§ 2 . Дифракция Френеля на щели (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптика§ 2. Дифракция Френеля на щелиМетод зон Френеля оказывается весьма полезным и прирешениизадачпрямолинейнымиодифракцииграницамиволннапрепятствиях(полуплоскостиилисщели).Рассмотрим сначала дифракцию плоской монохроматическойволны на прямолинейном краю непрозрачной полуплоскости. Экран,на котором регистрируется дифракционная картина, находится нарасстоянииlвыполнениизапрепятствием.законараспространенияПрипрямолинейногосветанаэкраненаблюдалась бы тень с резким прямо-lлинейным краем. В действительности жевблизипроекциикраяполуплоскостинаблюдается типичная интерференционная картина – чередования светлых итемных полос – результат дифракциисвета (см.

рис. 4.9).Разобьемплоскийволновойфронт,Рис. 4.9совпадающийсплоскостью преграды, на зоны Френеля. На этот раз онипредставляют собой полоски, параллельные краю преграды.Определим сначала интенсивность в точке В, расположеннойстрогонапротивкраяпрепятствия.Расстоянияотграницсоседних зон до этой точки, как и ранее, отличаются на λ/2 (см.рис.4.10). Повторяя выкладки, приведенные на стр.88, получим,что граница зоны с номером m находится на расстоянии hm отлинии ОВ:hm = mλl .(4.10)97Глава IV.

Дифракция волнλПлощадьm-ойпропорциональна0-h3 -h2 -h14′ 3′ 2′2 34XSm ∼Отсюдаm − m − 1.следует,рассматриваемойlширинесоответствующей полоски, т.е.h1 h2 h311′зоны(4.11)чтовситуацииплощади разных зон Френеляне равны, а именно:S1 : S2 : S3 : S4 = 1 : 0,41 : 0,32 : 0,27.Рис. 4.10В(4.12)Другая особенность этойзадачи – наличие двух симметричных семейств зон Френеля –“правого” (цифры без штрихов на рис.4.10) и “левого” (цифры соштрихами). В рассматриваемом случаевсе зоны левогосемейства закрыты преградой.Амплитуду результирующих колебаний в точке В определим,как и ранее, выполняя сложение колебаний графическим способом.Сначала представим на векторной диаграмме результат действиятолько одной первой (“нештрихованной”) зоны Френеля. Для этогоразобьем её дополнительно на большое число (n) равных поширине параллельных краю препятствия полосок (“нитевидных”вторичных источников), узких настолько, что волны, приходящие вточку В от двух соседних полосок, лишь немного отличаются пофазе.

Колебание, возбуждаемое в точке В волнами от первоговторичного источника, находящегося на волновом фронте точноrнапротив точки В, изобразим вектором Е1( I ) , направленнымгоризонтально вправо – см. рис.4.11. Колебания от каждого98Колебания и волны. Волновая оптикаследующеговторичногоисточника,располагающегося чуть дальше от краяпрепятствия,приходятвточкуВснекоторым запаздыванием по фазе ∆ϕi –rсоответствующий вектор Еi должен бытьРис.4.11rЕ Р( I )повернут угол ∆ϕi по часовой стрелке. Каки в задаче о дифракции на круглом отверстии, будем добавлять кrrrвектору Е1( I ) векторы Е2( I ) , …, Еn( I ) , изображающие действиеследующих полосок. Длина каждого следующего вектора чутьменьше предыдущего из-за увеличения расстояния от источника доточки В.

Этот эффект невелик, мы учитывали его и прирассмотрении дифракции на круглом отверстии.Более существенно другое – сдвиг фаз между колебаниямиот соседних полосок сначала изменяется сравнительно медленно(для полосок, близких к точке О), а затем (при возрастанииномера полоски) нарастает всё быстрее. Это объясняется тем,что разность хода лучей растет по квадратичному закону по мереудаления соответствующего вторичного источника от точки О (т.е.в зависимости от координаты х вторичного источника).

В отличиеот этого, при дифракции на круглом отверстии отставание пофазе нарастало равномерно, поскольку постепенно уменьшаласьширина кольцевых вторичных источников. В итоге “выстраивания”rrrвекторов Е1( I ) , Е2( I ) , …, Еn( I ) от всех полосок первой зоны Френеляполучаем векторную диаграмму, показанную на рис.4.11.Общим для кривых, показанных на рис.4.4 и 4.11, являетсясдвиг фаз между крайними векторами, равный в обоих случаях π –соответствующие колебания приходят в точку В в противофазе.99Глава IV. Дифракция волнСправа от точки О волновой фронт неограничен – числооткрытыхзонФренелябесконечновелико.Выстраиваяаналогичным образом векторы, изображающие действие всехпоследующих “правых” вторичных источников, получим кривую,показанную на рис.4.12. Отметим, что по мере возрастанияномера зоны различие в ширинесоседнихМзонстановитсявсеменьше (см.

(4.12)), поэтому, чемrЕРrЕ Р′больше номер зоны, тем ближесоответствующийучастокспи-рали на рис.4.12 к полуокружности.Рис.4.12Амплитуданапряженностиколебанияэлектрическогополя в точке В пропорциональнаrквадрату длины результирующего вектора ЕР на рис.4.12.Какова интенсивность света в точке В? Чтобы ответить наэтот вопрос, мысленно уберём препятствие на пути световыхволн. Тогда и вторичные источники, принадлежащиелевым“штрихованным” (на рис.4.10) зонам Френеля будут давать вкладв освещенность экрана в точке В.Для них, очевидно, может бытьпостроена точно такая же векторная диаграмма, только векторыrЕi′ придется выстраивать симметрично относительно началакоординат влево.

Полную векторную диаграмму для открытоговолнового фронта получим, “сшивая” две векторные диаграммы,для “правых” и “левых” вторичных источников. При этом нужноrrучесть, что два начальных вектора Е1( I ) и Е1( I ′) (от двух центральныхполосок справа и слева от линии ОВ) практически параллельны100Колебания и волны. Волновая оптика(фазы колебаний почти одинаковы); по мере удаления отцентральной полоски к периферийным соответствующие векторыrrrrЕ2( I ′) , Е3( I ′) , …, Еn( I ′) все больше поворачиваются относительно Е1( I ′)по часовой стрелке (отставание по фазе).

В результате получимполную векторную диаграмму колебаний в точке Вввиде т.н.“спирали Корню” – см. рис.4.13.М 1′••rЕ Р0М 2′rЕ1( I )МrЕ1( I ′)М2•Рис.4.13Интенсивность•светавотсутствииМ1преградыI0rпропорциональна квадрату длины результирующего вектора Е Р0на рис.4.13. Нетрудно видеть, что длина этого вектора вдвоеrбольше, чем вектора Е Р на рис.4.12. Таким образом, на местекрая геометрической тени (проекции края препятствия на экран)101Глава IV.

Дифракция волнинтенсивность света в четыре раза меньше, чем в отсутствиипреграды (I = 0,25 I0).Посмотрим теперь, как меняется освещенность экрана приперемещении точки наблюдения влево от края геометрическойтени – точки В на рис.4.10. (Это эквивалентно постепенномуперемещению препятствия на рис.4.10 вправо относительнонеподвижной точки В). При этом постепенно закрываются“нештрихованные” зоны Френеля и из спирали, представленнойrrна рис.4.12, последовательно исключаются векторы Е1( I ) , Е2( I ) , …Конец результирующего вектора остается на прежнем месте, а вотего начало “скользит” вдоль спирали вправо от точки М (см.rна рис.4.12).

Длина результирующего векторавектор ЕР′монотонно убывает по мере удаления точки наблюдения от краяпрепятствия “вглубь” (рис.4.10). Соответственно ведёт себя иосвещённость экрана в области геометрической тени.При смещении от точки В вправо, т.е. в область, где привыполнении законов геометрической оптики наблюдалась быравномерная освещённость всего экрана, растёт число открытыхвторичныхисточников“штрихованных”зон–началорезультирующего вектора “скользит” вдоль спирали Корню (рис.4.13) влево от точки М. Длина его достигает максимального иминимального значений, когда начало вектора оказывается вточках М′1 и М′2 спирали (вблизи краев первой и второй“штрихованных”зонФренеля,соответственно).Конецжерезультирующего вектора всегда находится в центре “правой”спирали.Дальнейшее смещение от границы геометрической тениприводит к чередованию локальных минимумов и максимумовосвещённости, поскольку длина результирующего вектора при102Колебания и волны.

Волновая оптика“скольжении” его начала поI“левой” спирали осциллирует.1,37I0ПриудаленииоткраяI0геометрической тени макси-0,78I0мумы и минимумы распола-0,25I0гаются всё ближе друг к другуи становятся менее резков области“тени”выраженными – см. рис.4.14.0вне “тени”ХРис. 4.14Это и объясняет представленную в начале параграфа на рис.4.9 дифракционную картину.Пользуясь спиралью Корню (рис.4.13), можно качественнопровести построение дифракционной картины от щели.Рассмотримсначалаинтенсивностьинтерференционнойкартины в центре экрана, расположенного за щелью. Пустьширина щели такова, что она оставляет открытыми чуть меньшедвухпервыхзонФренеля(поодной“штрихованной”и“нештрихованной”), так что результирующее колебание в центреэкрананавекторнойдиаграмме(рис.4.13)изображаетсяМ 1′и М1*).

Его амплитудаrмаксимальна (больше амплитуды вектора Е Р0 ), освещённость ввектором, соединяющим точкицентре экрана заметно превышает освещённость экрана вотсутствии преграды. При приближении экрана к щели ширинавсех зон Френеля уменьшается (см. формулу (4.10)), щельначинает “вмещать” больше зон Френеля и, соответственно,амплитуда вектора результирующих колебаний в центре экранауменьшается.*)Вчастности,когдавекторрезультирующихШирина щели при этом b ≈ 2h1 = 2 lλ . Или, иначе говоря, расстояние до экрана l = b2/4λ.103Глава IV.

Дифракция волнколебаний соединяет точки М 2′ и М2**)(рис.4.13), длина этоговектора минимальна и меньше, чем в отсутствии преграды.Дальнейшееприближениеэкранаведёткзатухающимосцилляциям освещённости в центре дифракционной картины.Очевидно, что качественно все происходит так же, как и придифракции Френеля на круглом отверстии (см. §1), только теперьсимметрия дифракционной картины иная.Характер пространственного распределения интенсивностипо всему экрану (справа и слева от центральной полоски)качественно такой же, как и от круглого отверстия.

На экраненаблюдается система светлых и темных областей, симметриякоторыхсоответствуетсимметриипрепятствия.Вслучаедифракции на щели дифракционная картина представляет собойсемейство светлых и темных полос, параллельных щели. Точныеположениямаксимумовиминимумовинтерференциипридифракции света на щели зависят от длины световой волны,шириныщелиирасстоянияотщелидоэкрана.Соответствующие соотношения для одного наиболее важногочастногослучаядифракциинащелибудутполученывследующем параграфе.При этом щель “вмещает” по две “правых” и две “левых” зоны Френеля, b ≈ 2h2 = 2 2lλ ;расстояние до экрана l = b2/8λ.**))104.