Список вопросов предварительного письменного опроса

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г.Предварительный письменный опрос. Список вопросов.Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них.1. Записать свойства ассоциативности (правило расстановки скобок в однородном рядуопераций), коммутативности (перестановочности), дистрибутивности (правило раскрытия скобок в смешанном ряду операций) и формулы двойственности для операций объединения и пересечения множеств.2. Упростить выражение (A ∪ B̄) ∪ Ā.3.

Отметьте те утверждения для множеств (событий), которые всегда верны: (I) A ⊂ C,если A ⊂ B и B ⊂ C, (II) A ⊂ (A ∩ B), (III) A ∩ Ā = ∅.4. Пусть A и B — два события. Записать математическое выражение для множества техисходов, при которых произойдет ровно одно/хотя бы одно из этих событий.5. Пусть A = {1, 4, 5}, B = {2, 3, 4}B, C = {1, 2} – подмножества множества Ω = {1, 2, 3, 4, 5}.Записать в явном виде множества A ∩ C и A ∆ B ≡ (A ∪ B) \ (A ∩ B).6. Можно ли утверждать, что события A и A ∪ B никогда не реализуются вместе в одномслучайном эксперименте?7. Каким условиям должны удовлетворять события A1 , A2 , .

. . , An , чтобы они образовалиполную группу попарно несовместных событий?8. Пусть A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · или A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · · при всех n = 1, 2, . . . . Какоемножество есть lim An в каждом из этих двух случаев?n→∞9. Последовательность подмножеств действительной прямой имеет вид [−1/n, 1 + 1/n],n = 1, 2, . . . .

Какое множество точек на действительной прямой есть A = lim An ?n→∞110. Какое множество F подмножеств пространства элементарных исходов Ω называетсяалгеброй подмножеств?11. Какое множество F подмножеств Ω называется СИГМА-алгеброй подмножеств?12. Пусть F — алгебра подмножеств множества Ω. Какое дополнительное условие надоналожить на F , для того чтобы F стала СИГМА-алгеброй?13. Пусть F – некоторая алгебра подмножеств множества элементарных исходов Ω. Выбе-рите верные утверждения: (I) любой элементарный исход {ω} ∈ F ; (II) если A, B ∈ F ,то A ∪ B ∈ F ; (III) Ω ∈ F .no14. Дополните множество F = Ω, {1, 2, 3}, {4, 5} одним подмножеством так, чтобы Fстало алгеброй подмножеств множества Ω = {1, 2, 3, 4, 5}.15.

Является ли множество F = {Ω, A, B, ∅} алгеброй подмножеств пространства Ω, еслиподмножества A и B пространства Ω удовлетворяют условиям A ∪ B = Ω и A ∩ B = ∅?Является ли множество F = {Ω, A, B, ∅} алгеброй подмножеств множества Ω, еслиего подмножества A и B произвольны?16.

Какое свойство вероятности называется СИГМА-аддитивностью?17. Какие из перечисленных свойств вероятности являются аксиомами: (I): P (A) > 0;(II): P (A \ B) = P (A) − P (B); (III): P (A ∩ B) = P (A)P (B)?18. При каком условии на события A и B имеет место равенство P (A ∪ B) = P (A) + P (B)?19. Известно, что наступление события A влечет наступление события B. Поставить знакнеравенства между P (A) и P (B).20.

Cобытия A, B независимы и P (A) = 0.6, P (B) = 0.6. Найти P (A \ B) и P (B \ A).21. Как определяется попарная независимость событий A1 , . . . , An и их независимость в совокупности?222. Известно, что A и B — независимые события. Можно ли утверждать, что при этомусловии события Ā и A ∩ B также всегда независимы?23. Как определяется вероятность того, что произойдет событие A, при условии, что произошло событие B?24.

Написать формулу полной вероятности.25. Написать формулу Байеса для P (Ak |B), где Ak – одно событие из полной группыпопарно несовместных событий.26. Пусть все упомянутые ниже условные вероятности существуют. Верно ли, что всегдасправедливо следующие равенства: P Ā | B = 1 − P (A|B); P A | B̄ = 1 − P (A|B)?27. При каких условиях lim Cnk pk q n−k =λk −λe ?k!28. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и каждая из них принимает значения 0, 1, 2с равными вероятностями. Найти P (ξ1 . . .

ξn > 0).Теория случайных величин.1. Дать определение того, что ξ есть случайная величина, заданная на вероятностномпространстве (Ω, F , P ).2. Как определяется функция распределения случайной величины ξ?3. Пусть задана F ( · ) – функция распределения случайной величины ξ. Выразить черезF ( · ) вероятности P (ξ > x), P (ξ = 1).4. Известно, что P (ξ < 0) = P (ξ > 1) = 0. Функция распределения случайной величины ξпри 0 < x 6 1 может иметь вид (I) F (x) = x2 , (II) F (x) = 1 − x, (III) F (x) = 1 − e−x .Выберите верные утверждения.5.

Функция распределения F (x) = P (ξ < x), x ∈ R, любой случайной величины всегдаявляется (I) непрерывной в каждой точке; (II) может иметь только разрывы первого3рода (существуют, но не совпадают левое и правое предельные значения функции);(III) может иметь разрывы первого и второго рода (возможно, не существуют левоеили правое предельные значения функции); (IV) непрерывна слева ; (V) непрерывнасправа.

Перечислите верные утверждения..6. Действительнозначная функция f ( · ) непрерывна в нуле и является чётной, f (−x) =f (x) для всех x ∈ (−∞, ∞)/периодической на всей числовой оси. Выберите верныеутверждения: функция f (x) может быть (I) функцией распределения, (II) плотно-стью распределения, (III) характеристической функцией случайной величины.7. Какие из указанных далее функций p( · ) могут быть плотностью распределения на всейчисловой прямой или на указанном интервале (вне указанного интервала p(x) ≡ 0):(I) p(x) = 1/x2 при x > 1, (II) p(x) = sin x при −∞ < x < ∞, (III) p(x) = 3 − 4x при0 < x < 1.8. Пусть в каждой точке x ∈ (−∞, ∞) задана плотность распределения p(x) случайнойвеличины ξ. Как найти значение функции распределения F (x) в каждой точке x?9. Задана плотность распределения p(x), −∞ < x < +∞, абсолютно непрерывной случайной величины ξ.

Написать явные формулы для расчёта P (a < ξ < b, P (ξ 6 a).10. При каком условии случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . , ξn независимы попарно; некоррелированы?11. Как определяется совместная функция распределения случайных величин ξ1 , . . . , ξn ?12. Пусть для всех x1 , x2 ∈ (−∞, ∞) существует совместная плотность p(x1 , x2 ) распределения случайных величины ξ1 , ξ2 . Написать явную формулу, позволяющую найтизначение совместной функции распределения F (x1 , x2 ).13. Задана Fξ,η,ζ (x, y, z) – совместная функция распределения случайных величин ξ, η, ζ.Как выражается через неё Fξ (x) – функцию распределения случайной величины ξ?14. Пусть pξ,η (x, y) — совместная плотность распределения случайных величин ξ, η. Какнайти плотность pξ (x) распределения случайной величины ξ?415.

Пусть pξ,η (x, y) — совместная плотность распределения случайных величин ξ, η. Какнайти условную плотность pξ | η (x | y) распределения случайной величины ξ?16. Случайная величина принимает три значения: заданы P (ξ = 1) = 0.3, P (ξ = 2) = 0.3,P (ξ = 3) = 0.4. Нарисовать график ее функции распределения.17. Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение: задана p(x) = 2xпри 0 < x < 1.

Найти M(1/ξ).18. Заданы P (ξ = xk ) = pk для k = 1, 2, . . . . Как найти Mξ, Mξ 2 и Dξ (написать явныеформулы) и при каком условии моменты считаются существующими?19. Для всех x ∈ R задана p(x) — плотность распределения случайной величины ξ. Какнайти Mξ, Mξ 2 и Dξ (написать явные формулы) и при каком условии моменты считаются существующими?20. Известно, что все Mξ1 , . . . , Mξn существуют. Можно ли утверждать, что при этом условии всегда верно равенство M(ξ1 + · · · + ξn ) = Mξ1 + · · · + Mξn ?21.

Дано, что Mξ1 , . . . , Mξn существуют и некоррелированы, cov(ξk , ξj ) = 0 при k 6= j.Можно ли утверждать, что при этом условии всегда M(ξ1 . . . ξn ) = Mξ1 . . . Mξn ?22. Заданы значения P (ξ = xk ) = pk , k = 1, . . . , n. Как рассчитать число M(ξ 2 + 2)?23. Случайная величина ξ принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 1/3. Найти значениеπξM sin .224. Для случайной величины ξ заданы значения её плотности распределения p(x) для всехx ∈ R. Как рассчитать число M(2eξ + 2)?25. Что такое коэффициент корреляции случайных величин ξ, η и какие значения онможет принимать?26.

Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 независимы и имеют одинаковую дисперсию σ 2 . Чемуравна D(ξ1 + ξ2 − 2ξ3 )?527. Верно ли, что из попарной независимости, некоррелированности, совокупной независимости случайных величин вытекает равенство D(ξ1 + · · · + ξn ) = Dξ1 + · · · + Dξn(считается, что все дисперсии существуют)?28. Записать неравенство Чебышёва.29. Записать неравенство Коши–Буняковского для моментов случайной величины.30.

Задана f ( · ) – характеристическая функция случайной величины ξ. Выразить через fхарактеристическую функцию случайной величины aξ + b, где a, b – постоянные?31. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и одинаково распределены. Пусть f ( · ) –характеристическая функция случайной величины ξk . Выразить через f характеристическую функцию случайной величины случайной величины ξ1 + · · · + ξn ?32. Записать формулы, задающие распределение Пуассона/биномиальное распределение.33. Записать формулы для плотности распределения случайной величины ξ, задающиенормальное распределение с параметрами µ, σ 2 и равномерное распределение на отрезке [a, b].(x−1)2134.

Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид p(x) = √ · e− 4 . Найти4πMξ, Dξ, не вычисляя интегралов.35. Случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и распределены нормально с параметрамиµ = 0 и σ 2 = 1. Найти M(ξ1 + 2ξ22 ), не вычисляя интегралов.36. Пусть случайная величин ξ распределена дискретно (P (ξ = xk ) = pk , k = 1, 2, . . .

) илиабсолютно непрерывно (задана p(·) – плотность распределения ξ). Записать в явном виде формулы, позволяющие в обоих случаях рассчитать характеристическую функциюслучайной величины ξ.37. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы, и каждая из них имеет нормальное расPnпределение с параметрами µ = 0 и σ 2 = 4. Найти Mξk2 .k=1638. Длины сторон прямоугольника суть независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезках [0; 1] и [0; 2]. Найти математические ожидания площадии периметра прямоугольника.39. Что такое сходимость последовательности ξ1 , ξ2 , .

. . случайных величин к случайнойвеличине ξ с вероятностью единица, по вероятности, по распределению?40. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn , . . . одинаково распределены, независимы, Dξk < ∞,Mξk = µ. Сформулировать для этой последовательности закон больших чисел.41. Записать плотность распределения (не название типа распределения) случайнойnXξk − µ√величины ν, к которой стремитсяпри n → ∞, где случайные величины ξknσ 2k=1независимы в совокупности, одинаково распределены, Mξk = µ, Dξk = σ 2 .42. Пользуясь интегральной теоремой Муавра–Лапласа, записать приближённое выражение для вероятности того, что при n независимых испытаниях Бернулли с вероятностьюуспеха p число успехов не будет превосходить k.43.

Случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и одинаково распределены, существуют моnPξk . Верно ли, что Sn → µ при n → ∞ поменты Mξk = µ, Dξk = σ 2 . Пусть Sn = n1k=1вероятности, с вероятностью единица?Вероятностные модели физических явлений.1. Груз выбирают наугад из набора {m, 2m, 3m} и кладут на левую чашу весов. На пра-вой чаше весов лежит груз, масса которого есть случайная величина, распределённаяравномерно на [m, 5m].