lect5wav (Лекции Огурцова (PDF)), страница 2

Пружинный маятник.Пружинный маятник – это груз массой m , подвешенный на абсолютноупругой пружине и совершающий гармонические колебания под действиемупругой силыF = −kx ,где k − жесткость пружины.Уравнение движения маятникаВолновым уравнениям∂2Ey∂x 221 ∂ Ey,= 2υ ∂t 221 ∂ Hz∂ Hz= 2∂x 2υ ∂t 2удовлетворяют плоские монохроматические электромагнитные волны,описываемые уравнениями E y = E0 cos(ωt − kx + ϕ) , H z = H 0 cos(ωt − kx + ϕ) ,где E0 и H 0 – амплитуды напряженностей электрического и магнитного полейволны, ω – круговая частота волны, k = ω υ – волновое число, ϕ – начальнаяфаза колебаний (одинаковая, поскольку колебания E и H происходят содинаковой фазой).49. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе разделадвух диэлектрических сред.Пусть на границу раздела двух диэлектриков падает плоскаяэлектромагнитная волна.

В таком случае, как показывает опыт, от границыраздела диэлектриков будут распространяться две плоские волны –отраженная и преломленная.Запишем выражения для падающей (i ) , отраженной ( r ) и преломленной ( d ) волн в комплексной экспоненциальной формеEi exp[i (ωit − ki rsi )], ki =mx = −kx2ωi;υiEr exp[i (ωr t − kr rsr )], kr =ωr;υrEd exp[i (ωd t − kd rsd )], kd =ωd.υdЗдесь r – радиус-вектор, ω и υ – частота и скорости волн, E –амплитуды волн, s – единичные векторы, показывающие направлениераспространения соответствующих волн. Условие s r = const определяетплоскость, перпендикулярную к s , поэтому данная система выраженийописывает плоские волны, распространяющиеся вдоль векторов si , s r , s d .Граничные условия для тангенциальных (τ ) компонент векторовнапряженности электрического и магнитного поля в любой точке границыраздела сред (1) и (2) имеют вид (см. 4–п.45)Eτ1 = Eτ 2 , H τ1 = H τ 2 .А.Н.Огурцов.

Физика для студентовСравниваяэтоуравнениеkx = 0.mx+илисуравнениемдвижения2гармонического осциллятора s + ω s = 0 , мы видим, чтопружинный маятник совершает колебания по законуx = A ⋅ cos(ωt + ϕ) с циклической частотой и периодомω=k,mT = 2πm.kПотенциальная энергия пружинного маятникаU=mω2 x 2 kx 2.=22Если на маятник действует сила трения, пропорциональная скоростиFтр = −rx , где r − коэффициент сопротивления, то колебания маятника будутзатухающими и закон движения маятника будет иметь вид mx = − kx − rx илиrkx+ x+ x =0.mm10.

Математический маятник.Математическим маятником называется идеализированная система,состоящая из материальной точки массой m , подвешенной наневесомой нерастяжимой нити длинной l , и колеблющейсяпод действием силы тяжести без трения.Хорошим приближением математического маятникаявляется небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкойдлинной нити.При малых углах отклонения α можно считать x ≈ l α .Возвращающая силаxF = P sin α ≈ mg α = mg .lУравнение движенияmx = − F = −mgxlКолебания и волныилиx+gx = 0.l5–65–27Следовательно, движение математического маятника описываетсядифференциальным уравнением гармонических колебаний, то есть происходитпо закону x = A ⋅ cos(ωt + ϕ) с частотой и периодом, соответственноω=g,lT = 2πl.g11. Физический маятник.Физическим маятником называется твердое тело, совершающее поддействием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, непроходящей через центр масс тела.Если физический маятник отклонен из положенияравновесия на некоторый угол α , то моментвозвращающей силыM = Jβ = J α .С другой стороны, при малых углахM = Fτl = − mgl sin α ≈ −mglα ,где J − момент инерции маятника относительно оси,проходящей через точку подвеса O ,l − расстояние между точкой подвеса и центроммасс C маятника,Fτ = − mg sin α – возвращающая сила (со знакомминус, поскольку она всегда направленная противоположно направлениюувеличения α ).Следовательно, J α + mgl α = 0 , илиα+mglα = 0.JТаким образом, при малых колебаниях физический маятник совершаетгармонические колебания α = α 0 ⋅ cos(ωt + ϕ) с циклической частотой ипериодомω=где длина L =mgl,JJL.= 2πmglgT = 2πJ– называется приведенной длиной физического маятника.mlПриведенная длина физического маятника – это длина такогоматематического маятника, который имеет такой же период колебаний, что иданный физический маятник.Точка O ' на продолжении прямой OC , отстоящая от оси подвеса нарасстоянии приведенной длины L , называется центром качаний физическогомаятника.Математический маятник можно представить как частный (предельный)случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре2масс.

При этом J = ml , следовательноT = 2πlg.А.Н.Огурцов. Физика для студентовВерхний знак берется, если при движении источника или приемникапроисходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления.Если направления скоростей не совпадают с проходящей через источник иприемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле надо брать их проекциюна направление этой прямой.Электромагнитные волны47. Электромагнитные волны.Электромагнитные волны – это переменное электромагнитное поле,распространяющееся в пространстве с конечной скоростью.Существование электромагнитных волн вытекает из уравненийМаксвеллаrot E = −∂B∂D; div D = ρ; rot H = j +; div B = 0 ,∂t∂tкоторые в области пространства, не содержащей свободных электрическихзарядов и макроскопических токов, имеют видrot E = −∂B∂D; div D = 0; rot H =; div B = 0 .∂t∂tЕсли среда – однородный и изотропный диэлектрик, не обладающийсегнетоэлектрическими или ферромагнитными свойствами, то D = εε0 E иB = μμ0 H , где ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные, ε и μ –диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.В этом случае уравнения Максвелла∂H∂E; div H = 0; rot H = εε0; div E = 0 .∂t∂tИспользуя ΔV = grad divV − rot rot V получим волновые уравнения длявекторов E и H∂2E∂2HΔE = εε0μμ0 2 ,ΔH = εε0μμ0 2 ,∂t∂t∂2∂2∂211c–где Δ = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа, υ ==∂x∂y∂zε0μ0 εμεμ1фазовая скорость электромагнитной волны, c =– скорость света вε0μ 0rot E = −μμ 0вакууме.

Таким образом, электромагнитные поля действительно могутсуществовать в виде электромагнитных волн.Посколькуεμ > 1 , то υ < c – скорость распространенияэлектромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.48. Поперечность электромагнитных волн.Следствия теории Максвелла:(1) Векторы E и H напряженностей электрического и магнитного полейволны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярнойКолебания и волны5–265–7Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей иотраженной волн.Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то награнице сред образуется пучность.Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то награнице сред образуется узел стоячей волны.46.

Эффект Доплера.Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний,воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний иприемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляетсякак повышение тона при приближении источника звука к приемнику ипонижения тона звука при удалении источника от приемника.Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой;υi и υ p – скорости источника и приемника (положительны при сближении иотрицательны при удалении источника и приемника); n0 – частота колебанийисточника; υ – скорость распространения звука в данной среде.1) Источник и приемник покоятся относительно среды.υi = υ p = 0 .

Длина волны λ = υT = υ / n0 . Распространяясь в среде, волнадостигнет приемника и вызовет его колебания с частотойn=υ υ== n0 .λ υT2) Приемник приближается к источнику, а источник покоится.υ p > 0, υi = 0 . Скорость распространения волны относительно приемника12. Электрический колебательный контур.Электрическим колебательным контуром называется электрическаяцепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L ,конденсатораемкостьюCирезисторасопротивлением R .По закону Ома для участка цепиIR = ϕ1 − ϕ2 + ΘcилиIR = −qdI,−LdtCq– заряд конденсатора иCразность потенциалов его обкладок в произвольный момент времени t ; R −электрическое сопротивление колебательного контура; Θc − ЭДС самоdqиндукции в катушке.

Сила тока I =, поэтому дифференциальноеdtгде q и (ϕ1 − ϕ2 ) = −уравнение колебаний заряда в колебательном контуреd2 q R d q1++q = 0.2L d t LCdt13. Стадии колебаний в идеализированном колебательном контуре.Идеализированный колебательный контур – колебательный контур, укоторого R = 0 .станет равной υ + υ p , при этом длина волны не меняется, следовательноn=υ + υpλ=υ + υpυT=υ + υpυn0 .Частота колебаний, воспринимаемых приемником увеличится.3) Источник приближается к приемнику, а приемник покоится.υ p = 0, υi > 0 . Скорость распространения колебаний υ зависит только отсвойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника,излученная им волна пройдет в направлении кприемнику расстояние υT = λ . Источник жепройдет расстояние υiT .

Поэтому к моментуокончания излучения волны длина волны внаправлении движения сократится и станетλ′ = λ − υiT . Частота колебаний которыевоспринимает приемник, увеличитсяn=υυυ==n0 .λ′ (υ − υi )T υ − υi4) Источник и приемник движутся друг относительно друга.Этот случай обобщает два предыдущих. Частотавоспринимаемых приемникомn=υ ± υpυ ∓ υin0 .А.Н.Огурцов. Физика для студентовколебаний,Пусть в начальный момент времени t = 0 конденсатор заряжензарядом q . Тогда энергия электрического поля между обкладками конден-q2.

При замыкании конденсатора на катушку индуктивности, в2Cконтуре потечет возрастающий ток I . Энергия электрического поля начнетLI 2 Lq 2=будетуменьшаться, а энергия магнитного поля катушки Wm =22возрастать. Поскольку потерь в контуре нет ( R = 0 ), то полная энергиясатора We =Колебания и волны5–85–25W = We + Wm сохраняется.В момент времени t = 1 4 T ( T − период колебаний), когда конденсаторполностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, аэнергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшегозначения.Стадии колебаний в контуре можно сопоставить с аналогичными стадиямимеханических колебаний, например, математического маятника, который вмомент времени t = 0 смещен из положения равновесия и имеетмаксимальную потенциальную энергию E = U max .