§ 5 . Фурье-анализ волновых пакетов и импульсов (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптика2B (ω ) =ω0T0t0 +T0∞1∫ [ f (t ) cos ωt ]dt = ∫ [ξ (t ) cos ωt ]dt ,πt0(6.32)−∞В последних равенствах учтено, что ω0Т0 = 2π, а величина интеграла на интервале,равном одному периоду от искусственно сформированной периодической функцииf(t) точно равна интегралу в интервале времени от –∞ до +∞ от одиночногонепериодического импульса ξ(t).Резюмируя вышесказанное, запишем представление непериодической функциивремени в виде т.н. “интеграла Фурье”:∞∞00ξ (t ) = ∫ [A(ω ) sin ω t ]dt + ∫ [B (ω ) cos ω t ]dt ,(6.33)где коэффициенты А(ω) и В(ω) определяются равенствами (6.32).Мы уже неоднократно убеждались в полной идентичности описания функцийвремени и пространства, поэтому очевидно, что “пространственный импульс” –зафиксированная в какой-то момент картина распространяющегося по оси Ходиночного сигнала – также может быть представлена в виде совокупностигармонических волн, аналогично (6.33), только ωt при этом нужно заменить на kx.Соотношения (6.32), таким образом, позволяют определять спектральныйсостав сигналов произвольной формы.

Процедура, описываемая формулами (6.32),называется Фурье–анализом сигнала или волнового пакета. В следующем параграфемы проиллюстрируемвозможности Фурье–анализа на примере несколькихсигналов, с которыми довольно часто приходится встречаться на практике.§ 5. Фурье-анализ волновых пакетов и импульсов1. Начнем Фурье-анализ сигналов с рассмотрения простейшего волновогопакета, характеризуемого “прямоугольным” частотным спектром, который мы ужеанализировали, пользуясь методом векторных диаграмм (см. гл. VI, § 2).Пусть функция А(ω) равна нулю во всем спектральном диапазоне, а функцияВ(ω) задана соотношениями:В(ω) = (∆ω)–1; ω1 < ω < ω1+∆ω;В(ω) = 0;ω < ω1, ω > ω1+∆ω.(6.34)Постоянное значение функции В(ω) в интервале частот от ω1, до ω2 заданотаким, чтобы удовлетворять условие нормировки:∞∫ B(ω )dω = 1 .(6.35)0Воспользовавшись равенством (6.33) и учитывая, что А(ω) = 0, получаем:∞sin ω2 t − sin ω1t.(6.36)ξ (t ) = ∫ B(ω ) cos ω t dω =t∆ω0Представляя разность синусов в виде удвоенного произведения косинусаполусуммы углов на синус полуразности, имеем:195Дополнительные главы.

Глава VI. Волновые пакеты и импульсыsin( ∆ω t / 2)ω +ω 2 cos 1t  = A(t ) cos < ω > t .(6.37)∆ω t / 2 2Таким образом, мы пришли к уже известному нам результату: прямоугольныйволновой пакет дает импульс, представляющий собой “быстрое” колебание сосредней частотой <ω>, а амплитуда импульса сравнительно медленно изменяетсясо временем по закону:sin( ∆ω t / 2)A(t ) =.(6.38)∆ω t / 2Равенство (6.38) аналогично (6.9).

Физический смысл величин Nδϕ (всоотношении (6.9)) и ∆ωt (в (6.38)) одинаков – в обоих случаях это разность фазмежду “крайними” составляющими прямоугольного пакета. Максимальные значенияфункций (6.9) и (6.38), конечно, отличаются, поскольку для функции В(ω) принятоусловие нормировки (6.35). Максимум (6.38) достигается при t = 0 и равен единице.Заметим, что в задаче с дискретным частотный спектром прямоугольногоξ (t ) =∞волнового пакета (§2) аналогом интеграла∫ B(ω )dωявляется сумма амплитуд а0всех N компонент пакета, т.е. произведение Nа, которое равно максимальнойамплитуде импульса Аm, (см. рис.6.4). Поэтому условие нормировки функции В(ω),полностью эквивалентное задаче, рассмотренной в § 2, таково:∞∫ B(ω )dω = Am.(6.39)0Условию (6.39) соответствует постоянная величина амплитуды “непрерывного”пакета, равная Аm(∆ω)-1 при ω1 < ω < ω2 = ω1+∆ω.2. Проведем теперь Фурье-анализ прямоугольного импульсного сигнала ξ(t) – см.рис.6.15.

Пусть t0 – время, соответствующее центру импульса. Для удобства сравненияс задачей о “непрерывном” прямоугольном частотном спектре “пронормируем” сигнал:∞ξ∫ ξ (t )dt = 1 .∆t0t0Рис.6.15(6.40)0Из (6.40) следует, что амплитуда импульса равна:ξ(t) = (∆t)-1 при (t0 – ∆t /2) < t < (t0 + ∆t/2).t(6.41)Из рис.6.15 видно, что ξ(t) – чётная функция (t –t0), поэтому интеграл Фурье для этой функции можнозаписать в форме:∞ξ (t ) = ∫ B(ω ) cos ω (t − t0 ) dω ,0(6.42)а спектральный состав гармоник соответствующего пакета находим по формуле(6.32):∞1(6.43)B (ω ) = ∫ ξ (t ) cos ω (t − t0 ) dt .πИнтегрируя (6.43), получаем1960Колебания и волны. Волновая оптика1 sin( ∆ωt / 2).(6.44)π ∆ω t / 2На рис.

6.16 сопоставлены: прямоугольный частотный спектр (а) и амплитудасоответствующего сигнала (в) в разные моменты времени, а также прямоугольныйимпульсный сигнал (в) и соответствующий частотный спектр (г).Отрицательные значения амплитуды означают, что в соответствующихчастотных диапазонах на рис.6.16,б фаза колебания на несущей частоте <ω>изменяется на π. Аналогично, в спектре частот на рис. 6.16,г присутствуютгармоники, которым соответствуют отрицательные величины B(ω).

Начальныефазы соответствующих гармоник сдвинуты на π.Из рис.6.16 видно, что имеется однозначное соответствие между функциямиB(ω) и ξ(t) – представляя одну из этих функций в виде интеграла Фурье, получаемдругую. Такие пары функций принято называть «Фурье-образами» друг друга, апереход от одной к другой – «Фурье-преобразованием».B (ω ) =3. Проследим трансформацию, которую претерпевает спектр частот гармоникпериодической функции по мере увеличения периода Т и в пределе превращенияэтой функции в одиночный сигнал. Для такого анализа удобно выбратьВ(ω)(∆ω)-11∆ωА(t)вa0ξ(t)(∆t)-10tω-2π/∆ω02π/∆ωπ--1 В(ω)∆tб0t2π/∆t 4π/∆t4π/∆ωгωРис.6.16последовательность импульсов постоянной длительности ∆t, период повторениякоторых Т1.Начнем мы с “прямоугольной волны”, которую рассматривали в начале § 4 (см.рис.6.12), и будем постепенно трансформировать функцию, увеличивая периодповторения импульсов в два раза ( T1′ = 2T1 , T1′′= 4T1 , ...

). В конце концов, мы придёмк одиночному прямоугольному импульсу – см. рис.6.17(а–г). Отсчет времени t = 0начнём с середины одного из импульсов, так что наша периодическая функция –четная, поэтому ряд Фурье для неё должен состоять только из косинусов:197Дополнительные главы. Глава VI. Волновые пакеты и импульсыFF1′Вnat∆tбдВ′nωВ′nωеаF2′ξtt0вжωВ′(ω)гω1t3ω1з5ω1ωРис.6.172π.(6.45)Tn =1Поскольку “прямоугольная волна”, показанная на рис.6.17,а, несимметрична(ср. с рис.6.12), коэффициент В0 для неё отличен от нуля. Но этот постоянный членразложения (6.45) интересовать нас не будет, потому что по мере увеличенияпериода он будет постепенно уменьшаться, стремясь к нулю.

В данном случае мысконцентрируем внимание только на гармонических составляющих ряда (6.45).Амплитуды гармоник Вn находим, используя (6.30):∞F (t ) = B0 / 2 + ∑ Bn cos ω1nt , ω1 =Bn =2T1T1∫ [F (t ) cos ω t ]dt .1n(6.46)0Полагая, что амплитуда импульсов равна а, а период повторения их Т1, получаем: ∆t  sin(nω1∆t / 2 ).(6.47)= 2a   T1  nω1∆t / 2Если амплитуда импульсов постоянна, совершенно очевидно, что при“удалении” половины из них амплитуды гармоник уменьшаются пропорционально∆tвеличине отношения.

Так как мы анализируем только спектральный составT1′T′сигналов, на графиках рис.6.17(а–з) будем изображать коэффициенты Bn′ = Bn 1 ,∆t∆tвеличины которых не зависят от отношения. Вид функциональной зависимостиT1Bn′ (ω ) показан на рис.6.17,г и перенесён пунктирной линией на рис.6.17(д–ж), на∆t / 24a sin nω1tBn =T1 nω1 0котором ось частот проградуирована в единицах, соответствующих частоте первойгармоники сигнала F(t), изображённого на рис.6.17,а.Положение первого (самого низкочастотного) “узла” на зависимостях Bn′ (ω ) ,показанных на рис.6.17 (д–ж), определяется условием (см.

рис.6.4):198Колебания и волны. Волновая оптикаn ω 1 ∆t=π .2(6.48)Обозначая ω = nω1 и учитывая, что для “прямоугольной волны” (рис.6.17,а) ∆t = Т1/2,получим частоту, соответствующую первому узлу функции Bn′ (ω ) на рис.6.17,д: ω =2ω1. Из рис.6.17,д видно, что амплитуды всех чётных гармоник в разложении“прямоугольной волны” в ряд Фурье равны нулю, так как попадают в узлы функцииBn′ (ω ) . Амплитуды всех нечётных гармоник (ω = ω1, 3ω1, 5ω1 и т.д.) попеременноменяют знак (см. также pиc.6.11).

Номepa гармоник показаны на рис.6.17,д цифрами,проставленными рядом с соответствующими вертикальными штрихами.Удалим из последовательности импульсов, показанных на рис.6.17,а, каждыйвторой. В результате получим периодическую функцию F1′(t ) , период которойT1′ = 2T1 , а самая низкая частота в разложении (6.45):2T ω1ω1′ ==.(6.49)T1′2Отсюда следует, что расстояние между соседними гармониками по оси частот рядаФурье для Функции F1′(t ) будет в два раза меньше, чем для функции F (t ) – ср.рис.6.17(д, е).Снова проведём “прореживание” последовательности импульсов, оставляякаждый второй – см. рис.6.17,в.

Период функции опять увеличивается в два раза, асамая низкая частота – уменьшается в два раза аналогично (6.49). В итоге спектрчастот ряда Фурье для функции F (t ) стал ещё в два раза “гуще” – см. рис.6.18,ж.Очевидно, что, продолжая эту процедуру много раз, мы придём по существу кодиночному импульсу (pиc.6.17,г), который описывается бесконечно большимколичеством гармоник – т.е.

непрерывным распределением гармоник по частотам –рис.6.17,з. Вместо ряда Фурье в этом случае необходимо использовать интегралФурье для представления функции в виде совокупности гармоник – см.соотношения (6.29) и (6.31).Как уже обсуждалось ранее, чем меньше длительность импульса ∆t, тем ширеспектр частот гармоник, составляющих этот импульсный сигнал (см.

рис.6.17,г).4. ПроведёмФурье-анализзатухающегоколебательногопроцесса,происходящего по закону (см. (1.34), рис.1.8):ξ (t ) = A0 e − β t ⋅ cos ωc t; ωc2 = ω02 − β 2 ; t > 0 .(6.50)Функция (6.50) – непериодическая, поэтому может быть представлена в видеинтеграла Фурье:∞∞00ξ (t ) = ∫ A(ω ) sin ωt dω + ∫ B (ω ) cos ωt dω .(6.51)Коэффициенты Фурье определяются соотношениями:A(ω ) =1π∞∞∫ ξ (t ) sin ωt dt = π ∫ [e−∞A0− βt⋅ cos ωc t sin ωt ]dt =0199Дополнительные главы. Глава VI.

Волновые пакеты и импульсыA= 02π∞∫ {e ⋅ [ sin(ω + ω )t + sin(ω − ω )t ]}dt .− βtcB (ω ) ==A02π(6.52)c01π∞∫ ξ (t ) cos ωt dt =−∞∞∫ {e−β tA0π∞∫ [e−β t⋅ cos ωc t ⋅ cos ωt ]dt =0⋅ [ cos(ω + ωc )t + cos(ω − ωc )t ]}dt .(6.53)0Используя табличные интегралы∞∫ [e−β t⋅ sin α t ]dt =0∞αα +β22,∫ [e−β t⋅ cos α t ]dt =0βα +β22,равенства (6.52) и (6.53) можно привести к виду:A ω + ωcω − ωc;A(ω ) = 0  2+ 222 β + (ω − ωc ) 2π  β + (ω + ωc )B (ω ) =A02πββ β 2 + (ω + ω ) 2 + β 2 + (ω − ω ) 2  .cc(6.54)(6.55)(6.56)Полагая, кроме того, затухание малым ( β 2 << ω02 ; ωc ≈ ω0 ) и, рассматриваяобласть частот вблизи ω0, в соотношениях (6.55) и (6.56) можно пренебречьпервыми слагаемыми:Aω − ω0A(ω ) ≅ 0 2;(6.57)2π β + (ω − ω0 ) 2AβB (ω ) = 0 2.(6.58)2π β + (ω − ω0 ) 2Интенсивность колебаний определяется суммой квадратов коэффициентов А(ω) иВ(ω), поэтому имеем21A .I (ω ) = A2 (ω ) + B 2 (ω ) ≅  0  22πβ+(ω− ω0 ) 2(6.59)Легко видеть, ЧTO интенсивность колебаний, в соответствии с равенством (6.59),пропорциональна функции R(ω) – «лоренцевой» функции формы линии (см.

(1.72)).Отсюда следует важный практический вывод – для того, чтобы экспериментальноопределять характеристики затухающего колебательного процесса, достаточнопровести Фурье-анализ этого процесса. Обычно это требует значительно меньшеговремени, чем изучение вынужденных колебаний в исследуемой системе.5. Пусть плоская монохроматическая волна распространяется по оси Х –рис.6.18,а. Поместим на её пути длинную щель шириной b, ограничивающуюпространственно размер фронта волны по оси Y – рис.6.18,б. В результате дифракцииамплитуда результирующего колебания А будет зависеть от угла дифракции так, какэто показано на рис.6.18,в (интенсивность волны, пропорциональная квадратуамплитуды, представлена для разных углов дифракции на рис.4.18).200Колебания и волны. Волновая оптикаАYb/2ϕF(y)Xвб-2λ/b -λ/b-b/2-b/2 0 b/2 yаРис.6.18λ/b2λ/b sinϕ0-4π/b -2π/b0∆ky2π/b 4π/bПоложение минимумов дифракционной картины определяется соотношением(4.13), которое можно переписать так:2π2π.(6.60)sin ϕ = ± mbλ2πУчтём, что k =, а k sin ϕ = ∆k y – изменение составляющей волнового вектора вλрезультате дифракции по оси Y (амплитуда волнового вектора остаетсянеизменной).

В итоге горизонтальную ось на рис.6.18,в можно проградуировать ввеличинах ∆k y . Сопоставляя рис.6.18(б,в) и рис.6.16(в,г), убеждаемся в их сходстве.Положение ближайшего к центральному максимуму минимума на рис.6.18,всоответствует выполнению теоремы о ширине волнового пакета в форме:∆k y ⋅ b = ∆k y ⋅ ∆y = 2π .(6.61)Таким образом, дифракционная картина от щели может рассматриваться какФурье-образ (в ∆k y -пространстве) ограниченного по оси Y фронта плоской волны.Представление о дифракции как Фурье-преобразовании оказывается чрезвычайноплодотворным при рассмотрении дифракции на более сложных препятствиях –например, на прямоугольном отверстии.201.