А.В. Булинский - Курс лекций по теории вероятностей, страница 3

Показательное распределение с параметром λ имеет плотность(λe−λx , x > 0;p(x) =0,x < 0.(15)Функция распределения F (x) имеет график101234Пример 5.3. Нормальное (гауссовское) распределение с параметрами a и σ 2 имеет плотность1(x − a)2.p(x) = √ exp −2σ 2σ 2π8(16)График этой плотности при разных значениях σ выглядит примерно так:0Чем меньше величина σ 2 , тем явственнее выделяется «пик» в точке x = a. Обозначение: N (a, σ 2 ).1.6.

Независимость событий. Леммы Бореля – Кантелли1.6.1. Попарная независимость и независимость в совокупностиОпределение. Говорят, что событие A не зависит от события B, если P(A|B) = P(A). По-другому можнопереформулировать определение так: события A и B независимы, если P(AB) = P(A)P(B).Замечание. Вторая форма определения удобнее, поскольку в ней не накладывается ограничений на вероятности событий.

Невозможные события, т. е. такие, что их вероятность равна 0, являются независимыми слюбыми событиями, ибо если P(A) = 0, то 0 6 P(AB) 6 P(A) = 0, а значит, и P(AB) = 0.Определение. События A1 , . . . , An называются попарно независимыми, если P(Ai Aj ) = P(Ai )P(Aj ) для∀ i 6= j. События A1 , . . . , An называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексовi1 , .

. . , ik имеем P(Ai1 · . . . · Aik ) = P(Ai1 ) · . . . · P(Aik ).Замечание. Независимость в совокупности, очевидно, влечёт попарную независимость. Обратное, однако,неверно. Например, пусть Ω = {1, 2, 3, 4} и P ({i}) = 14 . Рассмотрим события A1 = {1, 2}, A2 = {1, 3}, A3 = {1, 4}.3Имеем Ai Aj = {1}, значит, P(Ai Aj ) = 14 . С другой стороны, P(A1 A2 A3 ) = P ({1}) = 14 6= 12 .∞Определение. Говорят, что {Ai }i=1 — последовательность независимых событий, если для ∀ n > 2 событияA1 , . . . , An независимы в совокупности.Определение.

Верхним пределом системы событий {Ak } называется множествоlim Ak = lim sup Ak :=∞ [∞\(17)Ak .n=1 k=nНепосредственно из определения следует, что верхний предел состоит их тех элементов Ω, принадлежащихбесконечному числу Ak .Определение. Нижним пределом системы событий {Ak } называется множествоlim Ak = lim inf Ak :=∞ \∞[(18)Ak .n=1 k=nНепосредственно из определения следует, что нижний предел состоит их тех элементов Ω, принадлежащихвсем Ak -м, начиная с некоторого.1.6.2.

Две леммы Бореля – КантеллиЛемма 1.6 (Бореля – Кантелли №1). Дана последовательность событий Ak . Пусть ряд∞PP(Ak ) схо-k=0дится. Тогда вероятность события A := (произойдёт бесконечно много событий Ak ) равна нулю.∞∞SP Для ∀ n ∈ N имеем P(A) 6 PAk 6P(Ak ) → 0, так как это остаток сходящегося ряда. k=nk=nВторая лемма относится уже к независимым событиям.∞№2). Пусть {Ai }i=1 — последовательность независимых событий. ПустьP Лемма 1.7 (Бореля – КантеллиP(Ak ) = ∞. Тогда P lim Ak = 1.∞S Введём обозначение Bn :=Ak .

Заметим, что Bn убывают. Тогда по свойству непрерывности мерыn=kP(Bn ) = lim PN →∞9N[k=nAk!.(19)Рассмотрим дополнение:[\ Y XNNNNNN Y !! Y!PAk = PAk =P Ak =1 − P(Ak ) 6exp −P(Ak ) = exp −Ak → 0,k=nk=nk=nk=nk=nk=nтак как ряд расходится. Переход «!» обоснован независимостью Ak , а «!!» — неравенством Бернулли. Переходяк пределу при N → ∞, получаем, что P lim Ak = 1. Задача 1.4 (**). Доказать вторую лемму Бореля – Кантелли для последовательности попарно независимых событий.Задача 1.5 (**). Назовём событие A «атомом» вероятностного пространства, если оно обладает следующим свойством: если B ⊂ A, то либо P(B) = 0, либо P(B) = P(A).

Доказать, что в любое вероятностноепространстве разбивается на не более чем счётное число атомов и «непрерывную» часть C, обладающуюследующим свойством: если C ∈ C и P(C) = p, то для ∀ q ∈ [0, p] найдётся Cq ∈ C : P(Cq ) = q.2. Случайные величины2.1. Понятие случайного элемента2.1.1. Измеримые отображенияОпределение. Пусть (Ω, F ) и (Θ, B) — измеримые пространства. Отображение ξ : Ω → Θ называетсяF |B-измеримым, если для ∀ B ∈ B имеем ξ −1 (B) ∈ F , т.

е. прообраз измеримого множества измерим. В теориивероятностей измеримые отображения называются случайными элементами.В дальнейшем, если из контекста ясно, какие алгебры заданы на наших пространствах, будем опускатьпрефикс «F |B» и говорить просто «измеримая функция».Определение случайной величины напоминает определение непрерывной функции в топологическом пространстве. Напомним, что топологическим пространством называется множество X , на котором задана топология, т. е.

отмечен класс подмножеств, называемых открытыми, такой, что объединение любого набораоткрытых множеств открыто, и пересечение конечного набора открытых множеств открыто. Открытыми считают также ∅ и все множество X . Непрерывным отображением называется отображение, при котором прообразоткрытого множества открыт. Иными словами, непрерывное отображение f : X → Y должно быль измеримоотносительно топологий на X и Y.Если в определении случайной величины B = B(R), то F |B-измеримые отображения называют действительными случайными величинами.Определение.

Борелевским называется отображение, при котором прообраз борелевского множества борелевский.2.1.2. Свойства измеримых функцийЧтобы не загромождать формулировки следующих утверждений, оговоримся сразу о том, что мы будемрассматривать измеримые пространства (Ω, F ) и (Θ, B) и случайную величину ξ : Ω → Θ.Теорема 2.1. Пусть B = σ {M}. Чтобы ξ была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобыдля ∀ С ∈ M было выполнено ξ −1 (C) ∈ F .

Иными словами, свойство измеримости можно проверять толькона порождающих элементах σ-алгебры. Необходимость очевидна. Достаточность: рассмотрим класс множеств D := D ⊂ Θ : ξ −1 (D) ∈ F , т. е.класс тех множеств, для которых свойство измеримости выполняется. Оно являетсятак как операS σ-алгеброй,Sция взятия прообраза сохраняет все теоретико-множественные операции, т. е. ξ −1 ( Bn ) = ξ −1 (Bn ) и т.

д. Поусловию M ⊂ D, а значит, и σ {M } ⊂ D. Но σ {M} = B, поэтому D совпадает с B. Далее ξ : Ω → R — действительная случайная величина, а B = B(R).Теорема 2.2. Чтобы ξ была случайной величиной, необходимо и достаточно измеримости прообразов лучей (−∞; x], т. е. для ∀ x ∈ R множество {ω : ξ(ω) 6 x} должно содержаться в F . Заметим, что B(R) порождается лучами (−∞, x], так как открытое множество на прямой есть объединение не более чем счётного множества интервалов (возможно, бесконечных), а интервал из лучей соорудитьнесложно.

Остаётся применить предыдущую теорему. Аналогичное утверждение справедливо для открытых лучей вида (−∞; x).Теорема 2.3. Пусть ξn : Ω → R — последовательность случайных величин. Тогда:1◦ sup ξn , inf ξn , lim ξn , lim ξn будут случайными величинами;2◦ Если ξn → ξ, то ξ — случайная величина.101◦ В самом деле, имеем{ω : sup ξn (ω) 6 x} =∞\n=1{ξn (ω) 6 x} .|{z}(1)событиеСчётное пересечение событий есть событие, поэтому sup ξn измерима. Аналогично inf ξn измерима.

Докажемдля верхних и нижних пределов. Имеем lim ξn = lim sup ξn = inf sup ξk . По доказанному функция ηn := sup ξkn k>nk>nбудет случайной величиной. Точно также и inf ηn будет случайной величиной. Для нижнего предела имеемlim ξn = lim sup ξn = sup inf ξk , далее рассуждения аналогичны.n k>n2◦ Существование предела равносильно совпадению верхнего и нижнего пределов. А по доказанному lim иlim измеримы, значит, и lim будет измерим. Задача 2.1. Рассмотрим последовательность случайных величин ξn : Ω → S, где S — метрическое пространство. Доказать, что если ξn → ξ, то ξ ∈ F |B(S).Лемма 2.4. Рассмотрим измеримые пространства (Ω, F ), (Θ, B), (Λ, A ) и случайные величины ξ ∈ F |Bи η ∈ B|A .

Тогда η ◦ ξ ∈ F |A . Очевидно: η измерима, поэтому η −1 (A) ∈ B, а так как ξ измерима, то ξ −1 η −1 (A) ∈ F . | {z }∈BСледствие 2.1. Пусть ξ : Ω → R — случайная величина, а ϕ : R → R — борелевская функция. Тогда ϕ ◦ ξ —случайная величина. Это частный случай предыдущего утверждения: ϕ ∈ B(R)|B(R). Следствие 2.2. Пусть ξ : Ω → R — случайная величина, а ϕ — непрерывная функция. Тогда ϕ ◦ ξ —случайная величина. Это опять-таки частный случай первого следствия: непрерывная функция, очевидно, борелевская (прообраз открытого множества открыт). Утверждение 2.5. Пусть ξ, η — действительные случайные величины. Тогда ξ ± η, ξ · η и ηξ (если η 6= 0)также будут случайными величинами. Доказывать можно тремя способами.

Первый (короткий): сослаться на следствие предыдущей леммы,сказав, что арифметические операции на R непрерывны. Второй (подлиннее): открыть учебник М. И. Ульяноваи П. Л. Дьяченко «Мера и интеграл» на странице 44 и найти там полное доказательство этого утверждения.Третий: немного подумать и доказать утверждение самостоятельно. 2.1.3.

Примеры случайных величинПример 1.1. Пусть Ω = [0, 1], F = B(Ω), а P — мера Лебега на Ω. Любая непрерывная функция f : Ω → Rбудет случайной величиной.Пример 1.2. Рассмотрим схему Бернулли. Случайной величины будет, например, количество успехов приnPn испытаниях, т. е. Sn (ω) :=ki , где ω = (k1 , . . . , kn ), kn ∈ {0, 1}.i=1Пример 1.3. Рассмотрим дискретное вероятностное пространство (Ω, F , P) в котором F = 2Ω . На такомпространстве любая функция ξ : Ω → R будет случайной величиной, так как прообраз любого множества содержится в 2Ω .2.2.

Распределения случайных элементов. Пополнение вероятностного пространства2.2.1. Вероятностные меры и распределения случайных величинОпределение. Функцией распределения (действительной) случайной величины ξ называется функцияFξ (x) := P {ω : ξ(ω) 6 x} .(2)В дальнейшем для сокращения записи будем в подобных формулах писать просто «P(ξ 6 x)».Пусть (Θ, B) — измеримое пространство. Покажем, что изучение вероятностных мер на (Θ, B) и случайных элементов со значениями в Θ — это одно и то же. В самом деле, пусть нам дана мера Q.