенсивность Iсвета в точке Р равнаk ⋅ ΔD⎡⎤⋅ cosk Δ ⎥ ,I ( P ) = 2 I 0 ⎢1 + sinc2⎣⎦где соответствующая разность хода (3.7)d2Δ ≅.LПервый минимум в точке Р будет тогда, когда для лучей, вышедλших из центра источника S, разность хода Δ = , поэтому2d12 λ= .L 2С другой стороны, согласно (3.20) и (3.21):Рис. 3.7.

Схема наблюдения интерференциисвета от протяженного источника Sd2 ⋅ D= 1.λ⋅LИз двух последних формул получаем:d1 = 10 D = 1 cм..Ответ: d1 = 1 см.Задача 3.2.2. В интерференционной схеме (рис. 3.8) используется квазимонохроматический источник света S. Отражающие зеркала расположены симметрично относительно источника S и экрана Э, на котором наблюдается интерференция. Ширина интерференционной полосы на экране Э равна Λ = 0,02 мм. Параметрысхемы: L = 1 м; d = 2,5 см; W = 20 см. Найти: 1) среднее значениедлины волны λ излучения источника; 2) область локализации полос на экране; 3) максимальный mmax и минимальный mmin порядки интерференции и число N наблюдаемых полос; 4) степень немо-Гл.

3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.65нохроматичности δλ , при которой число наблюдаемых полос максимально; 5) допустимый размер источника D.Рис. 3.8. Схема наблюдения интерференционной картины от источника света SРешение1) Поскольку угол схождения интерферирующих лучейα ≈ d L,то с учетом (3.9) период интерференционной картины на экранеравенλ λLΛ≈ ≈,α dа следовательно,Λd 2 ⋅ 10−5 ⋅ 2,5 ⋅ 10−2λ=== 5 ⋅ 10−7 м = 500 нм.1L2) Как видно из рис.

3.8,xmaxd 2=,WL +W 2поэтому область локализации полос на экране:x≤d ⋅W2,5 ⋅ 20 ⋅ 10−4=≈ 0, 23 см.2 ( L + W 2)2 (1 + 0,1)3) Очевидно, что mmax =xmaxΛ≈ 115 и mmin = 0 , а число на-блюдаемых полос:N ≈ 2mmax = 230 .4) Так как в соответствии с (3.15) максимальное значение Δдолжно удовлетворять условию66ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧΔ max ≤ lког =а в нашем случае −λ2,δλΔ max = λ ⋅ mmax ,поэтомуmmax ≤λ,δλили500 ⋅ 10−9≈ 4,35 нм.mmax1155) Согласно (3.20) и (3.21), допустимый размер источника может быть найден из условияD⋅Ω ≤ λ ,λδλ ≤где Ω ==d– апертура интерференции. Следовательно,LλL λ≈ = Λ = 2 ⋅ 10−2 мм.d αD≤Ответ: 1) λ ≈Λdd ⋅W= 500 нм; 2) x ≤≈ 2,3 мм;L2( L + W )3) mmax =4) δλ ≤xmaxΛλmmax≈ 115 , mmin = 0 , N ≈ 2mmax = 230 ;≈ 4,35 нм; 5) D ≤λLd≈ 2 ⋅ 10−2 мм.Задача 3.2.3. В интерференционной схеме с бизеркалом Френеля угол между зеркалами ϕ = 12′ (рис.

3.9). Расстояния от бизеркала до источника света S и экрана Э равны соответственноа = 10 см и b = 90 см. Ширина интерференционных полос на экранеравна Λ = 1 мм. Найти: 1) длину волны λ излучения источника ичисло N интерференционных полос на экране; 2) сдвиг δх интерференционной картины на экране при смещении источника наδl = 0 ,1 мм по дуге радиуса а с центром в точке О на ребре бизеркала; 3) ширину D источника, при которой полосы на экране будутнаблюдаться еще достаточно отчетливо.Гл.

3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.67Рис. 3.9. Интерференционная схема с бизеркалом ФренеляРешение1) Как видно из рис. 3.9, в центре экрана Э (точка Oх) интерферирующие лучи сходятся под угломSSa ⋅ 2ϕα= 1 2 =.a+b a+bС учетом (3.9) период интерференционной картины на экране равенλ λ (a + b)Λ= =,αa ⋅ 2ϕпоэтомуΛa 2ϕλ== 696 нм.a+bЧисло наблюдаемых на экране интерференционных полос:2 ⋅ xmax,N≈Λгде xmax – полуширина интерференционной картины. Так какxmax ≈ b ⋅ ϕ , тоN=2b ⋅ ϕ≈6.Λ2) При смещении источника S на δl (например, по часовойстрелке), изображения S1 и S2 сместятся по дуге на такое же расстояние (но против часовой стрелки).

В результате центр интерференционной картины на экране сместится вниз относительно точкиO x на расстояние68ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧb= 0,9 мм.a3) В соответствии с формулами (3.20) и (3.21)D≤λ Ω.Чтобы полосы на экране наблюдались достаточно отчетливо, потребуем, чтобыδx ≈ δl ⋅D≤λ.2ΩПосколькуα⋅b,aто, подставляя полученное ранее выражение для α, получим:a ⎞⎛Ω = 2ϕ ⎜ 1 −⎟.a+b⎠⎝Согласно условию задачи можно считать, что a << b , поэтомуλD≤= 0,16 мм.4ϕΛa 2ϕ2b ⋅ ϕ= 696 нм, N =Ответ: 1) λ =≈6;Λa+bbλ= 0,16 мм.2) δx ≈ δl ⋅ = 0,9 мм; 3) D ≤a4ϕΩ≈Задача 3.2.4. Параллельный пучок света с длиной волныλ = 500 нм падает на бипризму с преломляющим углом ϕ = 10−2 ради шириной Н = 2 см, сделанную из стекла с показателем преломления n = 1,5 (рис. 3.10).Рис. 3.10.

Наблюдение интерференционной картины с помощью бипризмыГл. 3. Двухлучевая интерференция. Интерференционные схемы.691) На каком расстоянии l от бипризмы следует расположитьэкран, чтобы на нем можно было наблюдать максимально возможное число интерференционных полос?2) Оценить допустимую немонохроматичность δλ света, прикоторой можно наблюдать все полосы. 3) Оценить допустимый угловой размер ψ источника в этом интерференционном опыте.РешениеПосле прохождения через призму исходный пучок разделитсяна два параллельных пучка, идущих за призмой под угломα = 2 ( n − 1) ϕ друг к другу.1) Из рис. 3.10 видно, что ширина зоны интерференции максимальна на расстоянииl≈H 2H= 1 м.=α4 ( n − 1) ϕСогласно (3.9) период интерференционной картины равенΛ=λλ== 5 ⋅ 10−3 см,α 2 ( n − 1) ϕпоэтому максимальный порядок интерференции:mmax =H 4= 100 .Λ2) В соответствии с (3.15) допустимая немонохроматичностьсвета δλ равнаλ2λ4λΛ= 5 нм.δλ ===lког mmaxH3) В соответствии с формулами (3.20) и (3.21) для допустимогоуглового размера источника получаем:λψ≤ ,dгде d – расстояние между двумя точками бипризмы, через которыепройдут лучи, пришедшие в центральную точку экрана (см.