Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТН.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. ВолковОсновные понятия теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. Примеры и приложения.Учебно-методическое пособиек курсу лекций «Дифференциальные уравнения»Москва – 2010Введение.Настоящее пособие является вводной частью курса лекций, читаемого на физическомфакультете МГУ.

Основной целью этого пособия является формирование языка общения состудентами, изучающими этот курс, а также иллюстрация введенных понятий на примерах иприложениях.§1.Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.Определение 1.Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в которомнеизвестная функция находится под знаком производной или дифференциала.Определение 2.Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то уравнениеназывают обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).Примеры.1)Задачу отыскания всех первообразных y( x) для заданной функции f ( x) ∈ C [ a, b]dy= f ( x) . Как известно из курса математического анализа, этоdxотрезке [ a, b ] однопараметрическое семейство решений видаможно записать в виде ОДУ y′ ≡уравнениеимеетнаy ( x, C ) = F ( x ) + C , где F ( x ) – одна из первообразных функции f ( x) , а C ∈ R – вещественныйпараметр.2)Замечательным свойством функции y ( x) = e x является равенство ее своейпроизводной, что позволяет для этой функции записать уравнение y ′ = y .

Заметим, чторешением этого ОДУ является любая функция вида y ( x) = Ce x . Проверьте это самостоятельно.3)Поскольку первая производная координаты по времени в механике называетсяскоростью, то ОДУ, описывающее прямолинейное равномерное движение со скоростью v ,•dxвыглядит как x ≡= v , а его решение, удовлетворяющее начальному условию x ( t0 ) = x0 ,dtимеет вид x ( t ) = x0 + v ( t − t0 ) .4)Аналогично, ОДУ для прямолинейного равноускоренного движения с ускорением••d 2xa записывается в форме x ≡ 2 = a , а его решение, удовлетворяющее начальным условиямdt2•a ( t − t0 )x ( t0 ) = x0 , x ( t0 ) = v0 имеет вид x ( t ) = x0 + v0 ( t − t0 ) +.25)Если в уравнении окружности x 2 + y 2 = R 2 переменные x и y считатьx = x ( t ) , y = y ( t ) параметра t ,дифференцируемыми функциямито последифференцирования обеих частей равенства получится ОДУ, описывающее семейство всехокружностей с центром в начале координат:dyxdxdyxdx + ydy = 0 ,илиили=− .x +y=0,dxydtdtЛегко проверить, что одним из решений этих уравнений является пара функций x(t ) = R sin t ,y(t ) = R cos t .

Очевидно, что это пара функций является также решением следующей системыдифференциальных уравнений:6)⎧•⎪ x = y,⎨•⎪⎩ y = − x.Уравнение малых линейных свободных колебаний в системе без затухания имеет••вид x + ω02 x = 0 . Проверьте, что его решением является функция x(t ) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t , или•••x(t ) = A sin (ω0t + ϕ ) . Убедитесь в том, что сделав замены x1 = x , x2 = x , уравнению x + ω02 x = 0можно сопоставить эквивалентную систему дифференциальных уравнений⎧•⎪ x1 = x2 ,⎨•⎪⎩ x2 = −ω02 x1.7)••Уравнение малых линейных свободных затухающих колебаний имеет вид•x + 2γ 0 x + ω02 x = 0 ,0 < γ 0 < ω0 .Проверьте,чтоегорешениемявляетсяфункцияx(t ) = e −γ 0t ( C1 cos ωt + C2 sin ωt ) , или x(t ) = Ae−γ 0t sin (ωt + ϕ ) , где ω = ω02 − γ 02 . Убедитесь в том,••••что сделав замены x1 = x , x2 = x , уравнению x + 2γ 0 x + ω02 x = 0эквивалентную систему дифференциальных уравнений⎧•⎪ x1 = x2 ,⎨•⎪⎩ x2 = −2γ 0 x2 − ω02 x1.можно сопоставитьОбщий вид ОДУ.

В нашем курсе мы, как правило, будем обозначать значения неизвестнойфункции либо буквой x , тогда независимой переменной будет t , либо буквой y , тогданезависимой переменной будет x . Мы будем также использовать сокращенные обозначения⎛ • ••⎞или J n y = y, y′, y′′,…, yx( n ) .J n x = ⎜ x, x, x, … , xt( n ) ⎟ ,⎝⎠В этом случае произвольное ОДУ с одной неизвестной функцией может быть записано в видеF t, J n x = 0 ,илиF x, J n y = 0(())()Определение 3.Порядком дифференциального уравнения называетсяпорядок входящей в него производной.Например,F x, J 2 y ≡ F ( x, y, y′, y′′ ) = 0–ОДУ 2-го порядка.(наивысший)Определение 4.Уравнением,называется ОДУ видаразрешеннымотносительно(старшейпроизводной,)y ( n ) ( x) = f x, J n −1 y .Определение 4а.

ОДУ, разрешенное относительно старшей производной, правая частькоторого не содержит явно независимой переменной, называется автономным, т.е.y ( n ) ( x) = f J n −1 y .()Определение 5.Нормальной системой ОДУ называют систему дифференциальныхуравнений первого порядка вида⎧ y′1 = f1 ( x, y1 , , yn ),⎪⎪ y′2 = f 2 ( x, y1 , , yn ),,⎨,⎪⎩⎪ y′n = f n ( x, y1 , , yn )или, в векторной форме,y′( x) = f ( x, y ) ,⎛ y1 ( x ) ⎞⎜⎟y2 ( x ) ⎟⎜,y ( x) =⎜ … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ yn ( x ) ⎠где⎛ y1′ ( x ) ⎞⎜⎟y2′ ( x ) ⎟⎜,y ′( x ) =⎜ … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ yn′ ( x ) ⎠⎛ f1 ( x, y1 , , yn ) ⎞⎜⎟f ( x, y1 , , yn ) ⎟.f ( x, y ) = ⎜ 2⎜⎟…⎜⎜⎟⎟⎝ f n ( x, y1 , , yn ) ⎠Замечание.

Если правая часть нормальной системы ОДУ не содержит явно независимойпеременной, то ее называют динамической системой.Подчеркнем характерную особенность обыкновенных дифференциальных уравнений,отличающую их от прочих уравнений, содержащих производные неизвестных функций: всенеизвестные должны быть функциями одного вещественного аргумента; все они и ихпроизводные должны входить в уравнение только в виде своих значений в одной и той жепеременной точке, которая также может фигурировать в уравнении.Примеры дифференциальных уравнений, не являющихся ОДУ:1)•x(t ) = x(2t ) ;•2)x(t ) = x(t − 1) –разностное уравнение;3)•уравнение с запаздывающим аргументом или дифференциально-tx(t ) = ∫ x(τ ) dτ –интегро-дифференциальное уравнение.t0Определение 6.Если в ДУ неизвестная функция зависит от нескольких переменных, тотакое уравнение называют дифференциальным уравнением в частных производных.Примеры дифференциальных уравнений в частных производных.1)( A ( r ) , grad u ( r ) ) = F ( r , u ) – уравнение в частных производных 1-го порядка.2)∂ 2u ( r , t )– уравнение колебаний (волновое= div ( k ( r , u, t ) grad u ( r , t ) ) + F ( r , u , t )∂t 2уравнение) – уравнение в частных производных 2-го порядка.3)4)∂u ( r , t )–уравнениедиффузии,= div ( k ( r , u, t ) grad u ( r , t ) ) + F ( r , u , t )∂t(теплопроводности, Шрёдингера и т.д.) – уравнение в частных производных 2-гопорядка.div ( k ( r , u ) grad u ( r ) ) = − F ( r , u ) – уравнение Пуассона (Лапласа, если F ≡ 0 )уравнение в частных производных 2-го порядка.–5)∂f ( r , v , t )∂f e ⎛1⎞ ∂f+ v + ⎜ E + ⎣⎡v , B ⎦⎤ ⎟ = 0∂t∂r m ⎝c⎠ ∂v– уравнение Власова-Максвелла –уравнение в частных производных 1-го порядка.§2.Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл.Определение 7.Решением ДУобращающих уравнение в тождество.называютфункцию,илисовокупностьфункций,Определение 8.Частное решение ДУ– конкретная функция, удовлетворяющаяуравнению.Например, для ОДУ y′′( x) + 4 y( x) = 0 частными решениями будут функции y1 = π sin 2 x ,y2 = 2 cos 2 x , y3 = 3sin ( 2 x + π / 4 ) , y4 = 4 cos ( 2 x − π / 6 ) и т.д.Множество решений ОДУ n -го порядка зависит от n произвольных постоянных.Например, множество решений уравнения y′ = f ( x) есть y = F ( x) + C , где F ( x) — некотораяпервообразная функции для f ( x ) , C – произвольная постоянная.Множество решений уравнения в частных производных 1-го порядка определено с точностьюдо произвольной функции.∂u ∂uНапример, множеством решений уравнения−= 0 является любая функция вида∂x ∂yu = f ( x + y ) , где f – произвольная дифференцируемая функция, например u = ( x + y ) m ,u = cos( x + y) , u = sin e x+ y и т.д.

Проверьте это самостоятельно.Определение 9.Общимрешениемдифференциальногоуравненияназываетсясовокупность всех его решений.Например, общее решение ОДУ y′′( x) + 4 y( x) = 0 может быть записано в видеy = C1 sin 2 x + C2 cos 2 x , или (что одно и то же)произвольные постоянные.y = A sin ( 2 x + ϕ ) , где C1 , C2 , A , ϕ–Определение 10.Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называютинтегрированием ОДУ.Определение 11.Еслиуравнение()Φ x, y , C = 0 ,гдеC = ( C1 , C2 ,…, Cn )–векторпроизвольных параметров, определяет все множество решений соответствующего ДУ, то егоназывают общим интегралом данного ДУ, а полученное из него параметрическое семействорешений также называют общим решением.Замечание. Определенное в 11 общее решение является более узким, по сравнению с 9,поскольку возможны еще особые решения, которые не входят в это семейство ни при какихзначениях параметров.Пример.Рассмотрим уравнение2dy= y 3 .

Проверьте, что его общим решением являетсяdx3⎛ x+C ⎞функция y = ⎜⎟ , а функция y = 0 будет особым решением. Графическая иллюстрация⎝ 3 ⎠приведена на рис. 1.3Рис. 1.2dy⎛ x+C ⎞= y3 , y = ⎜⎟ , y=0dx⎝ 3 ⎠В ряде случаев задача интегрирования ОДУ первого порядка сводится к исследованиюсоответствующей неявной функции с помощью первого интеграла.Определение 12.Функция F ( x, y ) , определенная в области G ⊂ R 2 и не равная в нейпостоянной функции, называется первым интегралом ОДУ первого порядка, если для любогорешения y = ϕ ( x ) этого уравнения, график которого лежит в области G , и для любыхx ∈ ( a, b) существует такая постоянная C такая, что F ( x, ϕ ( x )) = C .Определение первого интеграла естественным образом переносится на системы,например, на динамические системы.Определение 13.Функция V ( x ), {V : R n → R} , определенная и непрерывная в областиD ⊂ R n и не равная постоянной, называется первым интегралом динамической системыdx= f (x)dtв области D , если для любого решения x = ϕ (t ) этой системы существует постоянная C такая,что V ( x (t ) ) = C для всех t ∈ ( a, b) .Аналогично формулируется определение первого интеграла для уравнения n − гопорядка.Определение 14.()Если для любого решения y = ϕ ( x ) ОДУ n -го порядка существует()(функция F x, J ( p ) y такая, что F x, J ( p )ϕ ( x) = const при всех x , то такая функция F x, J ( p ) yназывается первым интегралом ОДУ.)В физических задачах первыми интегралами могут быть энергия, импульс, моментинерции, масса, заряд и т.д.

Некоторые примеры даны в таблице.Уравнениеy′ = f ( x)y′ = −••xyx+ ω x = 020Общий интегралЧастноерешениеОбщее решениеxПервыйинтегралF = consty − ∫ f ( x ) dx − C = 0y = ∫ f ( x ) dx + Cy = ∫ f (ξ )dξy − ∫ f ( x ) dxy 2 + x2 − C = 0y 2 + x2 = Cy 2 + x2 = 1y2 + x2x = cos ω0t⎛•⎞2 2⎜ x ⎟ + ω0 x⎝ ⎠x0x − C1 cos ω0t + C2 sin ω0t = 0 x = C1 cos ω0t + C2 sin ω0tили x − A sin (ω0t + ϕ ) = 0или x = A sin (ω0t + ϕ )2Об интегрировании ОДУ в квадратурах.Выражение общего решения или полногоинтеграла через элементарные функции и интегралы от них (берущихся или не берущихся вэлементарных функциях) называют интегрированием данного ОДУ в квадратурах.Интегрирование в квадратурах допускают лишь уравнения некоторых простейших типов.Большинство же ОДУ можно решать только приближенно или исследовать их качественнымиметодами, то есть методами, позволяющими выяснять свойства решений без явного ихотыскания.