1-2 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление), страница 2

превратить это пространство в гильбертово, сохранив вкачестве сходимости по норме равномерную сходимость.Перейдем теперь к определению линейного оператора. Оператор А,действующий из линейного пространства L1 в линейное пространство L2называется линейным, если для любых элементов y1 и y2 из L1 и любыхвещественных чисел α1 и α2 выполнено равенствоA(α1 y1+α2 y2)= α1A y1+α2A y2.Будем обозначать область определения оператора A как D(A). Дляпростоты будем считать D(A)= L1.

Множество значений оператора A обозначимR(A). В данном случае R(A)⊆ L2 - линейное подпространство L2.Если оператор A взаимно однозначный, то можно ввести обратныйоператор A-1 с областью определения D(A-1)=R(A) и множеством значенийR(A-1)=D(A)= L1. Для линейного оператора вопрос о существовании обратногорешается следующим образом: будем называть нуль-пространством оператора Aмножество KerA={x∈L1: Ax=0}. Очевидно, что KerA – линейноеподпространство L1, причем 0∈ KerA. Если KerA≠{0} (в этом случае говорят, чтонуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным.Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда оператор A неявляется вырожденным (докажите!).В качестве основного примера линейного оператора мы будемрассматривать интегральный оператор ФредгольмаxAy ≡ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds; x, s ∈ [a, b].aЕсли ядро K(x,s) непрерывно по совокупности аргументов (а это мыбудем предполагать в течение всего курса), то в соответствии с теоремой онепрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, доказанной вкурсе математического анализа, оператор A действует в линейном пространствефункций, непрерывных на отрезке [a,b] и, очевидно, является линейным.Мы будем рассматривать линейные операторы, действующие внормированных пространствах.

Пусть оператор А отображает нормированное4пространство N1 в нормированное пространство N2 (для простоты будемсчитать, что D(A)=N1).Определение. Оператор A называется непрерывным в точке y0∈D(A),иесли для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех y∈D(A)удовлетворяющих неравенству ||y-y0||≤δ выполняется неравенство ||Ay-Ay0||≤ε.Как и в курсе математического анализа можно дать эквивалентноеопределение непрерывности оператора в точке (докажите их эквивалентность!):Определение. Оператор A называется непрерывным в точке y0∈D(A),если для любой последовательности yn, n=1, 2, …, yn∈D(A), yn→y0,последовательность Ayn сходится к Ay0.Оператор A называется непрерывным на D(A) (на N1), если оннепрерывен в каждой точке.Оказывается, что линейный оператор непрерывен тогда и только тогда,когда он непрерывен в нуле! На самом деле, если yn→y0, то yn - y0→0, а излинейности оператора вытекает, что Ayn→Ay0 тогда и только тогда, когда A(yn y0)→0 (завершите доказательство!).Определение.

Нормой оператора А называетсяA N1→ N 2 = sup Ay N 2yN1 =1Если это не будет вызывать разночтений, то для сокращения записи будемобозначать A N1 →N 2 = A . ЕслиA < +∞ , то оператор А называетсяограниченным. В конечномерных пространствах любой линейный операторявляется ограниченным (докажите!).Пример линейного неограниченного оператора. Пространство C [0, 1]очевидно является бесконечномерным пространством. Рассмотрим операторdдифференцирования A=, определенный на линейном подпространствеdsнепрерывно дифференцируемых функций из C [0, 1]. Покажем, что А неограниченный линейный оператор. Возьмем последовательность функцийy n = cos n s .Тогда: yn = max cos ns = 1 , но Ay n (s ) = n ⋅ sin ns → ∞ при n → ∞ .s∈[ 0 ,1]Теорема. Для ∀ y ∈ N1 выполнено неравенстволинейный ограниченный оператор, действующийпространства N 1 в нормированное пространство N 2 .Доказательство.

1). Для y=0 теорема верна: 0=0.2). Рассмотрим теперь случайединичный вектор: ||z||=1. ТогдаAy ≤ A y , где А –из нормированногоy ≠ 0 . Возьмем элемент|| Az ||=|| Az=yyy||≤|| A || , из чего и следуетyутверждение теоремы.Теорема. Линейный оператор А: N 1 → N 2 , является непрерывным тогдаи только тогда, когда он ограничен.Доказательство. Поскольку оператор A линейный мы будем исследоватьнепрерывность только в точке 0.51) Докажем, что из ограниченности следует непрерывность. Возьмемпоследовательность yn→0при n→∞ .Тогда ||Ayn||≤||A||||yn||→0 , аследовательно, оператор А непрерывный.2) Докажем, что из непрерывности следует ограниченность.Предположим, что оператор A неограниченный.

Тогда существуетпоследовательность yn, n=1, 2, …; такая, что ||yn||=1, ||Ayn||≥n. Но при n→∞||Ayn/n||≥1, а yn/n→0, что противоречит непрерывности оператора A.bПокажем теперь, что интегральный оператор Ay ≡ ∫ K ( x, s ) ⋅ y ( s ) ds , x ∈ [a, b] ,aявляетсяограниченнымизb2h[a,b]2Запишем:h[a,b].bz ( x) = Ay = ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds ,2вy =a∫y2( s ) ds =1.aПо неравенству Коши-Буняковского для каждого фиксированного x∈[a,b]:2bb∫ K ( x, s) y( s) ds ≤ ∫ KaИнтегрируемaпоx: Ay2b2b( x, s ) ds × ∫ y ( s ) ds = ∫ K 2 ( x, s ) ds. .2aab b≤ ∫∫ K 2 ( x, s ) dx ds .Посколькуправаячастьa aнеравенства не зависит от у, то:b bA ≤∫∫ K2( x, s ) dx ds <+∝,a aчто и требовалось доказать.Докажите, что оператор интегральный оператор Фредгольма А являетсяограниченным при действии из C[a,b] в C[a,b], из h[a,b] в C[a,b] и из C[a,b]в h[a,b] и найдите оценки сверху для нормы оператора!В дальнейшем нам потребуется следующая тривиальнаяЛемма.

Пусть линейный ограниченный оператор A действует изнормированного пространства N1 нормированное пространство N2, линейныйограниченный оператор B действует из нормированного пространства N2нормированное пространство N3. Тогда ||BA||≤||A||||B||.Доказательство. Для любого элемента y из N1 (||y||=1) имеет место:||BAy||≤||B||||Ay||≤||B||||A||||y||=||B||||A||. Отсюда и из определения нормылинейного оператора следует утверждение Леммы.Дадим теперь определение вполне непрерывности линейного оператора,действующего из нормированного пространства N1в нормированноепространство N2.Последовательность yn, n=1,2,…, называется ограниченной, еслисуществует константа C такая, что ||yn||≤C для всех n=1,2,… .Определение.

Линейный оператор А называется вполне непрерывным,если для любой ограниченной последовательности элементов y n изN1 последовательность zn=Ayn такова, что из любой ее подпоследовательностиможно выделить сходящуюся подпоследовательность.Последовательность, обладающая тем свойством, что из любой ееподпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной.Таким образом, вполне непрерывный оператор преобразует любуюограниченную последовательность в компактную.6Теорема. Вполне непрерывный оператор является ограниченным (а,следовательно, непрерывным).Доказательство.

Предположим, что вполне непрерывный оператор A неявляется ограниченным. Тогда найдется последовательность yn, n=1,2,…, yn∈N1,||yn||=1, такая, что ||Ayn||≥ n. Но тогда из последовательности zn=Ayn нельзявыделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что A –вполне непрерывный оператор.(Докажитесами,чтоеслипоследовательностьэлементовнормированного пространства сходится, то она ограниченна).Определение. Множество D ∈ N 2 называется компактом, если D замкнутое ограниченное множество, и из любой последовательности элементовz n ∈ D можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторомуэлементу из D.Замечание. В R1 критерий компактности последовательностиопределяется теоремой Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченнойпоследовательности вещественных чисел можно выделить сходящуюсяподпоследовательность.

Аналогичное утверждение (какое?) имеет место и в Rn.Для ∞ -мерных пространств это не так.Пример 1. Приведем пример некомпактной последовательностивещественных чисел: 1, 2, 3, … . Очевидно, что из этой последовательностинельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Рассмотрим теперьследующую последовательность: 1, 1, 2, 1, 3, 1, … . Эта последовательностьтакженекомпактна–изнееможновыделитьсходящуюсяподпоследовательность,нонельзявыделитьсходящуюсяподпоследовательность из любой ее подпоследовательности.Пример. Рассмотрим пространство h[a,b]. В курсе математическогоанализа доказывалось существование в h[a,b] ортонормированной системы,состоящей из бесконечного числа элементов (например, с помощьютригонометрической системы функций):0, i ≠ j.en , n = 1,2,...

, e j = 1 , (ei , e j ) = δ ij = 1, i = jПокажем, что из последовательности членов ортонормированной системы (этапоследовательность, очевидно, является ограниченной) нельзя выделитьсходящуюсяподпоследовательность.Насамомделе:2ei − e j = (ei − e j , ei − e j ) = 2 , i ≠ j ⇒ ei − e j = 2 , если i≠j. Поэтомуникакая подпоследовательность этой последовательности не может бытьфундаментальной, а, следовательно, сходящейся.Рассмотрим теперьпоследовательность: e1, c, e2, c, e3, c, … (c – фиксированный вектор из h[a,b]).Эта последовательность также некомпактна – из нее можно выделитьсходящуюся подпоследовательность,но нельзя выделить сходящуюсяподпоследовательность из любой ее подпоследовательности.Заметим, что не любой непрерывный линейный оператор являетсявполне непрерывным.Пример.