§ 3. Свободные колебания связанных осцилляторов (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаидентификации колебательных спектров водородсодержащихфрагментов в исследуемом веществе.3. Определим, как относятся частоты собственных колебанийсвободных и связанных гидроксилов (например, гидроксилов,связанных с поверхностными атомами твёрдого тела, либо сбольшими молекулами). Полагая, что для связанного гидроксилаm2 >> m1 , m1 = mH , получаем:(mO + mH )ω0своб=≈ 1,031 .связω0mO(1.13)С помощью современной аппаратуры легко зарегистрироватьотличие в частотах собственных колебаний молекул на сотые, идаже тысячные доли процента, так что разница в 3,1%следующая из (1.13), представляет собой громадный эффект,который уже давно экспериментально обнаружен и наблюдаетсяв соответствующих случаях.§ 3. Свободные колебания связанных осцилляторовРазнообразие колебательных явлений обусловлено еще итем, что на самом деле в большинстве практически важныхслучаев приходится иметь дело не с независимыми, а свзаимодействующими между собой осцилляторами.

Именно так,очевидно, следует рассматривать колебания молекул вконденсированныхсредах(жидкость,твердоетело).Электрические цепи тоже часто состоят из несколькихвзаимосвязанных контуров. Во всех подобных случаях принятоговорить о колебаниях в системе связанных осцилляторов.Вообще говоря, их количество в исследуемой системе можетбыть очень большим. Однако основные особенности колебаний всистеме связанных осцилляторов, как мы покажем далее,становятся понятными, если рассмотреть задачу о простейшей11§3.

Свободные колебания связанных системсистеме такого рода, состоящей всего лишь из двухосцилляторов.В качестве примера рассмотрим простую модель колебанийдвух взаимодействующих между собой одинаковых молекул,массалегкогоатомакаждойизкоторыхравнаm.Всоответствующей механической модели, представленной нарис.1.4, пружинки с коэффициентами упругости k моделируютвнутримолекулярные связи. Будем полагать, что два лёгкихатома каждой молекулы связаны сk1kkмассивными атомами, которыеостаются неподвижными. Тогда вmmрамках наших модельных представx20x• 10ленийсоответствующиеконцы•Xξ1ξ2пружинок можно считать жесткофиксированными.

Связь междуРис.1.4молекулами будем моделироватьпружинкой с коэффициентом упругости k1. Напомним, чтосиловые константы связей – k и k1 можно найти, если известназависимость потенциальной энергии взаимодействия междуd 2Uатомами от расстояния между ними ( k = 2dx– см. соотношениеx0(1.2)). Для простоты будем считать, что движение лёгких атомовпроисходит только по оси X, а силами трения можно пренебречь.Введем величины отклонений лёгких атомов от положенийравновесия x10 и x20:ξ1 = x1 – x10 , ξ 2 = x2 – x20.Запишем уравнения движения первого и второго атомов:m ξ&& = – kξ1 – k1(ξ1 – ξ2),(1.14)1m ξ&&2 = – kξ2 + k1(ξ1 – ξ2).12(1.15)Колебания и волны. Волновая оптикаСоотношения (1.14) и (1.15) не являются уравнениямигармонического осциллятора типа (рис.1.4), т.к.

в каждое из этихуравнений входят обе независимые переменные величины –смещения грузов ξ1 и ξ 2 . Поэтому в общем случае движениекаждого атома не является простым гармоническим колебанием.Покажем, однако, что подходящей заменой переменных можносвести систему уравнений (1.14) и (1.15) к двум независимымлинейным дифференциальным уравнениям, каждое из которыхсодержит только одну переменную величину и являетсяуравнением гармонических колебаний.

Для этого сначала сложим,а затем вычтем почленно правые и левые части соотношений (1.14)и (1.15). Если ввести после этого новые переменные ξ I = ξ1 + ξ 2 иξ II = ξ1 − ξ 2 , получим новую систему уравнений:m ξ&&I = – kξI ,(1.16)m ξ&&II = – (k + 2k1)ξII .(1.17)Введенные нами новые переменные ξ I и ξ II называютсянормальными координатами. Таким образом, нормальныекоординаты представляют собой линейные комбинации обычныхкоординат ( ξ1 и ξ 2 ). Введение нормальных координат позволяетсвести исходные дифференциальные уравнения, описывающиеколебания связанных осцилляторов, к такому же количествунезависимых дифференциальных уравнений, каждое из которыхсодержит только одну переменную величину и являетсяуравнением гармонических колебаний.Ясно, что число нормальных координат равно числуисходных уравнений движения, описывающих колебания системы(т.е.

количеству колебательных степеней свободы системы).Общие решения уравнений (1.16) и (1.17) имеют вид,аналогичный (1.5):ξ I = AI cos(ωI t + ϕ I ) ,(1.18)13§3. Свободные колебания связанных системξ II = AII cos(ωII t + ϕ II ).Функции(1.18)и(1.19)(1.19)описываюттакназываемыенормальные колебания (нормальные моды) рассматриваемойсистемы, а частоты:ω I = k m , ω II = (k + 2k1 ) m ,(1.20)называются частотами нормальных колебаний (нормальных мод).Движение каждого тела связанной системы являетсярезультатом сложения нормальных колебаний этой системы.

Врассматриваемом случае легко вернуться к исходнымпеременным, описывающим движение каждого из тел системы:ξ1 = (ξ I + ξ II ) / 2 , ξ 2 = (ξ I − ξ II ) / 2 .(1.21)В нашей модели число колебательных степеней свободы и,соответственно, нормальных колебаний равно двум. Нумерациюнормальных мод обычно начинают с низкочастотных (по меревозрастания частоты нормального колебания номер модыувеличивается).Для полного описания движения системы, состоящей из Nсвязанных осцилляторов, необходимо, помимо частот всехнормальных мод, знать амплитуды и начальные фазы всехнормальных колебаний (всего 2N параметров).

В рассмотренномвыше примере (N = 2) необходимо определить четыре параметра,входящих в соотношения (1.18) и (1.19) AI , AII , ϕ I , ϕ II. Это можетбыть сделано, если заданы четыре начальных условия (обычноэто начальные координаты и скорости всех тел). В нашем случаенужно задать координаты и скорости двух лёгких атомов вначальный момент времени ξ (0) , ξ (0) , ξ& (0) , ξ& (0) .1212Легко убедиться в том, что, если в начальный момент обаатома смещены от положений равновесия в одну и ту же сторонуна одинаковую величину (ξ1(0) = ξ2(0)), то амплитуда второго14Колебания и волны. Волновая оптикаанормального колебания AII окажетсяравной нулю (т.е. при этом в системевозбуждаетсятолькопервая,низкочастотная мода колебаний).Поскольку частота первой нормальной моды никак не зависит откоэффициента упругости среднейпружинки k1, первая нормальная модабпредставляетсобойсинхронноеРис.

1.5колебание обоих атомов (при этомсредняя пружинка остается ненатянутой в любой моментвремени) − рис.1.5,а.Вторая(высокочастотная)нормальнаямодаврассматриваемой системе может быть возбуждена, если вначальный момент времени оба атома отклоняются от положенийравновесия на одну и ту же величину, но в разные стороны ( ξ1 (0) == − ξ 2 (0) ). В этом случае решение системы (1.16) и (1.17),напротив, даёт ξ I = 0 , т.е.

в этих условиях низкочастотная модавообще не возбуждается. В формуле для частоты второгонормальногоколебанияпараметрk1среднейпружиныприсутствуетскоэффициентом2,т.е.этапружинадеформируется в два раза больше, чем крайние. Нетрудносообразить, что вторая нормальная мода представляет собойпротивофазное движение двух атомов – см. рис.1.5,б.Если же в начальный момент времени созданынесимметричные условия для двух тел (разные начальныеотклонения, либо разные начальные скорости), то в системесосуществуют оба нормальных колебания. При этом движениекаждого тела будет представлять собой сумму двухгармонических колебаний с частотами ω I и ω I I . Если связь междудвумя осцилляторами достаточно слабая (k1 << k), то частоты ω I15§3.

Свободные колебания связанных системиξ1(t)ωII близки,сложениедвухколебаний приведет к известномуtξ2(t)Рис. 1.6эффекту «биений» − амплитудаколебаний каждого осцилляторабудет претерпевать медленныепериодическиеизменениясчастотой, равной разности частотсобственных колебаний каждогоиз осцилляторов – рис.1.6.Подчеркнём, что если в какой-то момент времени в системесвязанных осцилляторов была возбуждена только одна модаколебаний, то и в дальнейшем будет существовать только этанормальная мода. Если в системе возбуждено нескольконормальных мод, то энергия, “запасенная” каждым нормальнымколебанием, сохраняется неизменной.

Это отражает важнейшеесвойство нормальных мод – их независимость (энергия не можетпередаваться от одной моды к другой).Из (1.20) следует, что по мере ослабления силывзаимодействиямеждудвумяосцилляторамичастотынормальных колебаний двух типов постепенно сближаются и впределе (при k1 → 0) стремятся к одной и той же частотесобственных колебаний изолированного осциллятора.Совершенно аналогично ведет себя система двух связанныхконтуров (см.

рис.1.7). Будем предполагать, что два одинаковыхэлектрических контура, состоящих изI1L– Cq1 +L– C1+ qI2– C+ q2одинаковых катушек индуктивности L иконденсаторов с ёмкостью С, связанычерез общий конденсатор с ёмкостьюС1(аналогмеханическихРис. 1.716упругойсвязиосцилляторовдвухчерезпружинку с жёсткостью k1). ПотерямиКолебания и волны. Волновая оптикаэнергии на выделение тепла Джоуля-Ленца или перемагничивание сердечника катушек, как и ранее, будем пренебрегать.Для определенности зададим знаки зарядов на конденсаторах инаправления токов в контурах I1 и I2.

Совершая обходы покаждому контуру в направлениях,стрелками, получим два уравнения:dIq1 q−= −L 1 ,dtC C1указанныхdIq2 q−= −L 2 .dtC C1С учётом того, что I 1 =нарис.1.7(1.22)(1.23)dqdq1= q&1 , I 2 = 2 = q& 2 и принимая воdtdtвнимание условие сохранения электрического заряда*):q1 + q + q2 = 0,(1.23,а)эти уравнения преобразуются к видуLq&&1 +q1 q1 + q2+= 0,CC1(1.24)Lq&&2 +q1 + q 2 q2+ = 0.C1C(1.25)Как и ранее, почленно вычитаем и суммируем эти уравнения,получая в итогеq&&I +1qI = 0 ,LC(1.26)q&&II +11 2  +  qII = 0 .L  C C1 (1.27)Здесь введены нормальные координаты: qI = q1 – q2 , qII = q1 + q2.Соответствующие нормальные частоты*)Для упрощения последующих математических выкладок мы приняли исходный заряд конденсаторовравным нулю.17§3.

Свободные колебания связанных системω I=1, ω II =LC11 2  + .L  C C1 (1.28)вполне аналогичны соотношениям (1.20).При возбуждении в рассматриваемой системе первой модыодинаковые по величине токи I1 и I2 в обоих контурах в любой моментвремени направлены либо по часовой стрелке, либо против неё,поэтому ток через конденсатор C1 вообще не протекает. Напротив, привозбуждении второй нормальной моды сила тока через конденсатор C1в любой момент времени равен удвоенному току I1 (или I2).

Такимобразом, очевидна полная аналогия колебательных явлений всистемах, показанных на рис.1.4 и рис.1.7.В заключение подчеркнем, что простой способ определениянормальных координат и нормальных мод – сложение и вычитаниеисходныхдифференциальныхуравнений,описывающихкаждыйосциллятор системы, “работает” только для симметричных системсвязанныхосцилляторов.Вслучаенесимметричныхсистемнормальные координаты следует искать в виде ξ = ξ1 + nξ 2 , где n –постоянный коэффициент, значение которого для каждой нормальноймоды своё.

Каждому значению коэффициента n будет соответствоватьопределенная частота нормальных колебаний. Другой способ поискачастот нормальных колебаний базируется на том обстоятельстве, чтопри возбуждении в системе какой-либо одной нормальной моды всеосцилляторы совершают колебания с одинаковой частотой, причёмлибо в фазе, либо в противофазе.

Поэтому можно в исходной системедифференциальных уравнений задать координаты осцилляторов ввиде гармонических функций (например, в случае двух связанныхосцилляторовξ1 = Acosωt и ξ2 = Bcosωt). В результате решенияполучившихся алгебраических уравнений легко определить частотынормальных мод и соответствующие значения отношения амплитудколебаний двух осцилляторов А/В для каждой моды.18.