1-10 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

§10. Уравнения с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.Будем рассматривать уравнения Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром K ( x, s ) :y = λ Ay + f ,nK ( x, s ) = ∑ a j ( x ) b j ( s ) ,j =1a j ( x), b j ( s ) - непрерывны по своим аргументамна [a, b] ; a1 ( x),..., a n ( x) – линейно независимы; b1 ( s ),..., bn ( s ) -линейно независимы (этопредположение не ограничивает общность); f (x) - заданная непрерывная функция.bny ( x) = λ ∑ a j ( x) ∫ b j ( s ) y ( s ) ds + f ( x) илиj =1a$!!#!!"c j − числаny ( x) = λ ∑ c j a j ( x) + f ( x) .j =1Умножим обе части равенства на bi (x) , i = 1,..., n, и проинтегрируем от a до b:bnbbci = ∫ y ( x) bi ( x) = λ ∑ c j ∫ a j ( x) bi ( x) dx + ∫ f ( x) bi ( x) dx .j =1aaa$!!#!!" $!!#!!"k ijfiПолучаем систему линейных алгебраических уравненийnci − λ ∑ k ij c j = f i , i = 1,..., n .j =1Докажите, что задача решения системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) и задача решения неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода свырожденным ядром эквивалентны!!!Рассмотрим определитель СЛАУ:1 − λ k11 − λ k12 ...

− λ k1n− λ k21 1 − λ k22 ... − λ k2 nD (λ ) =.............− λ kn1 − λ kn 2 ... 1 − λ knnОпределитель D(λ ) не равен нулю тождественно, т.к. D(0) = 1 . D(λ ) - полином отλ степени n . Число его корней не превосходит n. Вещественные корни полинома D(λ ) это характеристические числа интегрального оператора с вырожденным ядром.Для каждого заданного λ возможны два случая: 1) D(λ ) ≠ 0 ; 2) D(λ ) = 0 .Рассмотрим первый случай: D(λ ) ≠ 0 .Теорема. Если λ не является характеристическим числом (т.е. D(λ ) ≠ 0 ), тоинтегральное уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и при том единственное, решение длялюбой непрерывной функции f (x) .1 nРешение находится по формулам Крамера: ci =∑ Dik (λ ) f k , где Dik (λ ) D(λ ) k =1bn1 n∑ Dik (λ ) ai ( x) ∫ f ( s) bk (s) ds .i =1 D (λ ) k =1aТ.к.

в выражении для y(x) суммы конечные, то можно поменять местами операцииалгебраические дополнения: y ( x) = f ( x) + λ ∑bсуммированияиинтегрирования:y ( x) = f ( x) + λ ∫ R( x, s, λ ) f ( s ) ds ,aгде1 n n∑ ∑ Dik (λ ) ai ( x) bk ( s ) - резольвента, D(λ ) и Dik (λ ) называютсяD(λ ) i =1 k =1определителями Фредгольма.Перейдем ко второму случаю: D(λ ) = 0 .Рассмотрим сначала однородное уравнение:f = 0 .

Тогда имеем однороднуюR ( x, s , λ ) =nci − λ ∑ kij c j = 0СЛАУ:i, j = 1, n .j =1Т.к. λ – характеристическое число, то однородная система имеет нетривиальноерешение (вообще говоря, может быть несколько линейно независимых решений). Пусть λсоответствует p линейно независимых решений: 1 ≤ p ≤ n (число линейно независимыхрешений – это так называемая геометрическая кратность характеристического числа):p=n-r, r – ранг матрицы I-λK, K = {k ij }, i, j = 1,...n .()Обозначим нетривиальное решение однородной СЛАУ: c1( l ) ,..., cn( l ) , l = 1, pЗапишем нетривиальное решение однородного уравнения Фредгольма 2 рода:nϕ l ( x) = ∑ ci(l ) ai ( x) .i =1Т.к. c1( l ) ,..., cn(l ) – линейно независимы при разных l и a1 ,..., an - линейно независимы,то уравнение Фредгольма 2 рода имеет p линейно независимых решений, а общееpрешение однородного уравнения представимо в видеy ( x) = ∑ α l ϕ l ( x) , где α l - любыеl =1вещественные числа.Напомним некоторые сведения из линейной алгебры.

Пусть дана СЛАУ: x1  f1   nX =  %  ∈ R ; F =  %  ∈ Rn .BX = F ;x f  n nB - линейный оператор: R n → R n , ранг B = r (b) равен размерности R(B) . Однородноеуравнение: BX = 0 имеет (n − r ) линейно независимых решений.Рассмотрим теперь СЛАУ B ∗ X = G ,B∗ - транспонированная матрица. В курселинейной алгебры было доказано, что ранг B равен рангу B*. Если есть однородноеуравнение с матрицей B ( BX = 0 ) и однородное уравнение с матрицей B∗ ( B ∗ X = 0 ), тоу них одно и то же число линейно независимых решений.Определение. Сопряженное (союзное) интегральное уравнение – это уравнение сядром K ∗ ( x, s ) = K ( s, x) .bНаряду с уравнениемy ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x)или в операторной формеay = λ A y + f мы будем рассматривать союзное с ним интегральное уравнение:bψ ( x) = λ ∫ K * ( x, s )ψ ( s ) ds + g ( x)ag (x) - непрерывная функция.(в операторной форме ⇔ ψ = λ A∗ψ + g ),bnРешение союзного уравнения имеет вид: ψ ( x) = λ ∫ ∑ a j ( s ) b j ( x) ψ ( s )ds + g ( x) илиa j =1nψ ( x) = λ ∑ c~ j b j ( x) ,j =1bc~j = ∫ψ ( s ) a j ( s ) ds .

Получаем СЛАУ, эквивалентную союзномуaинтегральному уравнению:nc~i − λ ∑ k ji c~j = g i , i = 1,..., n, , илиj =1b~( I − λ K )C = 0 , k ij∗ = ∫ ai ( s ) b j ( s ) ds = k ji , K * = {k ij∗ } , i,j=1,…,n.∗aМы получили СЛАУ с транспонированной матрицей.Рассмотрим однородную систему. Определитель такой же:D (λ ) = 0 .(l)(l )~~c1 ,..., c n , l = 1,..., p, - линейно независимых решений ровно столько же, сколько и дляисходной системы, т.е. p .ОднородномуисходномууравнениюсоответствуетСЛАУ:∗ ~( I − λ K )C = 0 , а однородному союзному уравнению:( I − λ K )C = 0 .

Мы доказалиследующую теорему:Теорема. Для любого λ число линейно независимых решений однородногоинтегрального уравнения Фредгольма второго рода и союзного с ним однородногоуравнения одинаково.Будем решать неоднородное уравнение в случае D(λ ) = 0 . Возникает вопрос:когда разрешима неоднородная система линейных алгебраических уравнений,определитель которой равен нулю? Пусть нам дана СЛАУ f1  x1  BX = F , B : R n → R n ,F = %  ,X = %  .f x  n n()Лемма (о разложении пространства Rn). R n = R( B) ⊕ Ker B∗ .Перед тем, как доказывать Лемму, выясним, как решать вопрос о разрешимостиуравнения BX = F . Ответ очень простой – разрешимость означает, что F ∈ R(B) . Такимобразом, чтобы убедиться, что решения есть, надо в соответствии с Леммой доказать, чтоF ⊥ Ker B ∗ .

Для этого достаточно найти базис пространстваKer B∗ и проверитьортогональность F базисным векторам Ker B∗ .Доказательство. Заметим, что R( B) = R( B) и Ker B ∗ = Ker B ∗ - это замкнутыелинейные подпространства R n (докажите замкнутость!!!).1) Докажем, что из Y ∈ R(B) следует, что Y ⊥ Ker B ∗ . Т.к. Y ∈ R(B) , тосуществуетX ∈ R n такой,чтоY = BX .Тогда∀ψ ∈ Ker B∗(Y ,ψ ) = ( BX ,ψ ) = ( X , B ∗ψ ) = 0 , т.е. Y ⊥ Ker B ∗2).

Докажем, что из ψ ⊥ R(B) следует, что ψ ∈ Ker B ∗ . На самом деле, ψ ⊥ R(B)означает, что0 = (ψ , BX ) = ( B ∗ψ , X ) ∀X ∈ R n . Отсюда B ∗ψ = 0 или ψ ∈ Ker B ∗ .Лемма доказана.Пусть BX = F . Как определить, есть ли решения? Надо найти все нетривиальныелинейно независимые решения уравнения B∗ψ = 0 . Если F ортогональна всем этимрешениям, то неоднородная система имеет решения; если F не ортогональна всемнетривиальным решениям уравнения B∗ψ = 0 , то уравнение BX = F не имеет решений.Получаем следующие условие разрешимости СЛАУ для уравнения Фредгольма 2рода в случае D(λ ) = 0 :(l ) f1   c~1  l = 1,..., p .%⊥% ()l f  c~ n  n Чтобы СЛАУ для неоднородного уравнения Фредгольма 2 рода с вырожденнымядром была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор правой части былортогонален всем линейно независимым решениям СЛАУ для однородного союзногоbnnуравнения, т.е.

∑ f i c~i ( l ) = 0,l = 1,..., p или ∫ f ( x) ∑ c~i ( l ) bi ( x) dx = 0 , ψ l (x) - решенияi =1i =1a$!!#!!"ψ l (x)bоднородного союзного уравнения. Т.е.∫ f ( x)ψl( x) dx = 0l = 1,..., p .aТеорема. Неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядромразрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность f (x) ортогональна всем линейнонезависимым решениям однородного союзного уравнения.Теорема. Неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядромразрешимо для любой неоднородности f (x) тогда и только тогда, когда однородноеуравнение имеет только тривиальное решение (теорема уже доказана).Перейдем теперь к общему случаю невырожденного несимметрического ядра.Оказывается, что для каждого фиксированного λ неоднородное уравнение Фредгольма 2го рода с невырожденным ядром можно заменить эквивалентным интегральнымуравнением с вырожденным ядром.

Для уравнений же с вырожденными ядрами теорияпостроена выше.Теорема. Любое интегральное уравнение Фредгольма 2 рода y = λ A y + f сневырожденным ядром при фиксированном λ можно заменить эквивалентныминтегральным уравнением с вырожденным ядром.Доказательство. Для любого ε>0 ядро интегрального уравнения можнопредставить в виде суммыK ( x, s ) = K в ( x, s ) + K ε ( x, s ) , где K в ( x, s) =N (ε )∑ak =1k( x) bk ( s ) -вырожденное ядро, K ε ( x, s ) - невырожденное ядро такое, чтоmax K ε ( x, s ) = max K ( x, s ) − K в ( x, s ) ≤ ε .x , s∈[ a ,b ]x , s∈[ a ,b ]Аппроксимировать ядро вырожденным с любой заданной точностью можно хотя быпотому, что в двумерном случае верна теорема Вейерштрасса о равномернойаппроксимации на квадрате [a, b]x[a, b] функции полиномами, зависящими от двухпеременных: PN ( x, s ) = ∑ a nk x n s k .n+k ≤ Nn , k = 0, NВернемся к интегральному уравнению и запишем его в виде: y = λTε y + λ S ε y + f ,Tε - интегральный оператор с вырожденным ядром K в ( x, s ) , S ε - интегральный операторс невырожденным ядром K ε ( x, s ) .