§ 5 . Интерференция волн, отраженных от двух поверхностей (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава III. Интерференция волн§ 5. Интерференция волн,отраженных от двух поверхностейПусть три различные среды разделены плоскими, параллельными границами раздела – см. рис.3.13. В первой средеВ1α α В 90°CO1O Dβ 90° 90° D1IIIIАРис. 3.13распространяетсяIплоскаяволна(длина волны λ1), падающая наIIIграницу раздела сред 1 и 2 подуглом α. Луч I, соответствующийсредаволне, отражённой от этой границы,также составляет угол α с нормальюк граничной плоскости.

Прошедшаяво вторую среду волна II (длинаволны во второй среде λ2) частично отразится от “нижней”границы раздела и снова выйдет в первую среду (луч III). Такимобразом, между колебаниями в точках О1 и В1 возникает разностьфаз, поскольку лучи I и III попадают в эти точки по разнымоптическим путям – ОВ1 и ОАО1 соответственно. В дальнейшемэто фазовое соотношение не меняется.

Установим, какова этаразность фаз.Выполним следующие построения: провёдем перпендикулярАС к обеим границам и из точки С опустим перпендикуляры к лучамI и II (СВ и СD, соответственно). Из проведённого построенияочевидно, что ∠OCB = α (углу падения), ∠OCD = β(углупреломления).Используя закон преломления света и связь показателяλ преломления с длиной волны  n21 = 1  , можем записать:λ2 80Колебания и волны. Волновая оптикаsin α λ 1sin α OB OD OB.=,=:=sin β λ 2sin β OC OC OD(3.37)Отсюда следует, что, если измерять пути в количестве длин волн(λ1 и λ2 для соответствующей среды), то такие “волновые пути” наотрезках ОВ (для луча I) и ОD (для луча II) оказываютсяравными.

Ясно также, что то же самое можно утверждатьотносительно “волновых путей” на отрезках BB1 и D1O1 (т.к.BB1 = OB и D1O1 = OD). Таким образом, разность искомыхволновых путей лучей I и III обусловлена тем, что луч II-IIIпроходит дополнительный (по сравнению с лучом I) путь DAD1.Величину этого дополнительного пути во второй среде мыобозначим ∆, а толщину слоя среды 2 – h. Тогда∆ = 2h cosβ .(3.38)Если величина ∆ меньше длины когерентности lk, то приналожении лучей I и III возникнет интерференционная картина.ПосколькулучиIиIIIпараллельны,говорят,чтоинтерференционная картина “локализована в бесконечности”.Практически при наблюдении интерференции световых волн,отраженных от двух поверхностей тонкой плёнки, лучи I и IIIсобирают с помощью линзы в её фокальной плоскости (рольлинзы может играть хрусталик глаза).Запишем условия максимумов и минимумов интенсивностиинтерференционной картины в двух случаях:1.

Отражение на каждой границе происходит от болееплотной среды. При отражении луча I “теряется” λ/2 и приотражении луча III – тоже. Поэтому дополнительной разностифаз между лучами I и III из-за отражения не возникает.Максимумы 2h cosβ = mλ2.81Глава III. Интерференция волнМинимумы:2h cosβ = (m + ½)λ2, m = 1, 2, 3, …(3.39)2. Среда 3 идентична среде 1, причём более плотной являетсясреда 2. При отражении луча I “теряется”, как и ранее λ/2; но приотражении луча II изменения фазы нет (отражение от менееплотной среды).

Эту дополнительную разность фаз междулучами I и III необходимо учесть при записи условий максимумови минимумов:2h cosβ = (m + ½)λ2.МаксимумыМинимумы:Вчастности,2h cosβ = m λ2, m = 1, 2, 3, …принаблюдении(3.40)интерференциисвета,отражённого от тонкой плёнки с показателем преломления n2 > 1(плёнка находится в воздухе, n1 = n3 = 1), условия максимумов иминимумов интерференционной картины таковы:Максимумы:2h n2 cosβ = (m + ½)λ;Минимумы:2h n2 cosβ = m λ, m = 1, 2, 3, …(3.40,а)(Здесь λ – длина световой волны в вакууме).Явления, связанные с интерференцией волн, отражённых отдвух поверхностей, особенно важны в оптике. Поскольку обычноэти явления наблюдаются в естественном (солнечном) свете,видеть их можно только в тех случаях, когда толщина плёнки(среды 2 на рис.3.13) порядка длины световой волны.

Этообъясняется тем, что длина когерентности солнечного света такжеимеет порядок λ, поэтому для более толстых плёнок теряетсякогерентность между лучами I и III. Естественно, что с повышениеммонохроматичностиисточникасветаусловиянаблюденияинтерференции становятся всё более мягкими (увеличиваетсядлина когерентности) и перечисленные ниже эффекты можнорегистрировать, используя более толстые плёнки.82Колебания и волны. Волновая оптикаI. Цвета тонких плёнок. При наблюдении тонких плёнок вотражённом белом свете они окрашиваются в те цвета, длякоторых выполняются условия максимумов интерференционнойкартины. (3.39)–(3.40).

В проходящем свете эти плёнки будутокрашены в “дополнительные” цвета.II. Полосыравнойтолщины.Еслитонкаяплёнканеоднородна по толщине и освещается параллельным пучкоммонохроматического света, то области разной толщины будутиметь различную интенсивность окраски (т.к. для некоторыхтолщин будут выполняться условия максимумов, а для других –минимумов). При освещении такой плёнки белым светом участкиплёнки,имеющиеодинаковыетолщины,будутодинаковоокрашены.

В частности, если плёнка представляет собой клин смалым углом (рис.3.14), то полосы равной толщины будутпараллельны ребру клина и расположены на одинаковыхрасстояниях друг от друга. Легкодоказать, что интерференционнаякартина в этом случае локализованавплоскости,реброклинапроходящей(вэтойчерезплоскостипересекаются все лучи, отраженныеот двух поверхностей клина).Рис. 3.14Другой частный случай полос равной толщины – кольца,наблюдаемые, при отражении или прохождении света черезсистему, состоящую из плоской пластины и лежащей на нейлинзы с большим радиусом («кольца Ньютона»).

Кольца Ньютонапредставляютсобойсемействоконцентрическихтёмныхисветлых окружностей, сгущающихся к периферии интерференционной картины.83Глава III. Интерференция волнIII. Полосы равного наклона. Такие полосы наблюдаются,когда на тонкую плоскопараллельную плёнку падает коническийпучок света. Интерференционная картина в этом случае состоитиз системы концентрических тёмных и светлых колец, посколькуположения максимумов и минимумов целиком определяются углом,под которым лучи света падают на плёнку. Для всех лучей содинаковыми углами падения (независимо от того, в какой плоскостиони лежат), условия интерференции абсолютно одинаковы.Ясно, что при освещении плёнки монохроматическим пучкомнаблюдаются интерференционные кольца одного цвета, норазной интенсивности; если используется конический пучокбелого света, то кольца будут разных цветов.IV.

Формула Вульфа-Брэгга. Полученные нами соотношения(3.39) оказываются полезными и при рассмотрении интерференции рентгеновских лучей на кристаллической решётке – см.рис.3.15. В этом случае h – расстояние между атомнымиплоскостями кристаллической решётки, угол падения α равенуглу преломления (“среда” всюду одна и та же), условияотражения двух лучей, как и при выводе соотношений (3.39),одинаковы. Поэтому, переходя куглуhαθ• •• •• • • •Рис. 3.15скольженияθ,условиемаксимума можно записать в виде••••2h sinθ = ±mλ.(3.41)Соотношение (3.41) представляет собой основное уравнениерентгеноструктурного анализа (т.н.

«формула Вульфа-Брэгга»).Многочисленныеметодырентгеноструктурногоанализабазируются на этой формуле и широко используются (вчастности, в химии) для анализа структуры твёрдых тел, в томчисле молекулярных кристаллов.84.