Plasticity (Лекции в PDF), страница 2

Тензоры упругих, пластических и полных деформаций.Для произвольного состояния конечным образом деформированной упруго – пластической средыможно определить понятия упругих и пластических деформаций и ввести следующие три пары тензоров деформаций:1) тензоры пластических деформаций c компонентами1 ∗0− gij)εpij = (gij22)тензоры упругих деформаций с компонентами1∗εeij = (ĝij − gij)23) тензоры полных деформаций с компонентами10)ε̂ij = (ĝij − gij20 , ĝ задают метрики начального и актуального пространства, а g ∗ – метрику пространства,Здесь gijijijв котором сняты все напряжения, и остались только остаточные деформации.Таким образом, при изучении действительного процесса деформирования для каждого моментавремени наряду с полными деформациями можно рассматривать пластические, т.е. те, которые остались бы в частице, если бы ее из данного состояния полностью разгрузить, и упругие деформации, т.е.те, которые снимаются при разгрузке и возникают вновь при повторном нагружении.Из определений следует, что в лагранжевой системе координат верно равенствоε̂ij = εeij + εpijт.е.

полные деформации равны сумме упругих и пластических. Отметим, что для конечных деформаций это свойство аддитивности не выполняется, т.к. компоненты тензоров здесь берутся в разныхбазисах, хотя в одной и той же Лагранжевой системе координат.В случае бесконечно малых относительных перемещений с точностью до малых высшего порядкаэто равенство выполняется для компонент с любым строением индексов и в любой системе координат.1.3.2. Пространство напряжений.

Условия пластичности. Поверхность текучести.В трехмерном случае необходимо рассматривать многомерное пространство напряжений. Пространство напряжений определяется тем, что в качестве меры расстояний вдоль осей координат берутсявеличины напряжений.В связи с основным свойством пластической среды в пространстве напряжений, т.е. в девятимерномпространстве точки которого задаются значениями компонент тензора напряжений pij , можно отметить область Dp такую, что если для данного процесса точка pij лежит строго внутри области Dp ,то частица ведет себя как упругое тело. В противном случае в частице могут возникать пластические(остаточные) деформации.4Пространство напряжений Хея–Вестергарда В пространстве главных напряжений (Хея–Вестергарда)по осям координат откладываются главные значения тензора напряжений.Каждая точка такого пространства соответствует некоторому напряженному состоянию.

Радиус–вектор ОР любой точки Р может быть разложен на две компоненты: ОА–вдоль прямой OZ, котораясоставляет равные углы с осями координат, и ОВ– в плоскости перпендикулярной OZ и проходящейчерез начало координат (эта плоскость известна под названием Π –плоскости.Компонента вдоль OZ, для которой pI = pII = pIII представляет гидростатическое давление, акомпонента в Π –плоскости – девиаторную часть напряжения.

Легко показать, что Π –плоскостьимеет уравнениеpI + pII + pIII = 0Если принять, что условие пластичности не зависит от гидростатического напряжения всестороннего сжатия, то соответствующие поверхности текучести являются цилиндрами с образующими параллельными оси OZ.Точки пространства напряжений, которые лежат внутри цилиндрической поверхности текучести соответствуют упругому напряженному состоянию, а точки лежащие на поверхности текучести, представляют начальное пластическое напряженное состояние.Пересечение поверхности текучести с Π –плоскостью называется кривой текучести.Условие или критерий пластичности является обобщением на трехмерное напряженное состояние понятия предела текучести, который был введен для одноосного растяжения. Оно определяетнекоторую поверхность – поверхность текучести или поверхность нагружения.

Этой поверхностью является граница Σp области Dp представляющая собой совокупность пределов упругостидля всевозможных напряженных состояний.С математической точки зрения это условие представляет собой соотношение между компонентаминапряжений в точке, которое должно быть выполнено, когда в этой точке начинается пластическоеповедение.Функция текучести. В общем случае условие пластичности может быть записано в видеf (pij ) = CYилиf1 (pij ) = 0.Функция f1 (pij ) называется функцией текучести.Для изотропного материала условие пластичности не должно зависеть от направлений и, поэтому,может быть выражено в виде функции инвариантов напряжения, или в виде симметричной функцииглавных напряжений:f2 (pI , pII , pIII ) = CY .Кроме того, эксперименты показывают, что для многих сред (в частности для металлов) напряжение всестороннего сжатия не вызывает пластических деформаций.

Поэтому обычно считают, что вусловиях пластичности фигурирует функция инвариантов девиатора напряжений(d)(d)(d)f3 (I1 (pij ), I2 (pij ), I3 (pij )) = 0.Напомним, что шаровой составляющей t(s) и девиатором t(d) симметричного тензора t второго ранганазываются соответственно тензоры(s)tij =1tkk δij ,31(d)tij = tij − tkk δij3Первый, второй и третий инварианты тензора определяются следующим образомI1 (tij ) = tij gij = tii = t11 + t22 + t33 ,I2 (tij ) =51(tii tjj − tij tij ) ,2I3 (tij ) = det||tij ||Некоторые критерии пластичности. Из многочисленных условий, пластичности которые былипредложены мы рассмотрим два.

Они приемлемо просты математически и в то же время достаточно точны, чтобы быть весьма полезными при изучении начальной стадии пластичности изотропныхматериалов.1. Критерий текучести Треска (теория максимального касательного напряжения). Согласно этому критерию, пластическое поведение начинается тогда, когда максимальное касательноенапряжение достигает заданной величины C1p .Проще всего критерий Треска записывается в главных напряжениях. Если pI > pII > pIII критерийТреска будет1(pI − pIII ) = C1p = const22.

Критерий текучести Мизеса (теория энергии искажения формы). Согласно этому критерию, пластическое поведение начинается тогда, когда второй инвариант девиатора напряжений достигает некоторого критического значения. Математически критерий Мизеса записывается так:(d)I2 (pij ) = C2pили через главные напряжения так:(pI − pII )2 + (pII − pIII )2 + (pIII − pI )2 = 6C2pСуществуют несколько вариантов записи этих соотношений, когда используются другие компоненты напряжений, отличные от главных.1.3.3.

Изотропное и кинематическое упрочнение. Энергетическая и деформационнаягипотезы упрочнения.Продолжение нагружения после достижения начального предела текучести приводит к пластическим деформациям, которые могут сопровождаться изменением первоначальной поверхности текучести.Если материал предполагается идеально пластическим, то поверхность текучести не изменяется впроцессе пластического деформирования и начальное условие пластичности остается в силе.

Однако,для материала с упрочнением пластическое деформирование в общем случае сопровождается изменениями поверхности текучести.Для учета таких изменений необходимо обобщить функцию текучести f1 (pij ), чтобы она моглазадавать изменение поверхности текучести при деформировании.Функция нагружения. Такое обобщение достигается введением функции нагруженияf1∗ (pij , εpij , K) = 0,которая зависит не только от напряжений, но и от пластических деформаций εpij и характеристикупрочнения, представленных параметром K.Это уравнение дает поверхность нагружения, что означает следующее:f1∗ = 0 − определяет границу упругой зоны,f1∗ < 0 − соответствует упругой зоне внутри этой поверхности,f1∗ > 0 − соответствует области вне поверхности нагружения.Последняя область смысла не имеет.Полный дифференциал функции нагружения будет∂f1∗∂f ∗∂f ∗df1∗ =dpij + p1 dεpij + 1 dK∂pij∂K∂εij6Процессы пластического нагружения и разгрузки.

Разгрузка при одноосном растяжении–этоуменьшение величины напряжения σ.При произвольном деформировании разгрузка определяется как процесс, при котором точка pij впространстве напряжений перемещается с поверхности нагружения Σp внутрь области Dp . Очевидно,что при этом некоторые из компонент pij могут возрастать.

При разгрузке по определению εpij = 0.Пластическое нагружение. Определяется как процесс, в которомf ∗ = 0,df ∗ = 0.Процесс разгрузки. Еслиf1∗ = 0,∂f1∗dpij < 0,∂pijто говорят, что имеет место процесс разгрузки.Нейтральное нагружение. Еслиf1∗ = 0,∂f1∗dpij = 0,∂pijf1∗ = 0,∂f1∗dpij > 0∂pijто имеем нейтральное нагружение.Активное нагружение. Припроисходит процесс активного нагружения.Закон упрочнения. Тот способ, каким пластические деформации εpij входят в функцию упрочненияв процессе нагружения определяется законом упрочнения.Гипотеза изотропного упрочнения при нагружении постулирует, что поверхность текучестипросто увеличивается в размерах, сохраняя при этом свою начальную форму.

Кривые текучести вΠ–плоскости для критериев Мизеса и Треска будут концентрическими окружностями и правильнымишестиугольникамиПри кинематическом упрочнении начальная поверхность текучести поступательно перемещается в новое положение в пространстве напряжений без изменения размеров и формы. В одномерномслучае кривая текучести Треска переносилась бы так как показано на рисунке.Из всех гипотез, предложенных для расчета мгновенных пластических напряжений при пластическом деформировании материала с изотропным упрочнением наибольшее распространение получилидве: энергетическая и деформационная.Энергетическая гипотеза упрочнения заключается в том, что мгновенная поверхность текучести зависит только от полной работы на пластических деформацияхZpA = pij dεpij .VЧерез полную работу на пластических деформациях критерий пластичности выражается равенствомf1 (pij ) = F (Ap ),в котором вид функциональной зависимости должен быть определен экспериментально.Деформационная гипотеза упрочнения состоит в том, что упрочнение определяется величинойпластических деформаций.7Через полную эквивалентную пластическую деформациюrZεpэкв =dεpэкв ,dεpэкв =2 p pε ε3 ij ijVзакон упрочнения представляется соотношениемf1 (pij ) = H(εpэкв ),в которой вид функциональной связи находится из экспериментальной зависимости напряжение–деформацияпри одноосном испытании материала.Можно показать, что для критерия Мизеса эти законы упрочнения эквивалентны.1.3.4.