lect5wav (Лекции Огурцова (PDF)), страница 4

Принцип суперпозиции.Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн,линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения)волн:При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из нихраспространяется так, как будто другие волны отсутствуют, арезультирующее смещение частицы среды в любой момент времени равногеометрическойсуммесмещений,которыеполучаютчастицы,участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.43.

Групповая скорость.Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммыодновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммыгармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихсядруг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченнуюобласть пространства.За скорость распространения волнового пакета принимают скоростьперемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).Групповой скоростью u называется скорость движения группы волн,образующих в каждый момент времени локализованный в пространствеволновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).Ее величинаu=d x dω=.dt d kСвязь групповой и фазовой скоростейu = υ−λdυ.dλКолебания и волны5–225–11Следовательно, функция ξ( x, t ) является не только периодическойфункцией времени, но и периодической функцией координаты x .В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдольположительного направления оси x в среде, не поглощающей энергию, имеетвид⎡ ⎛⎤x⎞ξ( x, t ) = A cos ⎢ω ⎜ t − ⎟ + ϕ0 ⎥ ,υ⎠⎣ ⎝⎦здесь: A = const – амплитуда волны,ω – циклическая частота,ϕ0 – начальная фаза волны,18.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебанийодинаковой частоты.Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты ω , происходят вовзаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y . Для простотывыберем начало отсчета так, чтобы начальная фаза первого колебания быларавна нулюx = A cos ωt ,y = B cos(ωt + α) ,где α − разность фаз колебаний, а A и B – их амплитуды. Уравнениетраектории результирующего колебания (исключая t из уравнений) естьуравнение эллипса, произвольно расположенного относительно координатныхосей,x⎞⎛ω ⎜ t − ⎟ + ϕ0 – фаза плоской волны.⎝ υ⎠Если определить волновое число2π 2π ωk=== ,λ υT υx 2 2 xyy2−cos α + 2 = sin 2 α ,2ABABи такие колебания называются эллиптически поляризованными.19. Линейно поляризованные колебания.ξ( x, t ) = A cos(ω t − kx + ϕ0 )или в экспоненциальной формеξ( x, t ) = A ei ( ωt −kx +ϕ0 ) ,где физический смысл имеет только вещественная часть.В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся внаправлении s имеет видξ(r , t ) = A exp[i (ω t − krs + ϕ0 )] .39.

Фазовая скорость.Результирующее2dxСкорость υ =в этих уравнениях есть скорость распространения фазыdtволны и ее называют фазовой скоростью.Действительно, пусть в волновом процессе фаза постояннаωt − kx + ϕ0 = const ,следовательно,dx ω= = υ.dt k40. Уравнение сферической волны.ξ( r , t ) =Acos(ω t − kr + ϕ0 ) ,rгде r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием позаконуЕсли разность фаз равнатоэллипс вырождается в отрезокпрямойy = ±BAx,где знак плюс соответствуетнулю и четным значениям m , азнакминус–нечетнымзначениям m .колебание является гармоническим колебанием сα = mπ (m = 0, ± 1, ± 2,…) ,то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде1.r2частотой ω и амплитудойA + B и совершается вдоль прямой,составляющей с осью x угол ϕ = arctg( B A cos mπ) .

Такие колебанияназываются линейно поляризованными колебаниями.20. Циркулярно поляризованные колебания.Еслиразностьфазπα = (2m + 1) ,2где(m = 0, ± 1, ± 2,…) , то уравнение траекторииx2 y2+= 1.A2 B 2Это уравнение эллипса, оси которого совпадают сосями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам A и B .Если A = B , то эллипс вырождается в окружность, и такие колебанияназываютсяциркулярнополяризованнымииликолебаниями,поляризованными по кругу.21. Фигуры Лиссажу.Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическимичастотам pω и qω , где q и p – целые числаx = A cos( pωt ), y = B cos(qωt + α) ,А.Н.Огурцов. Физика для студентовКолебания и волны5–125–21то значения координат x и y одновременно повторяются через одинаковыепромежутки времени T0 равные наименьшему общему кратному периодовT1 =2π2πи T2 =колебаний вдоль осей x и y .

Траектории замкнутыхpωqωкривых, которые получаются в этих случаях, называются фигурами Лиссажу.Вид этих кривых зависит отсоотношения амплитуд, частоти разности фаз складываемыхколебаний. На рисунке показанвид фигур Лиссажу при трехразличных значениях отношения (2:1, 3:2, 4:3) и разностифаз α =π.2Затухающие и вынужденные колебания22. Затухающие колебания.Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебанийс течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.Затухание механических колебаний вызывается главным образомтрением.

Затухание в электрических колебательных системах вызываетсятепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а такжетепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствиеэлектрического и магнитного гистерезиса.Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательныхсистем.Система называется линейной, если параметры, характеризующие тефизические свойства системы, которые существенны для рассматриваемогопроцесса, не изменяются в ходе процесса.Линейные системы описываются линейными дифференциальнымиуравнениями.Различные по своей природе линейные системы описываютсяодинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход кизучению колебаний различной физической природы.23. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системыДифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы имеет видd2 sds+ 2δ + ω02 s = 0 ,2dtdtгде s − колеблющаяся величина,δ = const – коэффициент затухания,ω0 − циклическая частота свободных незатухающих колебаний той жеколебательной системы (при δ = 0 ).А.Н.Огурцов.

Физика для студентовраспространяетсяколебаний T :1) график волны представляет зависимостьсмещения всех частиц среды от расстояниядо источника колебаний в данный моментвремени ξ = ξ( x, t = const ) ;2) графикгармоническогоколебанияэтозависимость смещения данной частицы отвремени ξ = ξ( x = const , t ) .Длиной волны λ называется расстояниемежду ближайшими частицами, колеблющимися водинаковой фазе.Длина волны равна расстоянию, на котороегармоническая волна за время, равное периодуλ = υTилиυ = λn ,где n – частота колебаний, υ – скорость распространения волны.Волновым фронтом называется геометрическое место точек, докоторых доходят колебания к определенному моменту времени t .Волновой поверхностью называется геометрическое место точек,колеблющихся в одинаковой фазе.Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, аволновой фронт в каждый момент времени – один.37.

Бегущие волны.Бегущими волнами называются волны, которые переносят впространстве энергию.Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотностипотока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает снаправлением распространения энергии, а его модуль равен энергии,переносимой волной за единицу времени через единичную площадку,расположенную перпендикулярно волне.Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическаяволны.Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляютсовокупность плоскостей, параллельных друг другу.Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеютвид концентрических сфер.

Центры этих сфер называются центром волны.38. Уравнение плоской волны.Пусть точки, которые расположены в плоскости x = 0 , колеблются позакону ξ(0, t ) = A cos ω t . И пусть υ – скорость распространения колебаний вданной среде.Колебания частицы B среды (см. рисунок), расположенной на расстоянииx от источника колебаний O , будут происходить по тому же закону.

Но,поскольку для прохождения волной расстояния x требуется время τ = x υ , тоее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ .Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x , имеет видx⎞⎛ξ( x, t ) = A cos ω ⎜ t − ⎟ .⎝ υ⎠Колебания и волны5–205–13Если в цепи отсутствует реактивное сопротивление ( X = 0) , то cos ϕ = 1 иP = IUЕсли цепь содержит только реактивное сопротивление2( R = 0) , тоs = A0 e −δt cos(ωt + ϕ) ,cos ϕ = 0 и P = 0 , какими бы большими ни были ток и напряжение.где:A = A0 e −δt – амплитуда зату-Волны в упругой среде.34.

Волновой процесс.Если возбудить колебания в какой-либо точке среды (твердой, жидкой илигазообразной) то, вследствие взаимодействия между частицами среды, этиколебания будут передаваться от одной точки среды к другой со скоростью,зависящей от свойств среды.При рассмотрении колебаний не учитывается детальное строение среды;среда рассматривается как сплошная, непрерывно распределенная впространстве и обладающая упругими свойствами.Среда называется линейной, если ее свойства не изменяются поддействием возмущений, создаваемых колебаниями.Волновым процессом или волной – называется процесс распространения колебаний в сплошной среде.При распространении волны частицы колеблются около своих положенийравновесия, а не перемещаются вслед за волной.Вместе с волной от частицы к частице передается только состояниеколебательного движения и его энергия.Основным свойством всех волн является перенос энергии безпереноса вещества.35.

Упругие волны.Упругими (или механическими) волнами называются механическиевозмущения, распространяющиеся в упругой среде.Продольная волна – волна, в которой частицы среды колеблются внаправлении распространения волны.Поперечная волна – волна, в которой частицы среды колеблются вплоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникаютупругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких игазообразных телах).Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которойвозникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).36.