1-6 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

§6. Неоднородные уравнения Фредгольма 2-го рода с симметрическимиядрами.Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:by ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) ≡ λAy + f .aПусть ядро K ( x, s ) непрерывно по совокупности переменных, симметрическое и≢ 0; λ - вещественное число ( λ ≠ 0 , в противном случае решение находитсятривиально);f (x) - заданная непрерывная функция; λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... последовательность характеристических чисел интегрального оператора, которымсоответствует ортонормированная система собственных функций ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,...Допустим, что решение уравнения существует. Преобразуем искомую функцию так,чтобы она стала истокопредставимой. Для этого будем искать решение в виде:y ( x) = f ( x) + g ( x) . Подставляя в исходное уравнение, получаемbf ( x) + g ( x) = λ ∫ K ( x, s ) ( f ( s ) + g ( s ) )ds + f ( x) .aСократив f(x), получим уравнение для g(x), операторная форма которогоg = λA( g + f ) .Решение этого уравнения, если оно есть, является истокопредставимым.

Следовательно,по теореме Гильберта-Шмидта, функция g (x) может быть разложена в равномерно иабсолютно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра K ( x, s ) :∞g ( x) = ∑ g k ϕ k ( x) .k =1Вычисляя коэффициенты Фурье функций g и λA( g + f ) , получаемϕ  λ(g k + f k ) k = 1,2,...g k = λ (A( g + f ), ϕ k ) = λ (g + f , Aϕ k ) = λ  g + f , k  =λk  λkПолучаем систему уравнений: g k (λ k − λ ) = λ f k , k = 1,2,...Возможны два случая:λf k .

Тогда можно формально записать ряды Фурье1) λ ≠ λ k , k = 1,2,... Тогда g k =λk − λ∞∞λλдля g (x) :g ( x) = ∑f k ϕ k ( x) , и для y(x): y ( x) = f ( x) + ∑f k ϕ k ( x) . Чтобыk =1 λ k − λk =1 λ k − λпостроенный ряд Фурье на самом деле являлся решением, достаточно доказать, что этот рядсходится равномерно на [a,b].Заметим, что, поскольку λk→∞, то, начиная с некоторого номера,λλλ1=≤5.λk − λ λk 1 − 1λkλkТогда для достаточно больших n и любого натурального pn+ pn+ pf k ϕ k ( x)λϕλ≤f(x)5.∑∑kkλk − λλkn +1n +1Далее, как в предыдущем параграфе, можно доказать, что выполняется критерий Кошикак достаточное условие равномерной сходимости, т.е. ряд Фурье сходитсяравномерно.Замечание.

Можно записать решение уравнения в следующем виде:b∞y ( x) = f ( x) + λ ∑∫ f ( s) ϕk( s ) ds ⋅ ϕ k ( x)a.λk − λПредположим, что можно поменять местами суммирование и интегрирование:b ∞ ϕ ( x)ϕ k ( s)  f ( s ) ds ,y ( x) = f ( x) + λ ∫  ∑ kλk − λ a  k =1$!!#!!"k =1R ( x , s ,λ )bили y ( x) = f ( x) + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds .

В операторной форме уравнение Фредгольма 2-гоaрода имеет вид: y = λ A y + f , или ( I − λ A) y = f . Т.к. решение существует иединственно, то y = ( I − λ A) −1 f = f + λ Rλ f , где R λ - интегральный оператор с ядромR( x, s, λ ) . В операторном виде полученный результат можно записать и так:( I − λ A) −1 = I + λ Rλ .Определение.

Ядро R( x, s, λ ) называется резольвентой.Рассмотрим теперь случай:2) λ = λ ko . Пусть сначала λko – простое характеристическое число. Тогда приλ fk.k ≠ k 0 : (λk − λ ) g k = λ f k ; k = 1,2,...; k ≠ k 0 , и g k =λk − λПри k=k0: 0 ⋅ g ko = λ ⋅ f ko , λ ≠ 0 .Еслиf ko ≠ 0 , f ko = ( f ,ϕ ko ) , то уравнение не имеет решения. Следовательно, иисходное уравнение не имеет решений. Если же f ko = 0 , то получаем бесконечно многорешений: g ko = c ko , cko - произвольная постоянная.Если же λ ko - характеристическое число кратности r , то получаем системууравнений:0 ⋅ g ko = λ f ko0 g ⋅ ko +1 = λ f ko +1.%0 ⋅ g ko + r −1 = λ f ko + r −1Система имеет решение тогда и только тогда, когда все коэффициенты Фурьеf ko , f ko +1 , % , f ko + r −1 равны нулю. Если хотя бы один коэффициент Фурье не равен нулю,то система не имеет решений, а, следовательно, и исходное уравнение не имеетрешений.

Другими словами, условием разрешимости является ортогональность f (x)всем собственными функциям, соответствующим характеристическому числу λ . В этом∞λ fkϕ k ( x) + cko ϕ ko ( x) + ... + cko+ r −1ϕ ko+ r −1 ( x) ,случае: y ( x) = f ( x) + ∑λk − λk =1k ≠ ko...k ≠ k0 + r −1где c ko ,..., c ko + r − 1 - произвольные константы. Бесконечный ряд, записанный вданном выражении, сходится абсолютно и равномерно.В результате проведенного исследования мы доказали две следующие теоремы.Теорема. Если однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывнымсимметрическим ядром имеет только тривиальное решение (т.е. λ ≠ λ k , k = 1,2,...

), тонеоднородное уравнение имеет, и при том, единственное, решение для любой функцииf (x) . Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение (λ = λk при некоторомk), то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность –непрерывная функцияf (x) – ортогональна всем собственным функциям,соответствующим данному λ (т.е. ортогональна всем решениям однородногоуравнения).

В последнем случае, если решение есть, то существует и бесконечно многорешений.Теорема. (Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма 2го рода с симметрическими ядрами).Либо неоднородное уравнение имеет решение для любой непрерывной функцииf (x) , либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение..