Lect4 (ЭВМ для спецгруппы)

1Глобальный анализ чувствительности1. Постановка задачи и методы ее решенияПусть имеется модель некой химической реакции, описываемая системойобыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями:yi′(t ) = fi ( y, k , t )yi (0) = yi 0 , i = 1, K , N ,(1)где y = (y 1 , y 2 , …, y N ) — вектор определяемых функций (кинетических кривых),k = (k 1 , k 2 , …, k M ) — вектор параметров (констант скорости).Задача глобального анализа чувствительности в наиболее общей постановкевыглядит следующим образом: найти плотность вероятности решений y (t ) модели (1), если известны плотности вероятности значений констант скорости k и начальных условий y 0 . Эта задача сводится к исследованию зависимости плотностивероятности решений y (t ) от плотности вероятности начальных условий, т.

к. параметры k можно учесть, включив в исходную систему дополнительные уравнения вида:dk=0dt(2)с начальными условиями k (0) = k 0 .Итак, требуется найти плотность вероятности P ( y, t ) для y (t ) , если известнаплотность вероятности P0 ( y ) для y 0 . Для функции P ( y, t ) можно записать систему дифференциальных уравнений в частных производных:∂P ( y, t )+ ∇ y [ P ( y , t ) ⋅ f ( y , t )] = 0 ,∂t(3)P ( y ,0) = P0 ( y ) ,где f (y , t ) — вектор, элементами которого служат функции f i (y, k , t ) (правыечасти системы (1)). Однако, численное решение этих уравнений связано с большими трудностями из-за их жесткости.

Кроме того, в реальных задачах обычноотсутствует информация о распределении P0 . Поэтому на практике задача глобального анализа чувствительности ограничивается оценкой диапазона изменениярешений модели, если заданы средние значения параметров (констант скорости) иобласть возможного изменения их значений (область неопределенности). Этоаналогично тому, как при статистическом анализе случайных величин вместофункции распределения довольствуются средним значением и дисперсией.Идея одного из наиболее известных методов глобального анализа чувствительности, получившего название FAST (Fourier Amplitude Sensitivity Test), заключается в одновременном варьировании всех констант скорости в пределах ихинтервалов неопределенности по формулам:k j = k 0j + (k max− k 0j ) ⋅ sin ω j ξ .j(4)2В идеале частоты ω j должны быть несоизмеримыми (не кратными друг другу); вэтом случае параметрические уравнения (4) задают кривую, плотно заполняющуюобласть неопределенности параметров при − ∞ < ξ < +∞ .

Это позволяет свестимногомерную задачу независимого варьирования параметров к одномерной задаче исследования диапазона изменения решений y i при движении вдоль параметрической кривой.Так как на ЭВМ невозможно реализовать несоизмеримые частоты и бесконечные пределы изменения переменной ξ, то авторы метода FAST предложилииспользовать специально подобранные целочисленные частоты.

Тогда все константы скорости, согласно (4), становятся периодическими функциями ξ с периодом 2π, и к задаче можно применить Фурье-анализ. В качестве меры глобальнойчувствительности решения к константе k j фигурирует фурье-амплитуда для частоты ω j :∫ y ⋅ sin ω2π0ijξ dξ .(5)Иными словами, решение y i (концентрация i-го вещества) меняется сложным образом в зависимости от ξ, причем каждая константа скорости вносит в это изменение свой вклад, колеблющийся с соответствующей частотой. Чем выше чувствительность i-й концентрации к константе k j , тем большую величину в суммарном изменении этой концентрации имеет компонента, колеблющаяся с частотойω j .

Фурье-анализ позволяет разложить сложное колебание на гармонические составляющие, т.е. выделить вклады отдельных частот.Впоследствии предлагался аналогичный подход с использованием базисаступенчатых ортогональных функций Уолша, принимающих значения −1 и +1,вместо непрерывных тригонометрических функций. Это позволяет сократить количество решений прямой задачи, поскольку не нужно рассматривать промежуточные значения констант скорости — берутся лишь всевозможные сочетаниякрайних значений.Было показано, что вычисление фурье-амплитуд (5) эквивалентно оценкевеличин, имеющих смысл дисперсии1σ 2 = y2 − y ,2(6)σ i2 = ∫ y i d ki − y ,212В элементарной статистике дисперсия оценивается по формуле σ 2 =∑1N −1∑ ( x − x)Ni=1i2, где1 Nxi .

После подстановки последнего выражения в форN i=1мулу для дисперсии и некоторых элементарных преобразований получаем:черта над x означает усреднение: x =σ2 =[][]NN( x 2 ) − 2 x ⋅ x + ( x) 2 =( x2 ) − ( x) 2 ≈ ( x2 ) − ( x)2 .N −1N −1Последнее приближенное равенство выполняется тем точнее, чем больше объем выборки N, таккак отношение N / (N−1) в этом случае приближается к единице.

Таким образом, дисперсия приближенно оценивается как разность среднего квадрата и квадрата средней величины. Формулы (6)являются полными аналогами этого выражения с той лишь разницей, что суммы заменены интегралами, поскольку мы имеем дело не с дискретными выборками, а с непрерывными величинами.3гдеy = ∫ L∫ y d k1 K d k M ,y i = ∫ L∫ y d k1 K d ki −1 d ki +1 K d k M ,а интегрирование проводится в пределах интервалов неопределенности соответствующих констант скорости. Поэтому предлагались также варианты глобальногоанализа чувствительности, основанные на непосредственном вычислении многомерных интегралов (6) с помощью методов типа Монте-Карло.

Наконец, была установлена связь между критериями глобальной чувствительности, такими, как (5)или (6), и усреднением локальных коэффициентов чувствительности sij по параметрам, меняющимся в пределах их области неопределенности.Любой метод глобального анализа чувствительности требует значительнобольших затрат по сравнению с локальным анализом.

Так, в одной из работ2 приведен пример анализа чувствительности методом FAST для модели с 10 параметрами, где потребовалось решать прямую задачу 8520 раз. В другой задаче с 24 параметрами метод FAST потребовал времени счета около 1 часа, тогда как локальный анализ занимал от 24 секунд до 2.8 минут. (Разумеется, абсолютные значениявремени счета на современных компьютерах были бы значительно меньше, но длянас важны относительные величины затрат.) Указывалось, что усовершенствованный вариант метода Монте-Карло при одинаковых результатах требует в1.5 ÷ 2 раза меньше времени, чем FAST (т.

е. все равно остается весьма дорогостоящим по сравнению с локальным анализом).2. Применение глобального анализа чувствительностидля построения минимального механизма реакцииДанные о глобальной чувствительности концентраций к константам скорости помогают исключить из гипотетического механизма реакции лишние (незначащие) стадии. Методика построения минимального механизма реакции, адекватно описывающего опытные данные, изложена в работах Л. С. Полака с сотрудниками [см.

Т. М. Григорьева, Ю. А. Колбановский, А. А. Левицкий, Л. С. Полак,Р. Л. Татузов. «Применение анализа чувствительности уравнений химической кинетики для выбора наиболее вероятного механизма реакции». Кинетика и катализ, 1985, т. 26, с.

1307–1315; «Анализ чувствительности для уравнений химической кинетики и выбор наиболее вероятного механизма реакции», в сб. Механизмы плазмохимических реакций углеводородов и углеродсодержащих молекул.Часть II. М.: ИНХС АН СССР, 1987, с. 51–81.]. Пусть каким-либо способом (например, перечислением всех возможных элементарных процессов) построен механизм, правильно передающий экспериментальную информацию.

Однако такоймеханизм, возможно, содержит «лишние» стадии, не оказывающие заметноговлияния на кинетику реакции. Процедура поиска и исключения незначащих стадий состоит из следующих шагов:1) На основании имеющейся (эспериментальной) информации все участвующие в реакции вещества разбивают на две группы. В первую группу включают главные продукты реакции, концентрации которых существенно (не менее,E.

P. Dougherty, J.-T. Hwang, H. Rabitz, Further developments and applications of the Green'sfunction method of sensitivity analysis in chemical kinetics. J. Chem. Phys., 1979, v. 71, pp. 1794–1808.24чем на порядок) больше остальных. Все прочие реагенты (в том числе и те, которые экспериментом не обнаруживаются) относят ко второй группе.2) Элементарные реакции, входящие в исходный механизм, также делят надве группы. В первую включают те из них, в которых образуются главные продукты, т. е. вещества первой группы, а во вторую — все остальные.3) Вычисляют глобальные чувствительности и нормируют их раздельновнутри каждой из двух групп элементарных стадий (т.е. находят максимальную изчувствительностей к константам скорости реакций одной группы и принимают ееза единицу, а чувствительности к другим константам той же группы заменяют относительными величинами — делят на максимальное значение).