1-2 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

2. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Элементытеории линейных операторов.Множество L называется (вещественным) линейным пространством,если для любых двух его элементов x, y определен элемент x+y∈L (называемыйсуммой x и y), и для любого элемента x∈L и любого (вещественного) числа αопределен элемент αx∈L, причем выполнены следующие условия: 1) длялюбых элементов x, y∈L x+y=y+x (коммутативность сложения); 2) для любыхэлементов x, y, z∈L (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения); 3)существует элемент 0∈L (называемый нулевым элементом, или нулемпространства L) такой, что для любого элемента x∈L x+0=x (существованиенулевого элемента); 4) для любого элемента x∈L существует элемент (-x)∈L(называемый обратным к x) такой, что x+(-x)=0 (существование обратногоэлемента); 5) для любых элементов x,y∈L и любого (вещественного) числа αα(x+y)=αx+αy (дистрибутивность умножения суммы элементов на число); 6)для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента x∈L (α+β)x=αx+βx(дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент); 7) для любых(вещественных) чисел α, β и любого элемента x∈L (αβ)x=α(βx)(ассоциативность умножения на число); 8) для любого элемента x∈L 1x=x(свойство единицы).Элементы линейного пространства называются векторами, поэтомулинейное пространство иногда называется векторным.

В качестве примералинейного пространства можно привести изучаемое в курсе линейной алгебрыконечномерное векторное пространство Rn. Еще один пример – пространство(вещественных) функций, определенных на отрезке [a,b]. Очевидно, что этопространство можно рассматривать как линейное, если определить суммуэлементов и умножение на вещественное число обычным образом (как?).Нулевым элементом этого пространства является функция, тождественноравная нулю.Дадим теперь определение метрического пространства: множество Mназывается метрическим пространством, если для любых двух его элементов x,y∈M определено вещественное число ρ(x,y) (называемое метрикой, илирасстоянием), причем выполнены следующие условия: 1) для любых элементовx, y∈M ρ(x,y)≥0, и ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда элементы x и y совпадают(x=y) (неотрицательность метрики); 2) для любых элементов x, y∈Mρ(x,y)=ρ(y,x) (симметричность метрики); 3) для любых элементов x, y, z∈Mρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ ρ(y,z) (неравенство треугольника).В метрическом пространстве можно ввести понятие сходимостипоследовательности элементов, а именно: последовательность элементовx(n)∈M, n=1, 2, …, сходится к элементу x(0)∈M (обозначается x(n)→ x(0) приn→∝), если ρ(x(n), x(0))→0 при n→∝.Можно дать определение открытого изамкнутого множества (как?).Заметим, что метрическое пространство не обязательно являетсялинейным.

Дадим далее определение нормированного пространства: линейноепространство N называется нормированным, если для любого элемента x∈Nопределено вещественное число ||x|| (называемое нормой), причем выполненыследующие условия: 1) для любого элемента x∈N ||x||≥0, и ||x||=0 тогда и толькотогда, когда x=0; 2) для любого элемента x∈N любого (вещественного) числа α1||αx||=|α|||x|| (неотрицательная однородность нормы); 3) для любых элементовx, y∈N ||x+y||≤||x||+||y|| (неравенство треугольника).Нормированное пространство является метрическим: ρ(x,y)=||x-y||.

Внормированном пространстве легко определить понятие сходимостипоследовательностей. Последовательность элементов x(n)∈N, n=1, 2, …,сходится (по норме пространства N) к элементу x(0)∈N (обозначается x(n)→ x(0)при n→∝), если ||x(n)-x(0)||→0 при n→∝.Можно дать определение открытого изамкнутого множества (как?). Докажем теперь, что из сходимости по нормеследует сходимость норм элементов последовательности к норме предельногоэлемента. Обратное, очевидно, неверно.Лемма. Если x(n)→ x(0) при n→∝, то ||x(n)||→ ||x(0)||.Доказательство.

Докажем сначала неравенство, тривиально следующее изнеравенства треугольника: для любых элементов x, y∈N|||x||-||y|||≤||x-y||.На самом деле, из неравенства треугольника следует||x||=||x-y+y||≤||x-y||+||y||. Отсюда ||x||-||y||≤||x-y||. Меняя x и y местами,получаем ||y||=||y-x+x||≤||x-y||+||x||, или ||y||-||x||≤||x-y||. Из этих двухнеравенств следует написанное выше. Пусть теперь x(n)→ x(0) при n→∝. Тогда|||x(n)||-|| x(0)|||≤|| x(n)- x(0)|| →0, из чего и следует утверждение Леммы.В качестве примеров нормированных пространств можно привестиконечномерное евклидово пространство Rn (изучавшееся в курсе линейнойалгебры) и пространство C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b](опишите подробнее это линейное пространство!).

Норма в пространстве C[a,b]определяется ||y||C[a,b]=max{|y(s)|, s∈[a,b]}(докажите, что это на самом деленорма!). Сходимость по норме пространства C[a,b] называется равномернойсходимостью. Свойства равномерно сходящихся последовательностейнепрерывных функций изучались в курсе математического анализа. Вчастности, было доказан критерий Коши равномерной сходимости, а именно,необходимымидостаточнымусловиеравномернойсходимостифункциональной последовательности является ее фундаментальность.Последовательность x(n), n=1,2,…, элементовОпределение.нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любогоε>0 найдется номер K такой, что для любого n≥K и любого натурального p||xn+p-xn||≤ε.Если последовательность сходится, то она фундаментальна (докажите!).Если же любая фундаментальная последовательность сходится, тонормированное пространство называется полным.Определение.

Полное нормированное пространство называетсябанаховым.Поскольку в курсе математического анализа было доказано, чтокритерий Коши является не только необходимым, но и достаточным условиемравномерной сходимости, то, тем самым, было доказано, что пространствоC[a,b] является банаховым. Очевидно, свойством полноты обладает ипространство Rn(докажите!).В дальнейшем нам потребуется и пространство функций, непрерывных спроизводными до p-го порядка включительно на интервале [a,b], сходимость вкотором является равномерной со всеми производными до p-го порядка. Такоепространство обозначается C(p)[a,b]. Можно ввести много различных норм в2этом пространстве, порождающих указанный выше тип сходимости. Из всехтаких (эквивалентных) норм для нас удобнее всего будет следующая:|| y || p=C [ a ,b ]p∑ max{| y (k ) ( s) |, s ∈ [a, b]}.k =0Докажите, что это на самом деле норма, и пространство C(p)[a,b] являетсябанаховым (!!!).Определение.

Линейное пространство E называется евклидовым, длялюбых двух элементов x, y∈E определено вещественное число (x,y), называемоескалярным произведением, причем выполнены следующие условия: 1) длялюбых элементов x, y∈E (x,y)=(y,x) (симметричность); 2) для любых элементовx1,x2, y∈E (x1+x2,y)=( x1,y)+(x2,y) (аддитивность по первому аргументу); 3) длялюбых элементов x, y∈E и любого вещественного числа α (αx,y)= α(x,y)(однородность по первому аргументу) (в силу симметричности скалярноепроизведение является линейным как первому, так и по второму аргументу); 4)для любого x∈E (x,x)≥0, причем (x,x)=0 тогда и только тогда, когда x=0(свойство скалярного квадрата).Скалярное произведение порождает норму: ||x||E={(x,x)}1/2. Проверьте, чтоэто на самом деле норма! Примером конечномерного линейного пространстваявляется пространство n-мерных векторов Rn, изучавшееся в курсе линейнойалгебры.

Это пространство состоит из векторов-столбцов, а скалярноепроизведение в этом пространстве произведение определяется как(x,y)=x1y1+…+xnyn, где x1,…,xn; y1,…,yn; - компоненты векторов x и yсоответственно. В курсе линейной алгебры было доказано неравенство КошиБуняковского: |(x,y)|≤||x||||y||, причем равенство выполняется тогда и толькотогда, когда элементы x и y линейно зависимы. Проверьте сами, чтонеравенство Коши-Буняковского справедливо в любом евклидовомпространстве. Отметим, что пространство Rn является полным.Еще один пример евклидового, но уже бесконечномерного пространстварассматривался в курсе математического анализа.

А именно, рассмотрим сновалинейное пространство функций, непрерывных на отрезке [a,b], но введемнорму с помощью скалярного произведения: для любых непрерывных на [a,b]функций y1(x), y2(x) положимb( y1 , y 2 ) = ∫ y1 ( x) y 2 ( x)dx.aПроверьте, что это на самом деле скалярное произведение! Пространствонепрерывных функций с нормой, порожденной введенным скалярнымпроизведением, обозначим h[a,b]. Тем самым,b|| y || h[ a,b] = {∫ y 2 ( x)dx}}1 / 2 .aСходимость по норме h[a,b] называется сходимостью в среднем. В курсематематического анализа было доказано, что из равномерной сходимостиследует сходимость в среднем (докажите!). Из сходимости же в среднем неследует не только равномерная, но даже поточечная сходимость (постройтепример!).Очевидно, что евклидово пространство h[a,b] является бесконечномерным(почему?).

К сожалению, это пространство не является полным. На самом деле,3легко построить последовательность функций, непрерывных на отрезке [a,b](например, кусочно-линейных), которая сходится в среднем к разрывнойфункции: y(x)=0 при a≤x<(a+b)/2; y(x)=1 при (a+b)/2≤x≤b. Такаяфункциональная последовательность является фундаментальной в h[a,b], но неимеет в h[a,b] предел (почему? Докажите!).В курсе функционального анализа доказывается, что любое неполноенормированное пространство можно пополнить. Полное бесконечномерноеевклидово пространство называется гильбертовым. Если пополнитьпространство h[a,b], то мы получим гильбертово пространство L2[a,b].

Однакодля того, чтобы описать, из каких элементов состоит это пространство, нужнознать не только интеграл Римана (который изучался в курсе математическогоанализа), но и интеграл Лебега. При изложении курса интегральных уравнениймы будем рассматривать пространство h[a,b], понимая, что это пространствонеполно. Но в этом пространстве легко определить, что такое ортогональность,поскольку в этом пространстве задано скалярное произведение. Если же нампотребуется полнота, то мы будем рассматривать пространство C[a,b]. Ксожалению (это доказывается в курсе функционального анализа), в этомпространстве нельзя ввести эквивалентную норму, порожденную скалярнымпроизведением, т.е.