§ 4 . Затухающие колебания (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптика§ 4. Затухающие колебанияВ реальных колебательных системах всегда происходятпотери энергии (в механических системах – из-за трения, в электрических – из-за наличия электрического сопротивления). Поэтомусвободные колебания будут затухающими (а следовательно, негармоническими). Учтём это обстоятельство, добавляя в правуючасть уравнения (1.4) силу трения, которую будем считатьпропорциональной скорости тела (Fтр)х = − r⋅ ξ& (такая зависимостьсилы трения от скорости типична для движения тела в вязкойсреде).

Параметр r называется коэффициентом сопротивления.В результате второй закон динамики для механическогоосциллятора при наличии вязкого трения можно записать так:mξ&& = − rξ& − kξ .(1.29)Обозначив r / m = 2 β , соотношение (1.29) приведём к видуξ&& + 2βξ& + ω02ξ = 0 .Величинаω02 = k / m–какиранее,(1.30)собственнаячастотаосциллятора в отсутствии затухания.Совершенно аналогичное уравнение можно получить дляэлектрического контура (рис.1.2,б) с учётом затухания, добавив влевуючастьсопротивленииравенства(1.6)падениенапряжениянаUR.

Только в этом случае дифференциальноеуравнение типа (1.30) записывается не для смещения ξ(t), а длязаряда на конденсаторе q(t); коэффициент вязкого трения r нужнозаменитьнаэлектрическоесопротивлениецепиR;приэтом 2β = R / L , ω 02 = 1 / LC .19§4. Затухающие колебанияПоскольку функции ξ (t ), ξ&(t ), ξ&&(t ) должны быть с точностьюдо постоянных коэффициентов одинаковыми (это очевидно изуравнения (1.30)), решение (1.30) будем искать в виде:ξ (t ) = A0 eα t .(1.31)Подставляя (1.31) в (1.30), получаем т.н.

«характеристическоеуравнение» для коэффициента α :α 2 + 2 βα + ω02 = 0 .(1.32)Решение этого уравнения:α = − β ± β 2 − ω02 .(1.33)Рассмотрим сначала случай малого затухания β < ω0.α = − β ± i ω02 − β 2При этоми, используя формулу Эйлера, решение уравнения (1.30) можнозаписать в формеξ (t ) = A0 ⋅ e − β t ⋅ cos(ωc t + ϕ 0 ) ,(1.34)где ωc = ω02 − β 2 – частота собственных затухающих колебаний;ϕ 0 – как и ранее, начальная фаза. Как видно из рис.1.8,колебания осциллятора в этомξA0случае напоминают гармони-β tA0eческие, но амплитуда колеба-A0e cos(ω t + ϕ0)ний постепенно уменьшается-β tпо экспоненциальному закону.t0Такие колебания, конечно, неявляются гармоническими.TПараметр, β определяющийтемпзатуханияназываетсяРис.1.820затухания.амплитуды,коэффициентомКолебания и волны. Волновая оптикаДля описания колебаний с малым затуханием используютследующие характеристики:1.

Время релаксации амплитуды τA – время уменьшенияамплитуды колебаний в “e” раз:A0= e,A0 e − β τ A2. КоличествоτA = 1/β.откудаколебанийNe,закотороеамплитудауменьшится в “e” раз :Ne =Здесь Т =2πωсτAT=1.βT– период колебаний.3. Декремент затухания D =A(t )= e βT .A(t + T )4. Логарифмический декремент затухания γ – логарифмотношения амплитуд двух последовательных колебаний:γ = ln D = lnA(t )1.= βT =A(t + T )Ne5. Добротность колебательной системы Q:Q = πN e =π πω== с .γ βT 2 βПри очень малом затухании (β << ω 0 ) можно использоватьприближенноесоотношениеQ≈ω0,2βкотороевэлектрического контура легко преобразуется к виду: Q ≈случае1 L.R CДалее мы встретимся ещё с несколькими определениямидобротности. В частности, этот параметр при малом затухании21§4.

Затухающие колебанияпропорционален отношению энергии, запасённой осциллятором, кэнергии, теряемой за период.Действительно,пропорциональнаэнергия,квадратузапасённаяамплитудаосциллятором,колебаний(длямеханических колебаний) или квадрату максимального зарядаконденсатора (для электрических колебаний) – см. соотношения(1.7) и (1.8). Следовательно, в любой момент времениW (t ) = W0 ⋅ e − 2 β t = W0 ⋅ e − t /τ ,(1.35)Wгде W0 – начальный запас энергии осциллятора, τw = 1/2β – времярелаксации энергии (оно в два раза меньше времени релаксацииамплитуды). Учитывая, что потеря энергии за период∆WT (t ) = W (t ) − W (t + T ) = W (t )(1 − e − 2 β Т ) ,(1.36)получаемW (t )1.=∆WT (t , T ) 1 − e − 2 β Т(1.37)В условиях очень малого затухания e −2 β T ≈ 1 − 2 βT и соотношение (1.37) преобразуется к видуN1W (t )1Q== e =.=∆WT (t , T ) 2 β T22γ 2πОтсюдаследуетещёодноопределение(1.38)добротности(подчеркнем, что оно справедливо только при очень малом затухании):Q ≅ 2πW (t ).∆W (t , T )(1.39)Заметим, что, поскольку время релаксации энергии равноτW = 1/2β, можно дать “третье” определение добротности:Q=22ωс= ωсτ W ≅ ω 0τ W .2β(1.39,a)Колебания и волны.

Волновая оптикаПоследнее выражение также правомерно в условиях оченьмалого затухания.Обсудимтеперьнекоторыезакономерностиповеденияосциллятора с большим затуханием (β > ω0). Как следует из(1.33), в этом случае решение дифференциального уравнения(1.30) таково:ξ (t ) = e−β t(AeЗдесь β1 = β 2 − ω 02 , τ 1 =β1t+ Be− β1t)= A⋅e−tτ1+ B⋅e−tτ2.(1.40)11, τ2 =.β − β1β + β1Два параметра – А и В определяются из начальных условий(начальная координата и начальная скорость должны бытьзаданы). В частности, если в начальный момент временисмещениеравнонулю(например,маятниквыводитсяизравновесия толчком), то ξ(0) = А + В = 0 и А = −В.Соответствующаязависимостьсмещенияотвременипоказана на рис.1.9(а). Если начальное отклонение от положенияравновесия не равно нулю, то А ≠ −В; траектория движения теладля этого случая показана на рис.1.9 (б).Сравнивая рисунки 1.8 и 1.9, легко понять, почему режим сξA0A exp(-t/τ1) + B exp(-t/τ2)A exp(-t/τ1)B exp(-t/τ2)tξAt0бBРис. 1.9B23§4.

Затухающие колебаниябольшимзатуханиемчастоназывают«апериодическим».Существенно, что время возвращения системы к равновесиюопределяетсявапериодическомрежименаибольшей постоянной времени τ 1 =экспонентойс1. При очень сильномβ − β1затухании (β >> ω0) эта постоянная времени может быть весьмабольшой (β ≅ β1, τ1 → ∞). Очевидно, режим с большим затуханиемнецелесообразно использовать при работе стрелочных приборов,как, впрочем, и режим с малым затуханием – см. рис.1.8.

С этойточка зрения наиболее интересен т.н. «критический» режим,когда выполняется условие β = ω0, т.е. β1 = 0.Критический режим широко используется в работе различныхприборов, поскольку в этом режиме возвращение к положениюравновесия происходит наиболее быстро.В критическом режиме τ1 = τ2 , и решение (1.40) не можетбыть общим решением дифференциального уравнения второгопорядка, поскольку фактически в (1.40) останется только одинпараметр – множитель перед экспонентой.

Легко показать, чторешением уравнения (1.30) при β = ω0 является функцияξ (t ) = ( A + B ⋅ t )e−βt.(1.41)Параметр А в этом случае имеет смысл начального смещенияξ(0), начальная скорость равна ξ&(0) = В − β ⋅ А . Если начальноеотклонение от положения равновесия равно нулю (А = 0), топараметрВопределяетвеличинуначальнойскоростиосциллятора. В рассматриваемом случае зависимость смещениятела от времени получается умножением спадающей экспонентына функцию Bt – см.

рис.1.10.24Колебания и волны. Волновая оптикаДифференцируя по времениξ (t ) = V0 ⋅ t ⋅ e−β tξи приравниваяBt-βtξmax = B/βee-β tξ(t) = Bteпроизводную нулю, находим,что максимальное отклонениеот положения равновесия достигается в момент времениtmax =1β. В этот моментtРис.1.10ξ max = ξ (1 / β ) =В.βe(1.42)Таким образом, максимальное отклонение от положенияравновесияврассматриваемомслучаепропорциональным начальной скорости ξ maxоказывается∼ В = ξ&(0) . Этофундаментальное свойство осциллятора в критическом режимеиспользуется в т.н.

«баллистических» приборах (баллистическихмаятниках, баллистических гальванометрах). В этих приборахконструктивными “ухищрениями” добиваются того, чтобы периодколебаний(маятника,достаточнобольшимлиборамки(существенногальванометра)превышалвремябылтоговоздействия ∆t, которое предполагается исследовать – например,время соударения маятника с каким-либо телом или времяпротекания импульса тока через рамку гальванометра).

Тогдаимпульс, который получает баллистический маятник за время ∆t,можно считать пропорциональным начальной скорости маятника.Следовательно,положениямаксимальноеравновесиясотклонениеточностьюдомаятникаотградуировочногомножителя будет указывать величину сообщенного маятникуимпульса (“количества движения”).25§4. Затухающие колебанияДля баллистического гальванометра начальная скоростьрамки также пропорциональна импульсу силы, действовавшей нарамку в течение времени ∆t. Так как сила, действующая на рамку,пропорциональна протекающему по рамке току, то F∆t ∼ I∆t ∼ ∆q.В этом случае максимальное отклонение рамки от положенияравновесия пропорционально полному заряду ∆q, протекшемучерез рамку за время ∆t.В заключение сделаем несколько замечаний о спецификезатухающих колебаний в системе связанных осцилляторов.

Вопервых, необходимо иметь в виду, что представление онормальных модах колебаний в случае затухающих колебанийимеет смысл только в условиях небольшого затухания. Вовторых, необходимо учитывать, что затухание может бытьнеодинаковым для разных мод, поскольку, например, пружины вслучае механических колебаний или конденсаторы – в случаеэлектрических “работают” для различных нормальных колебанийпо-разному. Наконец, очевидно, что небольшое затухание никакне может повлиять на фундаментальные свойства нормальныхколебаний – соответствие между числом нормальных мод иколичествомколебательныхстепенейнезависимость нормальных колебаний.26свободы,атакже.