SLprob (Лекции по УМФ (МИФИ, Ткаченко)), страница 2

III рода слева – II рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием III-го рода на левом конце отрезка[0, l] и II-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(8.1)X0 (0) − hX(0) = X0 (l) = 0,h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеемпри λ > 0;√− −λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)И из краевого условия X0 (0) − hX(0) = 0 следует, что√√c2λ c1 − h c2 = 0 ⇒λ=h .c1С другой стороны, из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что√√√c2c1 cos( λ l) − c2 sin( λ l) = 0 ⇒= ctg( λ l).c1Из двух последних равенств, наконец, получаем:√√√λ = h ctg( λ l),λc1 = hc2 .√√Уравнение λ = h ctg( λ l), как легко увидеть из графика, имеет бесконечно многорешений λn , n ∈ N.

Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое можетбыть найдено со сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем,удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:√√λ = h ctg( λ l),n ∈ N.λn > 0 − решения уравненияИм соответствует бесконечное множество собственных функций: pppλn x + λn · cosλn x ,n ∈ N.Xn (x) = h sin• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) − hX(0) = 0, что c1 − hc2 = 0, ⇒X(x) = c2 (hx + 1), и второе краевое условие X(l) = 0 даёт требование c2 (hl + 1) = 0.Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи), и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 нет.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений√√λn > 0 − решенияуравненияλ=hctg(λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λn · cos λn x , n ∈ Nзадачи (9.1).-7-(8.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I9.

III рода слева – III рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями III-го рода: 00X (x) + λX(x) = 0,X0 (0) − HX(0) = X0 (l) + hX(l) = 0,H, h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√при λ > 0;√− −λ xX(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем(9.1)при λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)И из краевого условия X0 (0) − HX(0) = 0 следует, что√√c2λ c1 − H c2 = 0 ⇒λ=H .c1С другой стороны, из второго краевого условия X0 (l) + hX(l) = 0 получаем, что√ √√ √√ λ c1 cos( λ l) − c2 sin( λ l) + h c1 sin( λ l) + c2 cos( λ l) = 0 ⇒c1√ √√√ √√ λ cos( λ l) + h sin( λ l) + c2 − λ sin( λ l) + h cos( λ l) = 0 ⇒√√√c2λ cos( λ l) + h sin( λ l)√√.⇒=√c1λ sin( λ l) − h cos( λ l)Из двух последних равенств получаем:√√√λctg(λ l) + 1λ= √h,√λH− ctg( λ l)hоткуда√ctg( λ l) ·√√ !√λλλλ+=− 1=HhHhhИтак,√ctg( λ l) =√λh√λh−√Hλи, наконец,√ctg( λ l) =HH +h!·√!√λh−√.HλHhλ (H + h)!√λh−√.HλДругим способом уравнение для нахождения λ можно получить из√√√√ c2λ cos( λ l) + h sin( λ l)√√=√= − tg α + λ l ,c1λ sin( λ l) − h cos( λ l)где√α = arcsin-8-λ.λ + h2(9.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IТогда, вспомнив, что√λ = H cc21 , получим:√λα = arcsin.λ + h2√√ λ = −H tg α + λ l ,(9.3)Каждое из уравнений (9.2) и (9.3), как легко увидеть из графика, имеет бесконечномного положительных решений λn , n ∈ N.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:!√√Hλh,n ∈ N.−√λn > 0 − решения уравненияctg( λ l) =H +h HλИм соответствует бесконечное множество собственных функций:p ppXn (x) = H sinλn x + λn · cosλn x ,n ∈ N.• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) − HX(0) = 0, что c1 − Hc2 = 0, ⇒X(x) = c2 (Hx + 1), и второе краевое условие X0 (l) + hX(l) = 0 даёт требованиеc2 (H + hHl + h) = 0.

Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку H, h, l > 0 по условию задачи),и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 нет.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений√(√Hλλn > 0 − решения уравнения ctg( λ l) = H+h−H √√√Xn (x) = H sin λn x + λn · cos λn x , n ∈ N√hλ(9.4)задачи (9.1).10. Разложение функций в ряд Фурье по собственным функциям задач Штурма – ЛиувилляТеорема 10.1 (В.А. Стеклов).Усл.{Xk }∞k=1 – ортогональная система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.Утв.∀f (x) ∈ C 2 [a, b], удовлетворяющей краевым условиям,f=∞X∃{ck }∞k=1 :ck Xk (x),k=1причём последний ряд сходится к f (x) абсолютно и равномерно на [a, b], а для ckверно представлениеRbf (x)Xk (x)dx(f, Xk )ack ==Rb 2kXk k2Xk (x)dxa-9-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IДоказательство.

Выведем формулу для вычисления ck .В силу общих свойств рядов Фурье, их (как сходящиеся равномерно на любом отрезке, гденет точек разрыва f (x)) можно интегрировать почленно. Поэтому, в силу ортогональностисистемы {Xk } в L2 [0, l]:Zl(Xk , Xn )L2 [0, l] ≡0,kXn k2 ,Xk (x)Xn (x)dx =при k 6= n;при k = n.(10.1)0Преположим, что рядверно равенство:∞Pck Xk (x) действительно сходится на [0, l] к функции f (x), то естьk=1f=∞Xck Xk (x),x ∈ [0, l].k=1Домножим это равенство на Xn в смысле скалярного произведения в L2 [0, l], то есть• домножим его на Xn и• проинтегрируем по [0, l].В силу (10.1), получим(f, Xn ) =∞Xck (Xk , Xn ) = cn (Xn , Xn ) = cn kXn k2 .k=1Отсюда сразу получается доказываемая формулаck =(f, Xk ).kXk k2В силу данной теоремы, нам достаточно один раз вычислить kXk k2 для каждой задачиШтурма-Лиувилля, чтобы знать вид коэффициентов разложения ck .11.

Коэффициенты разложения функций в ряд Фурье пособственным функциям задач Штурма – Лиувилля11.1. I–I2ZlkXk k =0sin2πkxl1dx =2Zl 2πkx1 − cosdx =l0x=l1  ll2πkx  = l.= x−sin  22  0 2πklx=0|{z}=0-10-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I11.2. I–II2ZlkXk k =sin2π(2k − 1)x2l1dx =20Zl π(2k − 1)x1 − cosdx =l0x=llπ(2k − 1)x 1  l = l.x−sin=  22  0 π(2k − 1)lx=0|{z}=011.3.

I–III2ZlkXk k =Zlp p1 sin1 − cos 2 λk x dx =λk x dx =2200!l px=l11sin 2 λk x = · x − √=202 λkx=0√√√hpi 1 p2 sin( λk l) cos( λk l)1cos2 ( λk l)√= · l+=λk = −h tg( λk l) = · l +=22h2h tg( λk l)!√ pλ111k =, tg( λk l) = −= cos2 β == · l+1 + tg2 βh2h 1 + λhk2l (h2 + λk ) + hh1.= · l+ 2=2h + λk2 (h2 + λk )11.4. II–I2ZlkXk k =2cosπ(2k − 1)x2l1dx =20Zl 1 + cosπ(2k − 1)xldx =0x=ll1lπ(2k − 1)x  = l.=  x +sin 22π(2k − 1)l0x=0|{z}=011.5. II–II2ZlkXk k =2cos0πkxl1dx =2Zl 2πkx1 + cosdx =l0x=ll 1l2πkx  = l.= x +sin  222πkl0x=0|{z}=0-11-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I11.6. II–IIIZl2kXk k =Zl p p12cosλk x dx =1 + cos 2 λk x dx =200! px=l11l + √ sin 2 λk x =22 λkx=01=2откуда, пользуясь тождествами cos2 α =1,1+tg2 α√ !sin 2 λk l√.l+2 λksin 2α = 2 sin α cos α, получаем:√ h√ √ ippsin 2 λk lsin λk l cos λk lh√√l+=λk ==l+tg( λk l) =h2 λktg( λk l)√√hisin2 λk l1 − cos2 λk l1=l+=l+= cos2 α ==hh1 + tg2 α1 − 1+tg2 1√λ lkhp h2 i1 − λkλ+h2( k)2= tg=l+==l+λk l =hλkhh2l (λk + h2 ) + h=l+=.h (λk + h2 )λk + h2В итоге получаем:kXk k2 =1 l (λk + h2 ) + h·.2λk + h211.7.

III–I2kXk k =Zl 02p pp2hh sinλk x + λk cosλk xdx = α = arccos √ 2=h + λk= h + λkZlsin2ph2 + λkλk x + α dx =20Zl p1 − cos 2 λk x + 2α dx =0!l px=lh + λk1=sin 2 λk x + 2α =· x − √202 λkx=0√√h2 + λksin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=· l −.22 λk2Преобразуем выражения√sin(2 λk l) cos 2α√2 λkи√cos(2 λk l) sin 2α√:2 λk√i 2 sin(√λ l) cos(√λ l)psin(2 λk l) cos 2α hpk k cos(2α) =√√λk = −h tg( λk l) ==2 λk−2h tg λk lp111122=− ·cos(2α) == − cos ( λk l) cos(2α) = cos β =2h1 + tg βh 1 + λhk2h2 − λkhh2 − λk22= cos 2α = cos α − sin α = 2=− 2· 2.h + λkh + λk h + λk-12-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I√cos(2 λk l) sin 2α1 − tg2 β22√−1=== cos 2β = 2 cos β − 1 =1 + tg2 β1 + tg2 β2 λk√√ p1 − tg2 λk l sin 2αλkh2 − λk sin 2α√√=·=tg(=· √ =λl)=−khh2 + λk 2 λk1 + tg2 λk l 2 λksin 2αhh2 − λk2 sin α cos αh√= √ == 2· 2.= 2h + λkh + λk h + λk2 λk2 λkТаким образом,h2 + λk− sin 2αhl (h2 + λk ) + hh2 + λk√kXk k =· l −· l + 2=.=22h + λk22 λk211.8.

III–II2kXk k =Zl 0p pp2hh sinλk x + λk cosλk xdx = α = arccos √ 2=h + λk2= h + λkZlsin2ph2 + λkλk x + α dx =2Zl p1 − cos 2 λk x + 2α dx =00!l px=lh2 + λk1=· x − √sin 2 λk x + 2α =202 λkx=0√√h2 + λksin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=· l −.22 λkПреобразуем выражения√sin(2 λk l) cos 2α√2 λkи√cos(2 λk l) sin 2α√:2 λk√i 2 sin(√λ l) cos(√λ l)psin(2 λk l) cos 2α hpk k cos(2α) =√√λk = h ctg( λk l) ==2 λk2h ctg λk lp111122cos(2α) == sin ( λk l) cos(2α) = sin β == ·2h1 + ctg βh 1 + λhk2h2 − λkh2 − λkh22· 2.= cos 2α = cos α − sin α = 2= 2h + λkh + λk h + λk√cos(2 λk l) sin 2α21 − ctg2 β2√= cos 2β = 1 − 2 sin β = 1 −=−=1 + ctg2 β1 + ctg2 β2 λk√√ p1 − ctg2 λk l sin 2αh2 − λk sin 2αλk√√=−·=ctg(λl)==−· √khh2 + λk 2 λk1 + ctg2 λk l 2 λksin 2α2 sin α cos αhh√= 2=− 2= √ =h + λkh + λk2 λk2 λk=·h2 − λk.h2 + λkТаким образом,h2 + λk− sin 2αh2 + λkhl (h2 + λk ) + h√kXk k ==· l −· l + 2=.22h + λk22 λk2-13-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I11.9.

III–III2kXk k =Zl H sinp02= H + λkp2pHλk x + λk cosλk xdx = α = arccos √ 2=H + λkZlsin2pH 2 + λkλk x + α dx =2Zl p1 − cos 2 λk x + 2α dx =0!x=lp1H 2 + λkl==· x − √sin 2 λk x + 2α 202 λkx=0√√H 2 + λksin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=· l −.22 λk0Преобразуем выражения√sin(2 λk l) cos 2α√2 λkи√cos(2 λk l) sin 2α√:2 λk√psin(2 λk l) cos 2α1λk − Hh√= ctg( λk l) =· √=H +h2 λkλk√√pH + h 2 sin( λk l) cos( λk l)H +h√=·· cos2 ( λk l) · cos(2α) =cos(2α) =λk − Hhλk − Hh2 tg λk l1ctg2 β2= cos β ===1 + tg2 β1 + ctg2 β(λk − Hh)21H +h· cos(2α) =·2 ·(λλk − Hh λk (H + h) 1 + k −Hh)22λ (H+h)k2H − λkH 2 − λk(H + h) (λk − Hh)= cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2·.=H + λkλk (H + h)2 + (λk − Hh)2 H 2 + λk=√cos(2 λk l) sin 2α21 − ctg2 β2√= cos 2β = 1 − 2 sin β = 1 −=−=1 + ctg2 β1 + ctg2 β2 λk√p1 − ctg2 λk l sin 2αλk − Hh · √ = ctg( λk l) = √√=−=1 + ctg2 λk l 2 λkλk (H + h)λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 sin 2α· √ =λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 2 λksin 2α2 sin α cos αHλk (H + h)2 − (λk − Hh)2H√= √ == 2=−.22 ·H + λk2 λk2 λkλk (H + h) + (λk − Hh) H 2 + λk=−-14-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IПоэтому√√sin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=2 λkH 2 − λkH(H + h) (λk − Hh)λk (H + h)2 − (λk − Hh)2H·=−− 2=2222 ·22H + λkλk (H + h) + (λk − Hh) H + λkλk (H + h) + (λk − Hh) H + λk(H + h) (λk − Hh) (H 2 − λk ) − H λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 − H λk (H + h)2 + (λk − Hh)2==λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 (H 2 + λk )(H + h) (λk − Hh) (H 2 − λk ) − 2Hλk (H + h)2==λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 (H 2 + λk )|{z}=(H 2 +λk )(h2 +λk )23(H + h) −λk + λk H(H + h) − H h − 2Hλk (H + h)==(H 2 + λk )2 (h2 + λk )23−(H + h) λk + λk H(H + h) + H h=(H 2 + λk )2 (h2 + λk )=−(H + h) (λk + Hh) (λk + H 2 ).(H 2 + λk )2 (h2 + λk )Наиболее простой вид это выражение принимает при H = h.