1-4 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

§4. Построение последовательности собственных значений и собственныхвекторов вполне непрерывного самосопряженного оператора.Пусть вполне непрерывный самосопряженный оператор A действует вбесконечномерном евклидовом пространстве h[a,b]. В предыдущем параграфе мыдоказали, что такой оператор обладает собственным значением Λ : Az = Λz , Λ = A .Очевидно, что это собственное значение является максимальным по модулю. На~~самом деле, пусть Λ - другое собственное значение: A~z = Λ~z . Будем считать, что ~z =1~(иначе просто пронормируем ~z ).

Тогда Λ = A~z ≤ A ~z = A = Λ . Тем самым, любоедругое собственное значение, если оно есть, по модулю не превосходит A .Рассмотрим процедуру построения последовательностей собственных значенийи собственных векторов вполне непрерывного оператора A :В предыдущем параграфе мы доказали существование собственного значенияΛ1ϕ1 = 1.: Λ 1 = A . Сопоставим Λ 1 собственный вектор ϕ1 . Будем считатьОбозначим H 1 = h[a,b] - все бесконечномерное евклидово пространство. Пустьоператор A≠0.Рассмотрим множество H 2 векторов y: ( y, ϕ 1 ) = 0 , y ∈ H 1 ( H 2 -ортогональноедополнение к ϕ 1 ).

Отметим его следующие свойства:а) H 2 - линейное пространство. На самом деле, для любых вещественных чиселα1 и α2 и любых y1 и y2 таких, что ( y1 , ϕ1 ) = 0, ( y2 , ϕ1 ) = 0 ⇒ (α1 y1 + α 2 y2 ,ϕ1 ) = 0 .б) H 2 - замкнуто (если последовательность yn → y и ( yn , ϕ1 ) = 0 , то ( y, ϕ 1 ) = 0 ,n →∞т.е. из того, что yn∈H2 следует, что y∈H2.Доказательство. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем( y n , ϕ1 ) − ( y , ϕ1 ) = ( y n − y , ϕ1 ) ≤ y n − y ϕ1 ⇒ ( y n , ϕ1 ) − ( y , ϕ1 ) → 0 .$!#!"Ат.к.→0( yn , ϕ1 ) = 0 , то и ( y, ϕ 1 ) = 0 .в) H 2 - инвариантное подпространство относительно оператора A , т.е. AH 2 ⊆ H 2(из того, что y ∈ H 2 следует, что z = Ay ∈ H 2 ).Доказательство. ( z , ϕ 1 ) = ( Ay, ϕ 1 ) = ( y, Aϕ 1 ) = ( y, Λ 1ϕ 1 ) = Λ 1 ( y, ϕ 1 ) = 0 .Далее будем рассматривать оператор A : H 2 → H 2 .

Очевидно, что A - вполненепрерывный и самосопряженный; A H 2 → H 2 ≤ A H → H = A .11Тогда по теореме предыдущего параграфа оператор A , действующий H 2 → H 2 ,обладающий собственным значением Λ 2 : Λ 2 = AH 2 →H 2= sup Ay .y: y =1( y ,ϕ1 ) =0Λ 2 соответствует собственный вектор ϕ2 . БудемСобственному значениюсчитать ϕ 2 = 1 . ЕслиΛ 2 =0, то процесс построения собственных значенийзаканчивается. В противном случае введем далее множество H 3 , состоящее из векторовy таких, что ( y, ϕ 1 ) = 0 , ( y, ϕ 2 ) = 0 . Повторяя рассуждения, приведенные выше, можнодоказать, что оператор A , отображающий H 3 → H 3 ,вполне непрерывный исамосопряженный, и по теореме предыдущего параграфа имеет собственное значениетакое, чтоΛ3 = AH3 →H3= sup Ay , которому сопоставим собственный векторy: y =1( y ,ϕ1 ) = 0( y ,ϕ 2 ) =0ϕ3 .

Будем считать ϕ 3 = 1 . Если Λ 3 =0, то процесс заканчивается. В противном случаевведем пространство H4 и т.д.Замечание. Очевидно, что Λ 3 ≤ Λ 2 ≤ Λ1 .Возможны два случая:1) ∀n = 1,2,... A H n → H n ≠ 0 . Тогда мы получаем бесконечные последовательностиΛn и ϕn.2) Для некоторого n H n +1 ≠ 0AH n +1 → H n +1= 0 , т.е. для некоторого n сужениеоператора A на пространство Hn+1 станет нулевым оператором. ТогдаΛ n +1 = 0 ипроцесс построения прекращается.Замечание.ДляоператораФредгольмаважнапоследовательностьхарактеристических чисел: λ1 ≤ λ 2 ≤ ... .

Тогда следует рассматривать следующие дваварианта:1)бесконечное число λ n ;2)конечное число λ n .Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора A , соответствующиеразличным собственным значениям, ортогональны.Aϕ 2 = Λ 2 ϕ 2 ,Λ1 ≠ Λ 2 ,ϕ1 и ϕ2 –Доказательство. Пусть Aϕ 1 = Λ 1ϕ 1 ,соответствующие собственные векторы. Тогда0 = ( Aϕ 1 , ϕ 2 ) − ( Aϕ 2 , ϕ 1 ) = (Λ 1 − Λ 2 )(ϕ 1 , ϕ 2 ) , из чего следует (ϕ 1 , ϕ 2 ) = 0 .$!#!"≠0Теорема. Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженногооператора A , удовлетворяющих условию: Λ ≥ δ > 0 , конечно.Доказательство.

Предположим, что собственных значений бесконечно много.Выберем последовательность (различных) собственного значения Λ1 , Λ 2 ,..., Λ n ,... и длякаждого собственного значения выберем собственные вектора ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... .( ϕ n = 1 ∀n = 1,2,... ), по предыдущей лемме они образуют ортонормированнуюсистему.Оператор A - вполне непрерывный. Следовательно,из последовательностиAϕ n = Λ n ϕ n можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Покажем, что это нетак. Возьмем произвольные натуральные числа i и j, i≠j. ТогдаAϕ i − Aϕ j2= Λ iϕ i − Λ jϕ j2= (Λ i ϕ i − Λ j ϕ j ,Λ i ϕ i − Λ j ϕ j ) = Λ2i + Λ2j ≥ 2δ 2 > 0 ,т.е. никакая подпоследовательность последовательности Aϕ n = Λ n ϕ n не являетсяфундаментальной, а, следовательно,никакая подпоследовательность не можетсходиться.Определение.Числолинейнонезависимыхсобственныхвекторов,соответствующих собственному значению, называется кратностью собственногозначения.Теорема. Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора Aможет соответствовать только конечное число линейно независимых собственныхвекторов.Доказательство. Пусть Λ ≠ 0 , и Λ соответствует бесконечно много линейнонезависимых собственных векторов ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,...

. Применив процедуру ГрамаШмидта, хорошо известную из курса линейной алгебры (на всякий случай, ниже мыопишем эту процедуру), мы можем преобразовать ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... в ортонормированнуюсистему. А тогда доказательство этой теоремы дословно повторяет доказательствопредыдущей теоремы, если мы обозначим Λ = δ > 0 . А именно, поскольку ϕ n = 1 ,(ϕ i , ϕ j ) = 0, i ≠ j , а Aϕ n = Λϕ n , из последовательности Aϕ n нельзя выбратьсходящуюся подпоследовательность, поскольку Aϕ i − Aϕ j2=2 Λ2> 0 при i≠j.

Этотрезультат противоречит тому, что оператор A является вполне непрерывным.Замечание. Нулевому собственному значению может соответствоватьбесконечное число линейно независимых собственных векторов.Если существует последовательность линейно независимых собственныхвекторов ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... , то, используя процедуру Грама-Шмидта, ее можнопреобразовать в ортонормированную систему.

Напомним формулы процедуры Грамаϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,.. строятсяШмидта. По заданной последовательности векторовпоследовательности ψ 1 ,ψ 2 ,...,ψ n ,... и e1 , e2 ,...en ,... по формулам: на первом шаге ψψ 1 = ϕ 1 , e1 = 1 ;ψ1на n-ом шаге n −1ψψ n = ϕ n − ∑ (ϕ n , e k ) e k , e n = n .ψnk =1Теперь мы можем формулировать основной результат о построениипоследовательности собственных значений, упорядоченных в порядке невозрастаниямодуля: Λ 1 ≥ Λ 2 ≥ ... ≥ Λ n ≥ ...

. Каждое собственное значение повторяется в этойпоследовательности столько раз, какова его кратность (Почему? Докажите!). Каждомусобственному значению соответствует собственный вектор, причем можно выбратьсобственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему. На самомделе, собственные векторы, соответствующие разным собственным значениямортогональны, а собственные векторы, соответствующие одному и тому жесобственному значению, можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта.При этом, если ненулевых собственных значений бесконечно много, то Λ n → 0 .n →∞Последовательность Λ n является монотонно невозрастающей и ограниченной снизу(нулем).

Поэтому эта последовательность имеет предел. Если этот предел больше нуля,то мы получаем противоречие с доказанным выше утверждением о том, что числособственных значений, модули которых превышают любое фиксированноеположительное число, конечно.Подытожим результаты, полученные выше в данном параграфе, в следующейтеореме.Теорема. Пусть оператор А: действует из h[a,b] в h[a,b] и являетсявполне непрерывным и самосопряженным. Тогда следующий процесс построенияпоследовательности собственных значений и собственных векторов оператора А:1). H 1 = h[a, b] , Λ 1 = A H → H ;11↑ϕ12). H 2 = { y ∈ h[a, b] : ( y, ϕ 1 ) = 0} , Λ 2 = AH 2 →H2;↑ϕ2…n).

H n = { y ∈ h[a, b] : ( y, ϕ 1 ) = 0,..., ( y, ϕ n −1 ) = 0} , Λ n = AHn →H n,↑ϕnгде можно считать, что ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... образуют ортонормированную систему (критерийостановки процессаAHn →Hn= 0 ) приводит к двум возможным результатам:1) Λ 1 ≥ Λ 2 ≥ ... ≥ Λ n ≥ Λ n +1 = 0 - конечная последовательность собственных значений.2) Λ 1 ≥ Λ 2 ≥ ... ≥ Λ n ≥ ... - бесконечная последовательность собственных значений.При этом, в последовательности собственных значений каждое собственное значениебудет повторяться столько раз, какова его кратность. Процесс приводит к нахождениювсех собственных значений, кроме, быть может, в случае 2) нулевого собственногозначения.Следствия.

1) Для характеристических чисел вполне непрерывногосамосопряженного оператора: а). λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n (конечная последовательностьхарактеристических чисел); б). λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... (бесконечная последовательностьхарактеристических чисел). В этом случае lim λ n = ∞ . Каждому характеристическомуn ←∞числу λn можно сопоставить собственный вектор ϕn , причем векторы {ϕn} образуютортонормированную систему.2) Все полученные результаты верны для интегрального оператора снепрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром. В этом случаевместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегральногооператора или собственные функции ядра K ( x, s ) .Рассмотрим множество векторов y ∈ h[a, b] таких, что Ay = 0 . Множество такихвекторов образует замкнутое линейное пространство в h[a,b](доказать самостоятельно).Это множество называется (см.

2) нуль-пространством оператора A иобозначается: Ker A = { y : Ay = 0} . Очевидно, что нуль-пространство нетривиально (т.е.содержит ненулевые элементы) тогда и только тогда, когда оператор A имеет нулевоесобственное значение.Определение. Если нуль-пространство оператора A нетривиально, то операторназывается вырожденным.Определение.