lect5wav (Лекции Огурцова (PDF))

5–25–31Свободные колебания1. Колебания. Общий подход к изучению колебаний различной физической природы.Колебаниями называются движения или процессы, которые обладаютопределенной повторяемостью во времени.Колебания сопровождаются попеременным превращением энергии одноговида в энергию другого вида.Колебания называются свободными (или собственными), если онисовершаются за счет первоначально сообщенной энергии, без дальнейшеговнешнего воздействия на колебательную систему (систему, совершающуюколебания).

Колебания называются вынужденными, если они происходят поддействием периодически изменяющейся внешней силы.Физическая природа колебаний может быть разной – различаютмеханические, электромагнитные и др. колебания.Но различные колебательные процессы описываются одинаковымиуравнениями, поэтому целесообразно изучать все колебательные процессы,используя общие свойства колебаний.волн в зависимости от угла падения и значений показателей преломленияприведены в таблице.Сдвиг фазмеждукомпонентамиEi|| и Er||Ei⊥ и Er⊥π2n2 < n1или ϕ < ψили ϕ > ψ00π2n2 < n1или ϕ < ψπ0π0(ϕ + ψ ) <n2 > n1или ϕ > ψππ(ϕ + ψ ) >n2 > n1Таким образом, при малых углах падения (ϕ + ψ < π 2) фаза обеихкомпонент электрического вектора отраженной волны противоположна фазепадающей для случая, когда n2 > n1 , и совпадает с фазой падающей волны приn2 < n1 .

В частности это имеет место и при нормальном падении.Явление изменения фазы волны на π при отражении от среды с бóльшимпоказателем преломления – "потеря полуволны" – играет значительную роль винтерференционных и дифракционных явлениях, которые рассматриваются вкурсе "Оптика".Рассмотрим теперь случай, когда выполняется условие ϕ + ψ = π 2 (и,2. Гармонические колебания и их характеристики.Гармоническими колебаниями называются колебания, при которыхколеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (иликосинуса).Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся черезравные промежутки времени) могут быть представлены в виде суммы(суперпозиции) гармонических колебаний.Гармоническое колебание величины s описывается уравнением типаs = A ⋅ cos(ω t + ϕ) ,где: A – амплитуда колебания – максимальное значение колеблющейся величины;ω – круговая (циклическая) частота;ϕ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0 ;(ω t + ϕ) – фаза колебания в момент времени t .Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данныймомент времени.

Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то sможет принимать значения от + A до − A .Поскольку cos( a + 2π) = cos a , то при гармонических колебанияхувеличение (приращение) фазы колебания на 2π приводит к тому, что всевеличины, характеризующие колебание, принимают исходное значение.Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, поистечении которого повторяются состояния колеблющейся системы(совершается одно полное колебание) и фаза колебания получаетприращение 2πω(t + T ) + ϕ = (ω t + ϕ) + 2π .Откудаследовательно, tg(ϕ + ψ ) → ∞ ).

Угол падения ϕ Б , при котором отраженный ипреломленный лучи взаимно перпендикулярны, называется углом Брюстера.А.Н.Огурцов. Физика для студентовКолебания и волныtg ϕ Б =Из закона преломления следует, чтоПри этомn2.n1r|| = 0 и в отраженной волне присутствует только Er⊥компонента (отраженная волна линейноперпендикулярной плоскости падения).поляризованавплоскости,50. Энергия электромагнитных волн.Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается изобъемных плотностей we и wm электрического и магнитного полейε0εE 2 μ0μH 2+.22Так как ε0ε E = μ 0μ H , то w = ε0μ 0 εμ EH .Плотность потока энергии S = w ⋅ υ = EH .Вектор S плотности потока энергии электромагнитной волныw = we + wm =называется вектором Умова-Пойтинга.S = [E, H ] .Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной волны,а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицувремени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Скалярная величина I , равная модулю среднего значениявектора Умова-Пойтинга, называется интенсивностью волныI= S .5–305–3В этом случае для преломленной волны имеем закон преломленияT=sin ψ n1ευ= = 1 = 2.sin ϕ n2ε 2 υ1Разложим амплитуды электрического и магнитного векторов накомпоненты E|| , H || , E ⊥ , H ⊥ , лежащие соответственно в плоскости падения иперпендикулярные к ней.

Взаимные ориентации векторов s , E|| , E ⊥ , H || и H ⊥приведены на рисунках (а) и (б).Для компонент напряженности электрического вектора, лежащих вплоскости падения (рис. (а)), граничные условия (с учетомϕ = ϕ′ и n = ε ) имеют видEi|| cos ϕ + Er|| cos ϕ = Ed || cos ψиε 0 ε E = μ 0μ H ,n1Ei|| − n1Er|| = n2 Ed || .Решая эту систему уравнений и используя закон преломления, найдемвыражения для амплитудных коэффициентов отражения r|| ипропускания t|| для волны, линейно-поляризованной в плоскости паденияr|| =Er||Ei||=−sin 2ϕ − sin 2ψtg(ϕ − ψ)=−sin 2ϕ + sin 2ϕtg(ϕ + ψ)Ed ||2cos ϕ sin ψ=t|| =Ei|| sin(ϕ + ψ )cos(ϕ − ψ )(*)Для компонент напряженностей электрического вектора, перпендикулярных к плоскости падения (рис.

(б)), граничные условия принимают видEi ⊥ + Er ⊥ = Ed ⊥иn1 ( Ei ⊥ − Er ⊥ )cos ϕ = n2 Ed ⊥ cos ψ .Частотой колебаний n называется величина обратная периоду колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времениn=3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.Первая (скорость) и вторая (ускорение) производные по времени отгармонически колеблющейся величины s также совершают гармоническиеколебания с той же циклической частотойdsπ= − Aω sin(ω t + ϕ) = Aω cos(ω t + ϕ + ) ,dt2d2 ss = 2 = − Aω2 cos(ω t + ϕ) = Aω2 cos(ω t + ϕ + π) .dtИз последнего уравнения видно, что s удовлетворяет уравнениюd2 s+ ω2 s = 0илиs + ω2 s = 0 .dt2s=Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Его решениеs = A ⋅ cos(ω t + ϕ) .4. Метод векторных диаграмм.Гармонические колебания изображаютсяграфически методом вращающегося вектораамплитудыилиметодомвекторныхдиаграмм.Из произвольной точки O , выбранной на осиx , под углом ϕ , равным начальной фазеEr ⊥sin(ϕ − ψ )=−Ei ⊥sin(ϕ + ψ )(**)Ed ⊥ 2sin ψ cos ϕ=sin(ϕ + ψ )Ei ⊥Соотношения (*) и (**) между амплитудами падающей, отраженной иt⊥ =преломленной волн называются формулами Френеля.В формулах Френеля Ei|| и Ei⊥ – величины положительные, а E d || и Ed⊥при любых возможных углах падения и преломления также положительны, чтосвидетельствует о совпадении фаз преломленной и падающей волн. ВеличиныEr|| и Er⊥ могут быть как отрицательными, так и положительными. В первомслучае фаза колебаний вектора E изменяется при отражении на π (фазаколебаний вектора H при этом сохраняется).

Во втором случае (см. рис.)отражение происходит без изменения фазы колебаний вектора E(соответственно фаза колебаний вектора H при отражении изменяется на π ).Значения сдвига фаз колебаний вектора E при отражении электромагнитныхА.Н.Огурцов. Физика для студентов1 ω=.T 2πЕдиница частоты – герц (Гц) – частота периодического процесса, прикотором за 1 секунду совершается один цикл колебаний.Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания r⊥ и t ⊥r⊥ =2π.ωколебания, откладывается вектор A , модулькоторого равен амплитуде A , рассматриваемогоколебания. Если этот вектор будет вращатьсявокруг точки O с угловой скоростью ω , то проекция вектора на ось x будетсовершать колебания по закону s = A ⋅ cos(ω t + ϕ) .5. Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний.Согласно формуле Эйлера для комплексных чиселeiϕ = cos ϕ + i sin ϕ ,где i =− 1 – мнимая единица.

Поэтому уравнение гармонического колебанияs = A ⋅ cos(ω t + ϕ) можно записать в комплексной экспоненциальной формеs = Aei ( ωt +ϕ) .Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной функцииКолебания и волны5–45–29~s , которая и представляет собой гармоническое колебаниеRe( s ) = A cos(ω t + ϕ) = s .Для нашего случая, граничные условия для электрического вектора6. Механические гармонические колебания.Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармоническиеколебания вдоль оси x около положенияравновесия принятого, за начало координат.Тогда для колеблющейся точкисмещение: x = A ⋅ cos(ω t + ϕ) ,π⎞⎛скорость: υ = x = − Aω cos ⎜ ω t + ϕ + ⎟ ,2⎠⎝ускорение:a = υ = s = Aω2 cos(ω t + ϕ + π) .Амплитуды скорости и ускорения равныAω и Aω2 .Фазаскоростиотличаетсяотπсмещения на , а фаза ускорения на π .2фазыСила, действующая на колеблющуюсяматериальную точку массой m равнаF = ma = m ⋅ Aω2 cos(ω t + ϕ + π) = −mω2 A cos(ω t + ϕ) = −mω2 x .Таким образом, сила пропорциональна смещению материальной точки инаправлена в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия).Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы,которые аналогичным образом зависят от смещения, называютсяквазиупругими.7.

Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.Кинетическая энергия материальной точкиK=mυ2 mA2ω2 2mA2ω2=sin (ωt + ϕ) =[1 − cos 2(ωt + ϕ)] .224Потенциальнаяэнергияматериальнойточки,гармонические колебания под действием квазиупругой силыxW = −∫ F d x =0совершающейmω2 x 2 mA2ω2mA2ω2cos 2 (ω t + ϕ) =[1 + cos 2(ω t + ϕ)] .=224Полная энергияE = K +W =22mA ω2остается постоянной, с течением времени происходит только превращениекинетической энергии в потенциальную и обратно.8. Гармонический осциллятор.Гармоническим осциллятором называется система,колебания, описываемые дифференциальным уравнениемs + ω2 s = 0 .А.Н.Огурцов. Физика для студентовсовершающаяEiτ exp[i (ωit − ki si r )] + Erτ exp[i (ωr t − kr sr r )] = Ed τ exp[i (ωd t − kd sd r )] .Для выполнения этого равенства в любой момент времени t в любойточке границы раздела необходимо и достаточно, чтобы во всех трехпоказателях экспонент были одинаковы коэффициенты при t и при проекции rτрадиус-вектора r на границу раздела, т.е.

чтобы выполнялись равенстваωi = ωr = ωd ,ki siτ = kr srτ = kd sd τ .Следовательно, частоты всех трех волн должны быть равны междусобой, поскольку частоты колебаний зарядов в диэлектрической среде,вынуждаемых колебаниями электрического вектора, совпадают с частотойвынуждающей силы. Кроме того, единичные векторы si , sr , sd находятся водной плоскости, проходящей через нормаль к плоскости раздела (плоскостьпадения).Выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость xOyсовпадала с плоскостью раздела сред, а плоскость zOx – с плоскостьюпадения, причем ось OzEi||H r|| sr направим из среды I вH i||srH r⊥Ei⊥среду II (см.

рисунок).H i⊥Er⊥′ϕ′ϕϕОбозначим ϕ– уголϕEssε1ε2a)r ||ixψz H d⊥ sdε1ixε2ψEd ||б)H d ||Ed⊥ sdzмежду si и осью Oz (уголпадения), π − ϕ′ – уголмежду s r и Oz ( ϕ′ – уголотражения), ψ – уголмежду s r и Oz (уголпреломления). В этой системе координат у-компоненты векторов sτ равнынулю, а х-компоненты можно выразить следующим образомsix = sin ϕ, srx = sin ϕ′, sdx = sin ψ .Следовательно, равенство ki siτ = kr sr τ = kd sd τ примет видsin ϕ sin ϕ′ sin ψ==.υ1υ1υ2Первое равенство означает, что ϕ = ϕ′ – закон отражения в оптике.Из второго равенства следует оптический закон преломления.Показателем преломления среды n называется величина, равнаяотношению скорости c электромагнитных волн в вакууме к их фазовойскорости υ в средеn=c= εμ .υДля среды, не обладающей ферромагнитными свойствами, μ ≈ 1 ипрактически можно считать, чтоn= ε.Колебания и волны5–285–5вектору υ скорости распространенияволны, причем векторы E , H и υобразуют правовинтовую систему.(Только E y ≠ 0 и H z ≠ 0 )(2) В электромагнитной волне векторыE и H всегда колеблются водинаковых фазах, причем мгновенныезначения E и H в любой точке связаныε0ε E = μ0μ H .соотношениемПримерамигармоническогоосциллятораявляютсяпружинный,математический и физический маятники и электрический колебательныйконтур.9.