1-5 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

§5. Теорема Гильберта-Шмидта.Будем рассматривать интегральный оператор А, ядро которого K(x,s)удовлетворяет следующим условиям: K(x,s) – симметрическое, непрерывное посовокупности переменных на [a, b] × [a, b] и ≢ 0. В соответствии с результатамипредыдущего параграфа этот оператор обладает конечной или бесконечнойпоследовательностью характеристических чисел: λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... , которымсоответствует ортонормированная система собственных функций ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... .Определение. Функция f (x) называется истокопредставимой с помощью ядраbK ( x, s ) , если существует непрерывная функция g (x) такая, что: f ( x) = ∫ k ( x, s ) g ( s ) dsaили, что тоже самое, f = Ag (т.е. f (x) принадлежит множеству значений оператора А:f ∈ R(A) , где оператор А действует h[a, b] → h[a, b] ).Любой f ( x) ∈ h[a, b] можно формально сопоставить ряд Фурье по системефункций ϕ k (x) :∞∑fk =1kϕ k ( x)Теорема Гильберта-Шмидта.помощью ядраK ( x, s ) , то∞f ( x) = ∑ f k ϕ k ( x),k =1Если функция f (x) истокопредставима сона может быть разложена в ряд:bf k = ( f , ϕ k ) = ∫ f ( s ) ϕ k ( s) ds ,причемэтотрядсходитсяaабсолютно и равномерно на [a, b] .Доказательство.∞∑f1) Докажем, что рядk =1kϕ k ( x) сходится абсолютно иравномерно на[a, b] .

Для доказательства равномерной сходимости будемрассматривать случай, когда характеристических чисел бесконечно много (в противномслучае ряд очевидно сходится).ϕgЗаметим, что f k = ( f , ϕ k ) = ( Ag , ϕ k ) = ( g , Aϕ k ) = ( g , k ) = k . Итак, нам надо доказатьλkλk∞ϕ ( x)равномерную и абсолютную сходимость ряда ∑ g k k.λkk =1Для доказательства используем критерий Коши равномерной сходимости. Для наспредставляет интерес сумма:n+ pn+ pϕ k ( x)ϕ k2 ( x)2gk ∑,∑ g k λ ≤ k =∑2k = n +1n +1kk = n +1 λkkгде n и p – произвольные натуральные числа.k =n+ pа) Используем неравенство Бесселя:∞∑gk =1ряд∞∑gk =12kb2k≤ ∫ g 2 ( s ) ds , из которого следует, чтоaсходится (т.к.

состоит из неотрицательных чисел и ограничен).ϕ k ( x) b= ∫ K ( x, s ) ϕ k ( s ) ds , т.к. ϕ k – собственная функция,б) Заметим, чтоλkaсоответствующая характеристическому числу λ k .Если фиксировать x ∈ [a, b] ,тоϕ k ( x)- коэффициент Фурье ядра K ( x, s ) , и можно написать неравенство Бесселя:λk22b∞ ϕ k ( x)  ϕ k ( x) ≤≤K 2 ( x, s ) ds ≤ K o2 (b − a) ( K o = max | K ( x, s ) | ).∑∑∫ λ  λ x , s∈[ a ,b ]k = n +1 k =1 kkan+ pИз неравенства Бесселя для функции g (x) следует, что ряд∞∑gk =12kсходится, т.е.выполняется критерий Коши как необходимое условие сходимости числового ряда:n+ pε22∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N ∀pНо тогда при тех же∑ g k ≤ K 2 (b − a) .k = n +1on+ p∑ε , N , n, pk = n +1gkϕ k ( x)≤ ε , т.е.

выполняется критерий Коши как достаточноеλkусловие равномерной сходимости ряда с общим членом g kϕ k ( x). Итак, равномерная иλkабсолютная сходимость ряда Фурье доказана.2) Докажем, что ряд Фурье∞∑fk =1ϕ k ( x) сходится к f (x) . Т.к.

ряд состоит изkнепрерывных функций и сходится равномерно на [a,b], то сумма ряда – непрерывная на∞[a,b] функция. Обозначим ω ( x) = f ( x) − ∑ f k ϕ k ( x) . Надо доказать, что ω ( x) ≡ 0 .k =1bbb ∞∞baaa k =1k =1a(ω , ϕ i ) = ∫ ω ( x)ϕ i ( x) dx = ∫ f ( x) ϕ i ( x) dx − ∫ ∑ f k ϕ k ( x)ϕ i ( x) dx = f i − ∑ f k ∫ ϕ k ( x)ϕ i ( x) dx == f i − f i = 0 ∀i = 1,2,...(из равномерной сходимости ряда следует, что можно менять местами интегрирование исуммирование).Итак, ω (x) ортогональна всем ϕ i (x) .

Отсюда следует (см. предыдущий параграф),что ω (x) принадлежит нуль-пространству оператора А, т.е. Aω = 0 .Рассмотримb∫ωa2b∞bak =1a( x) dx = ∫ [ f ( x) − ∑ f k ϕ k ( x)] ω ( x) dx = ∫ f ( x) ω ( x) dx = ( f , ω ) = ( Ag , ω ) = ( g , Aω ) = 0 .Т.к. ω (x) – непрерывная функция, то ω ( x) ≡ 0 . Теорема доказана.В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства некоторыеобобщения полученных результатов.

Можно рассматривать задачу в многомерномслучае. Пусть Ω - замкнутая ограниченная область: Ω ⊆ R n , для которой можноопределить указанные ниже интегралы. Введем пространство h[Ω], состоящее изΩ,соскалярнымпроизведением:функций,непрерывныхнаb( y1 , y 2 ) = ∫ y1 ( x) y 2 ( x) dx, dx = dx1 dx2 ...dxn .Рассмотриммногомерноеинтегральноеaуравнение Фредгольма 2-го рода:y ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds + f ( x), x, s ∈ Ω,Ωс ядром K ( x, s ), x, s ∈ Ω . Тогда при условии, что ядро непрерывно и симметрично поx, s , все результаты, полученные выше, остаются верными и в многомерном случае.В курсе методов математической физики рассматриваются ядра K ( x, s ) =Φ ( x, s )αx−sгде Φ( x, s ) непрерывная в Ω по совокупности аргументов и симметрическая функция,,x − s = rxs -расстояние между точками x и s в пространстве R n .Если α < n , то ядра K ( x, s ) называются полярными ( n = dim R n ). Для таких ядердоказывается,чтоинтегральныйоператорA:являетсяh[Ω] → h[Ω]вполне непрерывным, т.е.

для интегральных операторов с полярными ядрамисправедливы теоремы о существовании хотя бы одного собственного значения итеоремы о построении последовательности собственных значений.nЕсли α < , то ядра K ( x, s ) называются слабополярными. Для таких ядер2справедлива еще и теорема Гильберта-Шмидта.Все результаты могут быть перенесены на случай комплексных пространствh[a, b] и h[Ω] , но вместо требования симметричности ядра, если ядро являетсякомплексным, надо требовать: K ( x, s ) = K ∗ ( s, x) , для любых x, s из Ω где ∗ - знаккомплексного сопряжения..