Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 3

Пусть в некоторойсвободных материальных точекAjдекартовой инерциальной системе координат (т. е. в такой, где справедлив второй законНьютона) радиус-вектор точки A j есть rj = rj ( t ) . Тогда ее скорость и ускорение вычисляются•••как производные от rj (t ) : v j = rj ( t ) , a j = rj ( t ) . Допустим, что сумма всех внешних ивнутренних сил, приложенных кA j , есть вектор-функция•⎛⎞Fj = Fj ⎜ t , r , r ⎟ ,⎝⎠где⎞⎛r = ⎜ r1 , r2 , …, rN ⎟ . Тогда данная механическая система описывается, согласно второму закону⎝⎠Ньютона, задачей Коши для системы ОДУ:•••⎛⎞(1)m j rj = F j ⎜ t , r , r ⎟ ,⎝⎠•rj (t0 ) = rj0 , rj (t0 ) = v j0j = 1, 2,..., N .Таким образом, второй закон Ньютона дает общий метод описания механических систем спомощью дифференциальных уравнений.Пусть на систему наложены связи (например, точки соединены жесткими стержнямипренебрежимо малой массы и т.

п.) Тогда 3N -мерная точка r , изображающая мгновенноеположение всей системы, уже не может принимать произвольное положение в пространствеR3N, а в каждый момент времени t принадлежит некоторому множеству Kt ⊂ R3N,называемому конфигурационным многообразием данной механической системы.Мы будем предполагать, что конфигурационное многообразие допускает следующееописание. Пусть t0 ∈ R, r0 ∈ Kt . Тогда должны существовать окрестность U ⊂ R точки t0 иокрестность V ⊂ R3N точки r0 такие, что для любого t ∈U любая точка r ∈ Kt ∩ V однозначнозаписывается в виде0r = r (t, q ) ,где функция r ( t , q ) определена по переменнойnR(2)q = ( q1 , q2 ,..., qn ) на открытом множестве Q ⊂(n ≤ 3N), дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных и∂r ( t , q )имеет максимально возможный ранг n .∂qКоординаты ( q1 , q2 ,..., qn ) вектора q , которые по заданным t ∈U и r ∈ Kt ∩ V находятсяоднозначно, называются локальными обобщенными, или лагранжевыми координатами точкиr.Выбор локальных обобщенных (или просто обобщенных) координат, конечно,неоднозначен.

Число n называется размерностью конфигурационного многообразия.Для системы со связями в правых частях уравнения (1) появляются неизвестные заранеесилы реакции связей. Если связи идеальны, (т. е. соответствующие силы реакции не производятработы), то задача, тем не менее, остается динамически определенной, так как уравнения связей(2) дают необходимую дополнительную информацию. Однако практически бывает удобнорассматривать вместо (1), (2) эквивалентную ей систему уравнений Лагранжа второго рода,записанную непосредственно в обобщенных координатах ( q1 , q2 ,..., qn ) и не содержащую силреакции связей. Вывод уравнений Лагранжа дается в курсе теоретической механики, здесь мытолько опишем алгоритм построения этих уравнений, состоящий из трех шагов.невырождена, т.е.

(3 N × n) - матрица Якоби1) Выражение кинетической энергии системы через обобщенные координаты:⎛⎞mjv∂ rj ∂ r j • ⎟1⎛ ⎞ 1⎜T =∑= ∑ m j ⎜ rj ⎟ = ∑ m j ⎜+q∂q ⎟⎟22 j =1 ⎝ ⎠ 2 j =1 ⎜ ∂tj =1⎝⎠N2) Вычисление обобщенных сил:2jN•2N2N∂ rjj =1∂qiQi = ∑ F ji = 1, 2,..., n .,3) Выписывание уравнений Лагранжа:d ∂T ∂T−= Qi ,dt ∂ q• ∂ qiii = 1, 2,..., n .Пример 5: гармонический осциллятор и математический маятник.

Составим уравненияЛагранжа для двух конкретных механических систем, изображенных на рисунке.Гармонический осциллятор – это грузик на гладком стержне, поддерживаемый с двух концовпружинами. Для него в качестве единственной обобщенной координаты q можно взятьдекартову координату q = x ; для маятника естественно выбрать q = ϕ . Тогда уравнения (2)для этих систем запишутся в виде:осциллятор–r = ( x, 0, 0 ) ;маятник–r = ( l sin ϕ , 0, −l cos ϕ ) .Для маятника эта функция взаимно однозначна при ϕ ∈ (−π , π ) или при ϕ ∈ (0, 2π ) (двелокальные системы координат).Кинетическая энергия этих механических систем вычисляется по формулам:21 ⎛i⎞осциллятор –T = m⎜ x⎟ ;2 ⎝ ⎠2маятникT=–а обобщенные силы – по формулам:осциллятор–F = ( −kx, 0, 0 ) ,маятник–F = ( 0, 0, − mg ) ,Далее, для осциллятора имееми уравнение движения••m x = − kx ,1 2⎛ i ⎞ml ⎜ ϕ ⎟ ,2⎝ ⎠∂r= (1, 0, 0 ) ,∂x∂r= ( l cos ϕ , 0, l sin ϕ ) ,∂ϕ•∂T ∂T= • =mx,•∂q ∂xили∂r= − kx ;∂x∂rQ=F= − mgl sin ϕ∂ϕ∂T ∂T== 0,∂q ∂xQ=F••m x + ω02 x = 0 ,ω0 =k.m∂TВ случае маятника:•∂q=∂T•∂ϕ∂T ∂T== 0,∂q ∂ϕ•= ml 2 ϕ ,g.lЕсли ϕ << 1 , то sin ϕ ≈ ϕ , и получаем ϕ + ω02ϕ = 0 – линеаризованное уравнение колебаний.••ml 2 ϕ = −mgl sin ϕ ,и уравнение движения••ϕ + ω02 sin ϕ = 0 ,илиЕсли длина стержня маятника изменяется во времени, т.е.будет иметь видПример 6:рисунке.••ϕ+•2l •ϕ + ω 2 (t )sin ϕ = 0 , гдеlω (t ) =gl (t )ω0 =l = l (t ) , то уравнение движения(получите это самостоятельно).уравнение RLCE-контура.

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную наОна состоит из четырех двухполюсников: сопротивления R, индуктивности L, емкости C иисточника ЭДС E. Если для двухполюсника A произвольно выбрать положительноенаправление, то в любой момент времени ему можно сопоставить две величины: напряжениеuA (вольт) и ток iA (ампер).

При смене положительного направления они меняют знак. Каждыйиз двухполюсников описывается определенным уравнением:dudiu E = −e ( t ) .u R = RiR ,C C = iC ,L L = uL ,dtdtНеотрицательные параметры R (ом), L (генри) и C (фарада) называются, как и самидвухполюсники, сопротивлением, индуктивностью и емкостью; заданная функция e(t)характеризует источник ЭДС. Соединения двухполюсников в цепь описываются двумязаконами Кирхгофа.Первый закон Кирхгофа гласит: сумма токов, втекающих в любой узел, равна нулю. Врассматриваемом контуре четыре узла, они помечены цифрами.

Из закона Кирхгофа для узла 1следует, что iE = iR , так как в этот узел втекают токи iE и −iR . Из рассмотрения остальныхузлов следует, что ток во всем контуре одинаковый:iE = iR = iC = iL = i .Второй закон Кирхгофа утверждает, что сумма напряжений при обходе любого замкнутогоконтура равна нулю (положительные направления двухполюсников должны быть согласованыс направлением обхода).В нашем случаеuE + uR + uC + uL = 0 ,илиdiL + uC + Ri = e(t ) .dtИз уравнения емкости следует, чтоdudid 2u=C 2i= C ,dtdtdtВведя обозначение u = uC , получаем окончательноLCu′′ + RCu′ + u = e ( t ) .Это и есть уравнение RLCE-контура.

В него входит только напряжение емкости u; всеостальные напряжения и токи вычисляются по известному значению u:uL = e ( t ) − u − uR .uR = Ri ,i = Cu ′ ,Заметим, что если положить R = 0 иe(t ) ≡ 0 , то полученное уравнение лишьобозначениями будет отличаться от уравнения гармонического осциллятора. Здесь проявляетсяуниверсальность языка дифференциальных уравнений: он выявляет существенные связи между1.разными уравнениями. В уравнении контура роль величины ω0 играетLCПример 7: модель биологической системы "хищник-жертва". Приведем вывод уравнений,описывающих изменение численности двух взаимосвязанных биологических видов: "жертвы"(N1) и "хищника" (N2) по книге известного итальянского математика Вито Вольтерры.Встречающийся в этом выводе термин "коэффициент прироста" обозначает отношение N′/Nскорости изменения численности вида к его численности.

В подобных моделях функциюудобно считать гладкой, хотя на самом деле она принимает целочисленные значения и,следовательно, изменяется скачкообразно. Поскольку модель носит приближенный характер,такая интерпретация допустима.Если бы в среде, где обитают эти виды, находился только один из них, а именно жертва,то у него был бы некоторый коэффициент прироста ε1 > 0 . Другой вид (хищник), питающийсятолько жертвой, в предположении, что он существует изолированно, имеет некоторыйкоэффициент прироста −ε 2 < 0 . Когда два такие вида сосуществуют в ограниченной среде,первый будет развиваться тем медленнее, чем больше существует индивидуумов второго вида,а второй – тем быстрее, чем многочисленнее будет первый вид.

Гипотеза, довольно простая,состоит в том, что коэффициенты прироста таковы, чтоε1 − γ 1 N 2 ,ε1 > 0,γ1 > 0и−ε 2 + γ 2 N1 ,ε 2 > 0, γ 2 > 0 .Это приводит к системе дифференциальных уравнений для описания численности видов:dN1= N1 ( ε1 − γ 1 N 2 )dtdN 2= N 2 ( −ε 2 + γ 2 N1 )dtN1 ( t0 ) = N10 , N 2 ( t0 ) = N 20На практике, при выводе дифференциальных уравнений помимо строгих законов нередкоиспользуются гипотезы и различные приближенные представления.Пример 8: сведение уравнения в частных производных к ОДУ.Уравнение теплопроводности на отрезке с «холодильниками» на концах.

Начальнокраевая задача для температуры u( x, t ) в тонком однородном стержне имеет видграничные условияначальное условие∂u∂ 2u= a 2 2 + f ( x, t ) ,∂t∂xu (0, t ) = 0 , u(l, t ) = 0 ;u( x,0) = ϕ ( x) .(0 < x < l ) ;Рассмотрим два подхода к решению этой задачи, приводящие к ОДУ.1)Преобразование Лапласа. В результате применения преобразования Лапласа, получим+∞ОДУ для образа U ( x, p ) =∫ u ( x, t ) e− ptdt0pU ( x, p ) − ϕ ( x ) = a 2+ F ( x, p ) ,∂x 2U (0, p) = 0 , U (l, p) = 0 ,с граничными условиями+∞где F ( x, p ) =∫ f ( x, t ) e− pt∂ 2U ( x, p )(0 < x < l )dt .0Решая эту задачу и обращая преобразование Лапласа (например, по формуле Меллина)можно получить искомую функцию u ( x, t ) .Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности2)Метод Фурье.можно искать в виде ряда Фурье∞u ( x, t ) = ∑ un (t )ψ n ( x)n =1по ортонормированной системе {ψ n ( x )} собственных функций задачи Штурма-Лиувилляd 2ψ n+ λnψ n = 0 , (0 < x < l )∂x 2ψ n (0) = 0 ,ψ n (l ) = 0 .Подставив решение в указанном выше виде в исходное уравнение∞∞dun (t )d 2ψ n ( x)2x=aut+ f ( x, t )ψ()()∑∑nndtdx 2n =1n =1и учитывая определение функций ψ n ( x) , получим:∞dun ( t )ψ n ( x ) = −a 2 ∑ un ( t ) λnψ n ( x ) + f ( x, t ) .dtn =1n =1Умножим обе части последнего равенства на ψ n ( x ) и проинтегрируем по переменной xот 0 до l:∞∑∞lll∞dun (t )2()()ψxψxdx=−aun (t ) λn ∫ψ n ( x)ψ k ( x) dx + ∫ f ( x, t )ψ k ( x) dx .∑∑nkdt ∫0n =1n =100lУчитывая условие нормировки∫ψn( x)ψ k ( x) dx =0ll00⎧ 0, k ≠ n,⎨⎩ 1, k = nи обозначивϕ k = ∫ ϕ ( x )ψ k ( x ) dx , и f k ( t ) = ∫ f ( x, t )ψ k ( x) dx , для определения функций uk (t ) получим ОДУс начальным условиемduk+ a 2 λk uk = f k (t )dtuk (0) = ϕk(задача Коши).В частности, решение однородного уравнения теплопроводности (при f ( x, t ) ≡ 0 ) снулевыми граничными условиями первого рода имеет вид2⎛ π na ⎞⎟ tl ⎠−⎜2 ∞u ( x, t ) =ϕn e ⎝∑l n =1Получите эту формулу самостоятельно.⎛ π nx ⎞sin ⎜⎟.⎝ l ⎠.