PDF - лекции, страница 7
Описание файла
PDF-файл из архива "PDF - лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальная геометрия" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
³±²¼ P 2 M. »¡¥°¥¬ ¯°®¨§¢®«¼³¾ ¥¢»°®¦¤¥³¾ ¬ ²°¨¶³° §¬¥° 2 2, ¨ § ¤ ¤¨¬ ± ¥¥ ¯®¬®¹¼¾ «¨¥©®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ª ± ²¥«¼®£® ¯°®±²° ±²¢ TP M, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ª ®¨·¥±ª¨© ¡ §¨± (ru1 ; ru2 ) ¢ ¡ §¨±P(1; 2 ), ¨¬¥¾¹¨© ¢¨¤ = i ci rui , = 1; 2.³±²¼ (e1 ; e2) | ±² ¤ °²»© ¡ §¨± ¢ ¯«®±ª®±²¨ R2 . ±±¬®²°¨¬2 ±¥¡¿ ¨ ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ¡ «¨¥©®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ C, ®²®¡° ¦ ¾¹¥¥ RP§¨±»¥ ¢¥ª²®°» ei ¢ ¡ §¨±»¥ ¢¥ª²®°» e = i ciei .
®£¤ ª®®°¤¨ ²»u ¯°®±²° ±²¢ R2, ¯®°®¦¤¥»¥ ¡ §¨±®¬ e , ±¢¿§ » ± ª®®°¤¨ ² ¬¨ uiPii² ª: u = cu .®±²°®¨¬ ®¢³¾ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¾ r : ! R3 ¯®¢¥°µ®±²¨ M, ¯®«®¦¨¢ = C ;1() ¨ r = r C. ®£¤ ¬ ²°¨¶ ª®¡¨, ± ¯®¬®¹¼¾ ª®²®°®© ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ª®®°¤¨ ² ´³¤ ¬¥² «¼»µ ´®°¬ ¯®¢¥°µ®±²¨,³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥)34±®±² ¢«¥ ¨§ · ±²»µ ¯°®¨§¢®¤»µ @ui =@u ¨ ° ¢ C. ² ª, ¬» ¤®ª § «¨±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².°¥¤«®¦¥¨¥ 5.1 ¾¡®¥ «¨¥©®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ª ± ²¥«¼®£® ¯°®±²° -±²¢ TP M ¯®¢¥°µ®±²¨ M ¬®¦® § ¤ ²¼ § ¬¥®© ª®®°¤¨ ² ¯®¢¥°µ®±²¨ M , ².¥. § ¬¥®© ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°¥¤±² ¢«¥¨¿ ½²®© ¯®¢¥°µ®±²¨.
· ±²®±²¨, ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨ P 2 M ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» M , ·²® ¢ ¨µ ¨¤³¶¨°®¢ ¿ ¬¥²°¨ª , ¢»·¨±«¥ ¿ ¢ ²®·ª¥ P ,§ ¤ ¥²±¿ ¥¤¨¨·®© ¬ ²°¨¶¥©, ¢²®° ¿ ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ´®°¬ ¢ ½²®©²®·ª¥ | ¤¨ £® «¼®© ¬ ²°¨¶¥©.°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥° ª®®°¤¨ ², · ±²® ¡»¢ ¾¹¨© ¯®«¥§»¬ ¢ ° §»µ ¢»·¨±«¥¨¿µ. ³±²¼ M | ¥ª®²®° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼, ¨ P 2 M.
¤ ¤¨¬ ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¢ ®ª°¥±²®±²¨ ²®·ª¨ P ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª ´³ª¶¨¨ z = f(x; y), ¢»¡° ¢ ¢ ª ·¥±²¢¥ ª®®°¤¨ ²®© ¯«®±ª®±²¨ XY ª ± ²¥«¼³¾ ¯«®±ª®±²¼ TP M,¨, ¯®½²®¬³, ¢ ª ·¥±²¢¥ ®±¨ z | ¯°¿¬³¾, ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°³¾ ª TP M. ®£¤ ¢ ½²¨µ ª®®°¤¨ ² µ ²®·ª P ° ¢ (0; 0; 0), ¨ £° ´¨ª ´³ª¶¨¨ f ª ± ¥²±¿¯«®±ª®±²¨ XY ¢ ²®·ª¥ P, ¯®½²®¬³0) = fy (0; 0) = 0. ±¯®¬¨ ¿, ·²® 1 +fxf(0;2 fx fy ¬ ²°¨¶ ¬¥²°¨ª¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ fx fyx 1 + f 2 , ¢¨¤¨¬, ·²® ¢ ²®·ª¥ Py½² ¬ ²°¨¶ | ¥¤¨¨· ¿.
»·¨±«¨¬ ¢²®°³¾ ´³¤ ¬¥² «¼³¾ ´®°¬³, ² ª¦¥ ±°¥¤¾¾ ¨ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§» ¢ ²®·ª¥ P . ¬¥¥¬f f f f xx xy =xx xy ;Q= q 1fffxyyyxy fyy221 + fx + fy2:H = fxx + fyy ; K = fxx fyy ; fxy®§¨ª ¥² ¥±²¥±²¢¥»© ¢®¯°®±: ¬®¦® «¨ ² ª ¯®¤®¡° ²¼ ª®®°¤¨ ²» ¯®¢¥°µ®±²¨ M, ·²®¡» ¨¤³¶¨°®¢ ¿ ¬¥²°¨ª § ¤ ¢ « ±¼ ¥¤¨¨·®©¬ ²°¨¶¥© ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ? ª §»¢ ¥²±¿, ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ®²¢¥² ®²°¨¶ ²¥«¥. ±«¥¤³¾¹¥¬ ±¥¬¥±²°¥ ¬» ¢¢¥¤¥¬ ¢ ° ±±¬®²°¥¨¥ ² ª §»¢ ¥¬»©²¥§®° ¨¬ , ¨±±«¥¤³¿ ª®²®°»© ¬®¦® ¯®¿²¼, ª®£¤ ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ª®®°¤¨ ²» (±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ² ª¨µ ª®®°¤¨ ² ° ¢®±¨«¼® § ³«¥¨¾ ²¥§®° ¨¬ ). ¥©· ± ¦¥ ¬» ¯®ª ¦¥¬, ·²® ¢±¥-² ª¨ ¢¨¤ ¬¥²°¨ª¨ ¬®¦®±³¹¥±²¢¥® ³¯°®±²¨²¼, ¢»¡¨° ¿ ¯®¤µ®¤¿¹¨¥ ª®®°¤¨ ²».
§®¢¥¬ ª®®°¤¨ ²» (u; v) ¯®¢¥°µ®±²¨ M ª®´®°¬»¬¨ ¨«¨ ¨§®²¥°¬¨·¥±ª¨¬¨, ¥±«¨¢ ¨µ ¨¤³¶¨°®¢ ¿ ¬¥²°¨ª ¨¬¥¥² ¢¨¤ ds2 = (u; v)(du2 + dv2 ), £¤¥(u; v) | ¥ª®²®° ¿ ¯®«®¦¨²¥«¼ ¿ ´³ª¶¨¿. «¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ² ¬»¯°¨¢®¤¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ .¥®°¥¬ 5.1 ( ±³¹¥±²¢®¢ ¨¨ ª®´®°¬»µ ª®®°¤¨ ²) «¾¡®©M ¬®¦® ¢¢¥±²¨ ª®´®°¬»¥ ª®®°¤¨ ²».¨¦¥ ¬» ¯®ª ¦¥¬, ª ª ¬®¦® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ½²³ ²¥®°¥¬³, ¯°¨¬¥°¥¨±±«¥¤®¢ ¨¿ ¢ ¦®£® ª« ±± ¤¢³¬¥°»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©, §»¢ ¥¬»µ ¬¨¨¬ «¼»¬¨ ¯®¢¥°µ®±²¿¬¨ ¨ ¯®¢¥°µ®±²¿¬¨ ¯®±²®¿®© ª°¨¢¨§».¯®¢¥°µ®±²¨³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥)5.135¨¨¬ «¼»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¨ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¯®±²®¿®© ª°¨¢¨§» ·¥¬ ± ®¯°¥¤¥«¥¨¿.¯°¥¤¥«¥¨¥.
®¢¥°µ®±²¼ M §»¢ ¥²±¿ ¬¨¨¬ «¼®©, ¥±«¨ ¥¥ ±°¥¤¿¿ª°¨¢¨§ ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢ ³«¾. ®¢¥°µ®±²¼ M §»¢ ¥²±¿ ¯®¢¥°µ®±²¼¾ ¯®±²®¿®© ª°¨¢¨§», ¥±«¨ ¥¥ ±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ¯®±²®¿ .°¨¢¥¤¥¬ ®¤¨ ´¨§¨·¥±ª¨© °¥§³«¼² ², ª®²®°»© ®¡º¿±¿¥², ¯®·¥¬³ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¯®±²®¿®© ª°¨¢¨§» ¨ ¬¨¨¬ «¼»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¸¨°®ª® ° ±¯°®±²° ¥» ¢ ¯°¨°®¤¥.¥®°¥¬ 5.2 (³ ±±®) °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® °¥£³«¿° ¿ ¤¢³¬¥° ¿ ¯®¢¥°µ-®±²¼ M ¢ R3 ¿¢«¿¥²±¿ £° ¨¶¥© ° §¤¥« ¤¢³µ ®¤®°®¤»µ ¨§®²°®¯»µ±°¥¤, µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ° ¢®¢¥±¨¨. ³±²¼ p1 ¨ p2 | ¤ ¢«¥¨¿ ¢ ±°¥¤ µ. ®£¤ ±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ H ¯®¢¥°µ®±²¨ M ¯®±²®¿ ¨ ° ¢ h(p1 ; p2), £¤¥¯®±²®¿ ¿ 1=h §»¢ ¥²±¿ ª®½´´¨¶¨¥²®¬ ¯®¢¥°µ®±²®£® ²¿¦¥¨¿, p1 ; p2 | ° §®±²¼¾ ¤ ¢«¥¨© ¢ ±°¥¤ µ (±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ H ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ²®© ®°¬ «¨, ª®²®° ¿ ¯° ¢«¥ ¢ ±²®°®³ ±°¥¤»± ¤ ¢«¥¨¥¬ p1). ±²»¬¨ ±«³· ¿¬¨ ¯®¢¥°µ®±²¥© ° §¤¥« ¤¢³µ ®¤®°®¤»µ ±°¥¤ ¿¢«¿¾²±¿ ¬»«¼»¥ ¯«¥ª¨ (±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ° ¢ ³«¾) ¨ ¬»«¼»¥ ¯³§»°¨(±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ¯®±²®¿ ). ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥°³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¢ R3, § ¤ ³¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ¢ ¢¨¤¥ x = r(u; v), £¤¥ x = (x1 ; x2; x3) | ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢R3.
°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ª®®°¤¨ ²» (u; v) ¿¢«¿¾²±¿ ª®´®°¬»¬¨ (¯® ²¥®°¥¬¥ 5.1, ² ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ¢±¥£¤ ¬®¦® ¢»¡° ²¼), ².¥. ¨¤³¶¨°®¢ ¿¬¥²°¨ª ds2 ¢ ª®®°¤¨ ² µ (u; v) ¨¬¥¥² ¢¨¤: ds2 = (u; v)(du2 + dv2), £¤¥(u; v) | ¥ª®²®° ¿ ¯®«®¦¨²¥«¼ ¿ ´³ª¶¨¿.¥®°¥¬ 5.3 ³±²¼ ¤¢³¬¥° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¢ R3 § ¤ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ¢¢¨¤¥ r(u; v), ¯°¨·¥¬ ª®®°¤¨ ²» (u; v) | ª®´®°¬». ³±²¼ n =[ru; rv ]=[ru; rv ] | ¥¤¨¨· ¿ ®°¬ «¼ ª ¯®¢¥°µ®±²¨ M . ®£¤ @ 2 r + @ 2 r = r + r = Hn;r = @uuu vv2 @v2£¤¥ H | ±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ¯®¢¥°µ®±²¨ M , ¢»·¨±«¥ ¿ ¯® ®²®¸¥¨¾ ªn. · ±²®±²¨, « ¯« ±¨ r ° ¤¨³±-¢¥ª²®° r ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ M .®ª § ²¥«¼±²¢®.
®ª ¦¥¬ ± · « , ·²® r?M. ¥©±²¢¨²¥«¼®,hr; rui = hruu + rvv ; rui = hruu; rui + hrvv ; rui =1 hr ; r i + hr ; r i ; hr ; r i = 1 + 0 ; 1 hr ; r i = 1 ; 1 = 0:2 u u u v u v v uv 2 u2 v vu 2 u 2 u³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥)36 «®£¨·® ¯®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® hr; rvi = 0.»·¨±«¨¬ ²¥¯¥°¼ hr; ni. ¬¥¥¬hr; ni = hruu; ni + hrvv ; ni = tr Q: ¤°³£®© ±²®°®», G;1Q = 1 Q, ¯®½²®¬³ H = tr(G;1 Q) = tr Q=, ®²ª³¤ hr; ni = H ) r = Hn;·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ¤¨³±-¢¥ª²®° r(u; v) §®¢¥¬ £ °¬®¨·¥±ª¨¬, ¥±«¨@ 2 r + @ 2 r = 0:r = @u2 @v2°¨¢¥¤¥¬ ¢ ¦®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬».«¥¤±²¢¨¥ 5.1 ¢³¬¥° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¢ R3, § ¤ ¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ¢ ¢¨¤¥ r(u; v), £¤¥ (u; v) | ª®´®°¬»¥ ª®®°¤¨ ²», ¿¢«¿¥²±¿ ¬¨¨¬ «¼®©, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ° ¤¨³±-¢¥ª²®° r(u; v) | £ °¬®¨·¥±ª¨©. ±«¨ ¯®¢¥°µ®±²¼ § ¤ £° ´¨ª®¬ ´³ª¶¨¨ z = f(x; y), ²® ³±«®¢¨¥¥¥ ¬¨¨¬ «¼®±²¨, ¢ ±¨«³ ¯°®¤¥« »µ ° ¥¥ ¿¢»µ ¢»·¨±«¥¨© ±°¥¤¨©ª°¨¢¨§», § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ² ª:(1 + fy2 )fxx ; 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0:²® ³° ¢¥¨¥, ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¥¥ £° ¦³, §»¢ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ ¬¨¨¬ «¼»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©.
²¥°¥±® ®²¬¥²¨²¼, ·²® µ®²¿ ¤«¿ ¬ «»µ ®¡« ±²¥© ¯«®±ª®±²¨ XY ±³¹¥±²¢³¥² ¬®£® ° §»µ °¥¸¥¨© ½²®£® ³° ¢¥¨¿,°¥¸¥¨©, ®¯°¥¤¥«¥»µ ¢±¥© ¯«®±ª®±²¨, ¥ ² ª ³¦ ¬®£®. ¤¨¬ ¨§®·¥¢¨¤»µ °¥¸¥¨© ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼ ¿ «¨¥© ¿ ´³ª¶¨¿. ª §»¢ ¥²±¿, ¤°³£¨µ ² ª¨µ °¥¸¥¨© ¥². °¨¢¥¤¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ±«¥¤³¾¹³¾²¥®°¥¬³, ¯°¨ ¤«¥¦ ¹³¾ ¥°¸²¥©³.¥®°¥¬ 5.4 (¥°¸²¥©) ±«¨ f(x; y) | °¥¸¥¨¥ ³° ¢¥¨¿ ¬¨¨¬ «¼»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©, ®¯°¥¤¥«¥®¥ ¢±¥© ¯«®±ª®±²¨ XY , ²® ´³ª¶¨¿ f |«¨¥© .°¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» ¬¨¨¬ «¼»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©. ±±¬®²°¨¬ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¢° ¹¥¨¿, §»¢ ¥¬³¾ ª ²¥®¨¤®¬, ¯®«³· ¾¹³¾±¿ ¢° ¹¥¨¥¬ ¢®ª°³£ ®±¨ z £° ´¨ª ´³ª¶¨¨ x = a ch(z=a + c), £¤¥a = const > 0 ¨ c = const.
²® | ¯®¢¥°µ®±²¼ ¢° ¹¥¨¿ ª°¨¢®© ¯°®¢¨± ¨¿ ²¿¦¥«®© ¶¥¯¨. ¥¯®±°¥¤±²¢¥»¥ ¢»·¨±«¥¨¿ ¯®ª §»¢ ¾², ·²®±°¥¤¿¿ ª°¨¢¨§ ª ²¥®¨¤ ° ¢ ³«¾ (¯°®¢¥°¼²¥), ².¥. ª ²¥®¨¤ ¿¢«¿¥²±¿ ¬¨¨¬ «¼®© ¯®¢¥°µ®±²¼¾. ª §»¢ ¥²±¿, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¨ ®¡° ²®¥³²¢¥°¦¤¥¨¥.³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥)37M | ¯®¢¥°µ®±²¼ ¢° ¹¥¨¿ ¢®ª°³£ ®±¨ z £° ´¨ª ´³ª¶¨¨ x = f(z) > 0. (´³ª¶¨¿ f ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¥®© ¥ª®²®°®¬ ®²°¥§ª¥ ®±¨ z). ®£¤ ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¬¨¨¬ «¼ , ¥±«¨ ¨²®«¼ª® ¥±«¨ f(z) = a ch(z=a + c), £¤¥ a > 0 ¨ c | ¥ª®²®°»¥ ¯®±²®¿»¥,².¥. M | ª ²¥®¨¤.°¥¤«®¦¥¨¥ 5.2 ³±²¼ ¹¥ ®¤¨¬ ¯°¨¬¥°®¬ ¬¨¨¬ «¼»µ ¯®¢¥°µ®±²¥© ¿¢«¿¥²±¿ £¥«¨ª®¨¤, § ¬¥² ¥¬»© ¯°¿¬®© «¨¨¥©, ª®²®° ¿ ° ¢®¬¥°® ¤¢¨¦¥²±¿ ¢¤®«¼ ¥ª®²®°®©®±¨ ¨ ¢° ¹ ¥²±¿ ¢®ª°³£ ¥¥.
°¨ ±¯¥¶¨ «¼®¬ ¢»¡®°¥ ª®®°¤¨ ² ¢ R3,£¥«¨ª®¨¤ ¬®¦® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥8><x = u cos v;y = u sin v;>:z = av;£¤¥ a | ¥ª®²®° ¿ ¥³«¥¢ ¿ ¯®±²®¿ ¿ (¯°®¢¥°¼²¥, ·²® £¥«¨ª®¨¤ ¿¢«¿¥²±¿¬¨¨¬ «¼®© ¯®¢¥°µ®±²¼¾). ¯®¬¨¬, ·²® «¨¥©· ²®© ¯®¢¥°µ®±²¼¾ §»¢ ¥²±¿ ¯®¢¥°µ®±²¼, § ¬¥² ¥¬ ¿ ¯°¿¬®© «¨¨¥© ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼®¬ ¥¥ ¤¢¨¦¥¨¨.
ª §»¢ ¥²±¿,¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².°¥¤«®¦¥¨¥ 5.3 ( ² « ) ¨¥©· ² ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¬¨¨¬ «¼ , ¥±«¨¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ® ¿¢«¿¥²±¿ ¨«¨ ¯«®±ª®±²¼¾, ¨«¨ £¥«¨ª®¨¤®¬.³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬» ¯®¢¥°µ®±²¨ (¯°®¤®«¦¥¨¥)38®²°®«¼ ¿ ° ¡®² 1) »·¨±«¨²¼ ª°¨¢¨§³ ¯«®±ª®© ª°¨¢®© (t).2) »·¨±«¨²¼ ª°¨¢¨§³, ª°³·¥¨¥ ¨ °¥¯¥° °¥¥ ¯°®±²° ±²¢¥®© ª°¨¢®© (t).3) «¿ ¯®¢¥°µ®±²¨ r(u; v) ¢»·¨±«¨²¼ ¯¥°¢³¾ ¨ ¢²®°³¾ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ´®°¬», £« ¢»¥ ª°¨¢¨§» ¨ £« ¢»¥ ¯° ¢«¥¨¿, ±°¥¤¾¾ ¨£ ³±±®¢» ª°¨¢¨§».4) «¿ ª°¨¢»µ 1 = (1+t; 1+t) ¨ 2 = (1;t; 1+t), «¥¦ ¹¨µ ¯®¢¥°µ®±²¨¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ ·¨ ¨ § ¤ »µ ¢ ª®®°¤¨ ² µ (u; v), ¢»·¨±«¨²¼³£®« ¢ ¨µ ²®·ª¥ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ P = (1; 1).¥¬¼ ¢ °¨ ²®¢:«®±ª¨¥ ª°¨¢»¥ ¨§ ¯¥°¢®© § ¤ ·¨ ¯®«³· ¾²±¿ ¨§ ¯°®±²° ±²¢¥»µª°¨¢»µ ¢²®°®© § ¤ ·¨ ®£° ¨·¥¨¥¬ ¯«®±ª®±²¼, ²¿³²³¾ ¯¥°¢»¥¤¢¥ ª®®°¤¨ ²».°¨¢»¥ ¨§ ¢²®°®© § ¤ ·¨:p1) (et ; e;t ; t 2),2) (et sin t; et cos t; et ),3) (3t ; t3 ; 3t2; 3t + t3 ),4) (cos3 t; sin3 t; cos 2t),5) (t ; t3 =3; ;t + t3=3; t2 ),p6) (t; 1=t; 2 ln t),7) (a cos 2t; bt; a sin 2t).®¢¥°µ®±²¨ ¨§ ²°¥²¼¥© § ¤ ·¨:1) (u cos v; u sinv; av),2) (cos v ; u sin v; sin v + u cos v; u + v),;3) a sin u cos v; sin u sin v; ln tg(u=2) + cos u ,4)5)6)7)pp;pu2 + a2 cos v; u2 + a2 sin v; a ln u + u2 + a2 ,(u ; u3=3 + uv2 ; ;v ; u2v + v3 =3; u2 ; v2 ),(eu cos v; eu sin v; av),;(a + b cos u) cos v; b sin u; (a + b cos u) sin v.°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»¥ª¶¨¿ 6.39°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»»¸¥ ¬» ³¦¥ ¢¨¤¥«¨, ª ª ¢»¡®° ±¯¥¶¨ «¼»µ ª®®°¤¨ ² ¯®¢¥°µ®±²¨¯®§¢®«¿¥² °¥¸ ²¼ ²¥ ¨«¨ ¨»¥ § ¤ ·¨.
±²®¿¹¥© «¥ª¶¨¨ ¬» ° §¡¥°¥¬ ®¡¹³¾ ²¥®°¨¾ ª®®°¤¨ ², · ±²»¬ ±«³· ¥¬ ª®²®°»µ ¿¢«¿¾²±¿ ª®®°¤¨ ²» ¯®¢¥°µ®±²¨. ±«³· ¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯°®±²° ±²¢ , ª« ±± ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µª®®°¤¨ ² ±³¹¥±²¢¥® ¸¨°¥ ±² ¤ °²»µ ¥¢ª«¨¤®¢»µ ª®®°¤¨ ². ²®¡»®²«¨· ²¼ ¯¥°¢»¥ ®² ¯®±«¥¤¨µ, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»¥ ª®®°¤¨ ²» ¬» ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ª°¨¢®«¨¥©»¬¨, ¯®¤·¥°ª¨¢ ¿ ²¥¬ ± ¬»¬, ·²® ª®®°¤¨ ²»¥ «¨¨¨¬®£³², ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ®²«¨· ²¼±¿ ®² ¯°¿¬»µ.¡¹ ¿ ¨¤¥¿, «¥¦ ¹ ¿ ¢ ®±®¢¥ ¯®¿²¨¿ ª®®°¤¨ ², ±®±²®¨² ¢ \®¶¨´°®¢ª¥" ²®·¥ª ¯°®±²° ±²¢ .