§ 3 . Условия наблюдения интерференции (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Глава III. Интерференция волн§ 3. Условия наблюдения интерференцииВ предыдущем параграфе, рассматривая интерференциюмонохроматическихисточников,мыгармоническихпреднамеренноволнотдвухточечныхидеализировалиреальнуюкартину интерференции. Действительно, в природе и технике нетисточников, испускающих строго гармонические волны однойчастоты; также как нет источников волн бесконечно малыхразмеров (“точечных” источников).Поэтому необходимо выяснить, при каких условиях вреальных ситуациях возможно наблюдение интерференции волн.1. Сначала обсудим, в какой степени осложняет наблюдениеинтерференции немонохроматичность волн. Начнем анализ спростейшего случая, когда в спектральный состав источникавходит всего два значения частоты ω1 и ω2, мало отличающиесядруг от друга.

Предположим, что в какой-то точке пространства Ав момент времени t = 0 две волны с частотами ω1 и ω2,интерферируя, дают усиление колебаний – см. рис.3.4.На рисунке колебания, возбуждаемые этими волнами в точкеА, показаны отдельно, хотя мы будем считать, что волныраспространяютсяt = 0ξ1t1t2однойtкпрямой.Есливремя измерений равноtξ2поt1(см.разностьрис.3.4),фазколебаниямитомеждуξ1 и ξ2изменится незначительРис.

3.468но, эти колебания попрежнемуусиливаютКолебания и волны. Волновая оптикадругдруга.Есливремя,необходимоедляизмеренияинтенсивности больше – t2, то усреднение результатов сложенияколебаний все ещё будет отличаться от случая сложенияинтенсивностей (отсутствие интерференции) и колебания всёещё можно считать когерентными.

Когерентность колебаний ξ1 иξ2 полностью нарушится через время t = τk, когда эти колебаниябудут уже не усиливать, а ослаблять друг друга (∆ϕ = π) – см.рис.3.4. Время, за которое это произойдет, называется временемкогерентности τk. Из вышесказанного следует, что в случаеинтерференции двух монохроматических волн с отличающимисячастотами время когерентности равно τ k =πω 2− ω 1.Перейдём к более реалистичной модели источника света.Обычно приходится иметь дело с источниками, частоты излучениякоторых распределены в некотором интервале от ω1 до ω2 = ω1 +∆ω (“сплошной спектр”).Мы будем полагать для простоты, чтоинтенсивности волн для всех частот в этом интервале одинаковы– см.

рис.3.5,а.Если в начальный момент времени t = 0 фазы всех колебанийсовпадают (как это проиллюстрировано для двух волн на рис. 3.4),то в этот момент все волны усиливают друг друга. Эффектусиления исчезнет через некоторое время, когда наложение волнаI∆ωРис. 3.5ω1бIωω212ϕ1NNN+ +122Nϕ2ω69Глава III. Интерференция волнбудет приводить к их взаимному ослаблению. Покажем, что врассматриваемом случае это произойдет в момент времени t = τк,когда между “крайними” волнами (в спектральном смысле – счастотами ω1 и ω2 = ω 1 + ∆ω) накопится разность фаз, равная 2π. Вэтот момент фаза “первой” волны равна ϕ 1 = ω1t, а фаза“последней” ϕ 2 = ω2t = ϕ 1 + 2π. Фазы всех остальных волн будутравномерно распределены в интервале от ϕ 1 до ϕ 2 – см.рис.3.5,б.

Разобьём этот интервал на 2N одинаковых малыхучастков. Любым двум участкам с номерами n ≤ N (на левойполовине рис.3.5,б) и n + N (на правой половине этого рисунка)соответствуютволны,отличающиесяпофазенаπ,следовательно, эти волны взаимно уничтожатся. Тогда, в моментвремени t = τk вместо усиления волн будет наблюдаться ихполное взаимное подавление.Итак, для источников, излучение которых происходит вполосе частот ∆ω, время когерентности равноτk =2π∆ω(3.20)Число колебаний, которое произойдёт за время когерентности,мы будем называть числом когерентных колебаний:Nk =Отметим,чтомаксимальномуτkT=ωλ2π.==T ∆ω ∆ω ∆λчислопорядкукогерентныхинтерференции,(3.21)колебанийравнокоторыйможнонаблюдать при такой немонохроматичности источника.Длиной когерентности называется расстояние, на котороераспространяется волна за время когерентности:70Колебания и волны.

Волновая оптикаl k = vτ k =λτ kT= λ Nk ≅λ2.∆λ(3.22)Колебания в пределах любого цуга волн длиной lk остаютсякогерентными.Очевидно, что чем более немонохроматическим являетсяисточникволн,когерентности,темменьшечислодлякогерентныхэтогоисточникаколебанийидлинавремякогерентности.С учетом (3.22) соотношение (3.20) может быть записано внесколько иной формеlkλ2.τk = ≅v v ∆λ(3.23)Для солнечного света λ = 400–760 нм, число когерентныхколебаний N k =λ≅ 1− 2 , а длина когерентности порядка 1-2∆λдлин волн λ.

Поэтому ясно, что если в схеме опыта Юнга,показаннойнарис.3.3,спектральныйсоставизлучения“первичного” точечного источника S такой же, как Солнца, тобудет наблюдаться интерференционная картина, состоящая изцентрального (нулевого, m = 0) максимума и двух (–четырёх)ближайших к нему максимумов первого (и возможно второго)порядка (m = 1, 2). При разности хода между волнами 1 и 2 (см.рис.3.3), превышающей две длины волны, когерентность междуними будет потеряна (максимальный порядок интерференции –максимально возможное число m в соотношении (3.18) – равночислу когерентных колебаний Nk).Используясветофильтры(т.е.уменьшая∆λ),можносущественно улучшить условия наблюдения интерференции.Источником наиболее монохроматического излучения (помимо71Глава III.

Интерференция волнлазеров) являются отдельные возбуждённые атомы, спектризлучения которых состоит из узких линий («линейчатый» спектр).Однако и в этом случае испускаемая волна не является строгогармонической, т.к. возбуждённый изолированный атом излучает втечение интервала времени τк ≈ 10-8 с, и за это время испускается“цуг” гармонических волн длиной l = vτk (в вакууме или в воздухеl ≈ 3 м). Длина такого цуга волн по существу является длинойкогерентности для излучения отдельного атома.

Начальная фазаследующего акта испускания волн никак не связана с фазойпредыдущего, поэтому колебания в двух последовательных цугахнекогерентны. В лазерах за счет согласованного излучениямногихатомовкогерентности,активногонавеществанесколькодостигаютсяпорядковбольшие,длинычемдляизлучения отдельного атома.2.Рассмотриминтерференциитеперь,зависятоткакразмеровусловиянаблюденияисточника.Сначалапредположим, что мы имеем точечный и монохроматическийисточникизлученияS.

Волновые поверхности для такогоисточника имеют вид сфер (на рис.3.6 пунктиром показана однаиз них). По определению, любые две точки, расположенные наодной волновой поверхности, должны совершать колебания водной и той же фазе. Как нам в этом удостовериться?Используем для этого уже известную нам схему Юнга. Поставимнепрозрачную преграду с двумя маленькими отверстиями на путиволны, распространяющейся от источника S. На некоторомрасстоянии за преградой поместим экран, на котором будемнаблюдать интерференционную картину. Если волны, распространяющиеся от двух отверстий в преграде, когерентны, тоинтерференционная картина должна уверенно регистрироваться72Колебания и волны. Волновая оптикаS1∗D∗SLβ0dλ/2α0 ≈λ/2dРис.

3.6lβ0XЭ0x(результат такого эксперимента мы уже обсудили в предыдущемпараграфе).Внесём в нашу задачу осложнение – будем предполагать, чтоисточник продолжает оставаться монохроматическим, но теперьимеет конечные размеры D (на рис.3.6 показана “крайняя” точкаисточника – S1).

Очевидно, что интерференционная картина отточки S1 на экране будет смещена относительно интерференционной картины от точки S на уголβ0 = D/2L, где L –расстояние от источника до преграды (т.е. до интересующей насволновой поверхности). Если β0 > α0, где α0 – угловое положениепервого минимума интерференционной картины от точки S,соответствующего m = 0 в соотношении (3.13), то полная интер-73Глава III. Интерференция волнференционная картина от всего протяжённого источника окажетсянастолько“смазанной”,чтонаблюдатьперераспределениеэнергии в пространстве не удастся. А это и означает, чтовыбранные нами две точки на сферической поверхности (дваотверстия в преграде) испускают некогерентные волны.Итак, интерференцию волн от протяженного источника можнонаблюдать только при выполнении неравенства α0 > β0.

Учитывая,(0)хminλчто согласно (3.13) α 0 ==, приходим к такому условиюl2dнаблюдения интерференцииD λ< .L d(3.24)Это неравенство можно переписать несколько иначе:D < rk = ϕ k ·L.(3.25)В соотношении (3.25) введены т.н. «радиус когерентности» rkи «угол когерентности» ϕ k :rk =λ λL,=β Dϕ k=rk λ= .L D(3.26)Здесь β = 2β0 = D/L – угловой размер источника волн.По физическому смыслу радиус когерентности – это размеробласти на сферической поверхности, окружающей источник, впределах которой колебания можно считать когерентными. Размеры этих областей обратно пропорциональны размерам источникаrkϕkLL•DРис.

3.774Drk– см. рис.3.7. Угол когерентности – этоϕkтелесный угол, в который протяжённыйисточник испускает когерентные волны.Чем больше размеры источника, темэтот угол меньше. Из (3.26) очевидно,Колебания и волны. Волновая оптикачто источник волн может считаться точечным, если его размерыменьше или, во всяком случае, порядка длины волны.Длясолнечногосветарадиускогерентностилегкоподсчитать, если учесть, что угловой размер Солнца β ≈ 0,01 рад:rk =λ≈ 5·10-3 см. Поэтому, чтобы наблюдать интерференционнуюβкартину в опыте, показанном на рис.3.6, расстояние междуотверстиями в преграде должно быть меньше 5·10-3 см, чтотрудно экспериментально осуществить. Лишь в начале XIX в.Томас Юнг впервые наблюдал интерференцию с использованиемсолнечного света от двух точечных источников (отверстий внепрозрачном экране).

Существенно, что интерференцию можнобыло наблюдать только в том случае, когда между экраном сдвумя отверстиями и Солнцем располагалась еще одна преградас небольшим отверстием – см. рис.3.8. Назначение этойдополнительной преграды понятно – с её помощью удаетсяуменьшить угловые размеры “первичного”Солнцеисточника и, следовательно, увеличитьрадиус когерентности.Введем еще одну характеристику,преградаопределяющую степень когерентностиизлучения – объём когерентностиVk = lk ⋅ rk2 .Объемобъемтой(3.27)когерентностиобластиопределяетпространства,вкоторой испускаемые источником волныкогерентны.0Рис.

3.875.