Plasticity (Лекции в PDF)

1. Теория пластичностиПлан: 1. Основные положения.2.Идеализированные диаграммы пластического поведения.3. Пространство напряжений. Тензоры пластических и полных деформаций.4. Условия пластичности.5. Критерии Треска и Мизеса.6. Изотропное и кинематическое упрочнение. Энергетическая и деформационная гипотезы упрочнения.7. Cоотношения между напряжениями и деформациями в пластическом состоянии. Пластическийпотенциал.8.Работа на пластических деформациях. Принцип минимума работы на пластических деформациях.9. О деформационной теории пластичности.10. О постановке задач упругопластичности.11.

Термодинамические соотношения. Уравнение притока тепла и второй закон термодинамики.1.1. Введение.Напомним что упругие деформации обладают свойством полного восстановления недеформированного состояния после снятия приложенных нагрузок. Кроме того, упругие деформации зависят толькоот величина напряжений и не зависят от истории деформирования или нагружения.Любая деформация, не удовлетворяющая определяющим законам классической теории упругости,рассматривается как неупругая деформация.В частности, необратимые смещения, которые получаются в результате скольжения или дислокаций на атомном уровне и приводящие к остаточным деформациям называются пластическимидеформациями. Изучение пластических деформаций с микроскопической точки зрения относится кфизике твердого тела.

Пластические деформации, в отличие от вязких и упругих, появляются тольков том случае, когда напряжения переходят некоторый предел, который называется пределом упругости или пределом текучести. При достаточно малых деформациях материал ведет себя как упругий(или как жесткий, если упругими деформациями пренебрегают).1.2. Идеализированные диаграммы пластического поведения.Многие основные понятия теории пластичности можно ввести непосредственно, рассматривая диаграммы зависимости напряжений от деформаций при испытании некоторого гипотетического материала на простое одноосное растяжение (сжатие).Одна из таких диаграмм представлена на рис.Здесь σ–условное напряжение (сила, деленная на начальную площадь сечения), а величина деформации определяется формулой(L − L0 )ε=,L0где L–текущая длина образца, а L0 –его начальная длина.1.2.1.

Основные понятия.Предел текучести или предел упругости – точка P , соответствующая предельному напряжению σp , разделяет кривую напряжение – деформация на упругую и пластическую области.Предел упругости разные авторы определяют по разному. Иногда он берется как предел пропорциональности и лежит в верхнем конце линейной части кривой. Иногда за него принимается точкаJ, которая называется пределом текучести Джонсона и представляет собой точку, где наклон кривой достигает 50% от своего первоначального значения. В одном из способов за предел текучестипринимают такое значение напряжения, которое дает 0.2% остаточной деформации.1Упругая область.

Важно то, что в упругой области, которая может быть как линейной, так инелинейной, увеличение нагрузки заставляет точку, изображающую напряженно – деформированноесостояние, двигаться вверх по кривой, а уменьшение нагрузки ведет к движению точки вниз по томуже самому пути.Таким образом, в упругой области существует взаимно однозначное соответствие между напряжениями и деформацией.Пластическая область. В пластической области дело обстоит иначе. При разгрузке от некоторогосостояния, например B, точка, изображающая состояние, следует по пути BC, практически параллельному линейной упругой части кривой. В точке C, где напряжение достигает нуля, обнаруживается остаточная пластическая деформация εp .

Символом εe обозначим восстановленную упругуюдеформацию, соответствующую точке B.При повторной нагрузке точка, движется из C обратно к B по пути очень близкому BC , но непопадает точно в В, из – за потери энергии в цикле разгрузка – нагрузка. Образуется петля гистерезиса.Пластические деформации не определяются однозначно значениями напряжений. (См.рис.). Одному и тому же значению напряжения σ может соответствовать бесчисленное множествозначений деформации ε. Если при нагружении образца был момент, когда внешняя нагрузка превысилапредел упругости, то значение деформации, соответствующее данному значению напряжению, зависитот того, как было достигнуто это значение напряжения. Итак, ясно, что в пластической областинапряжение зависит от всей истории нагружения или деформирования среды.1.2.2.

Некоторые явления, связанные с деформацией материалов.Упрочнение материала. После возвращения к точке В требуется увеличение нагрузки, чтобы вызвать дальнейшую деформацию. Это явление связано со свойством упрочнения материала.Суть этого явления состоит в следующем. После перехода материала в пластическую область, материал ведет себя как упругое тело (нагрузка и разгрузка идут по одной и той же кривой). Поэтомуможно говорить, что точка В также играет роль предела упругости для материала полученного из исходного с помощью пластического деформирования.

Для многих материалов σB > σp , по крайней мередля некоторых участков диаграммы. Такие участки называют участками упрочнения материала.Для некоторых материалов на диаграмме напряжение – деформация существует горизонтальныйучасток, называемый площадкой текучести. При деформировании соответствующему этому участку упрочнения не происходит.Эффект Баушингера.

Диаграмма напряжение – деформация, изображенная на этом рисунке именуется кривой растяжения. Кривая сжатия для недеформированного предварительно образца (приотсутствии истории пластического деформирования) обычно представляет собой отражение кривойрастяжения относительно начала координат: σ(ε) = −σ(−ε). Однако, имеются среды, например, горные породы, для которых такая симметрия отсутствует (см.

рис.).Пусть пределу упругости на диаграмме сжатия при первоначальном нагружении соответствует точка P1 . После растяжения до точки B с последующей разгрузкой и сжатием предел упругости материалана сжатие на участке упругих деформаций BB2 может соответствовать B2 . Величины предельных значений напряжений σ в точках B1 и B2 могут быть, вообще говоря, разными.Таким образом, если изменение напряжения на обратное (растяжения на сжатие или наоборот)производится для материала, уже находящегося в пластическом состоянии, то наблюдается определенное уменьшение предела упругости при втором типе нагрузки. Это явление называется эффектомБаушингера. Седов Л.И.: Эффект изменения предела упругости на сжатие после предварительного растяжения за предел упругости называется эффектом Баушингера.2Ползучесть.

Пусть имеется некоторый стержень (рис.) верхний конец которого закреплен, а к нижнему приложена постоянная сила F~ . Если стержень надолго оставить в таком состоянии, то, как показывает опыт, относительное удлинение стержня будет расти с течением времени. Если в некоторыймомент времени нагрузку снять, то образовавшиеся деформации не пропадут.

Это явление, котороенаблюдается при любой, даже малой величине силы F~ , называется ползучестью.Релаксация напряжений. Если растянутый стержень, в поперечных сечениях которого действуютнапряжения σ закрепить на обеих его концах (т.е. зафиксировать деформацию), то, как показываетопыт с течением времени напряжения в стержне будут падать, для одних материалов до некоторого конечного значения, для других материалов– до нуля. При релаксации имеющаяся первоначальноупругая деформация за счет ползучести частично или полностью превращается в пластическую, дляподдержания (сохранения) которой не требуется прикладывать силу, это и вызывает уменьшение напряжений.Усталость материалов.

Опыт показывает, что образец под действием периодически изменяющейся нагрузки, приложенной на его свободном конце, может разрушаться после достаточно большого,но все же конечного числа колебаний, даже если максимальные напряжения не превосходят пределаупругости.1.2.3. Модели пластических сред.Имеют место два основных типа моделей пластических сред:1. Модели идеальных упруго – пластических или жестко–пластических сред, в которых неучитывается упрочнение и эффект Баушингера.

При отсутствии упрочнения деформации называютсяидеально пластическими.На нижеследующем рисунке упругая область и явление упрочнения полностью отсутствуют.На втором рисунке существует упругая зона, предшествующая пределу текучести, а упрочнениянет:Такие представления полезны при изучении ограниченных пластических деформаций, когда большие деформации запрещены.Модели пластических тел в которых учитывается упрочнение. На приведенном рисунке имеется упругая зона, а упрочнение предполагается линейным.Эта модель широко используется приизучении неограниченного внешними условиями пластического течения.Замечания. 1.

Термин пластическое течение широко используется для обозначения процесса пластического деформирования. Однако в отличие от течения жидкости, при котором предполагается движение частиц сплошной среды, понятие пластического течения относится к непрерывному изменениюсуммарной деформации, а скорость представляет собой скорость деформации. В самом деле, твердоетело в состоянии пластичности может испытывать касательные напряжения оставаясь в покое.2. Хотя температура оказывает существенное влияние на пластическое поведение реального материала, в теории пластичности часто принимается, что процессы протекают изотермически и температуру считают просто параметром.3. Точно также в теории пластичности обычно пренебрегают влиянием скорости нагружения надиаграмму напряжение – деформации.

В соответствии с этим пластические деформации считаются не зависящими от времени и изучаются отдельно от таких явлений как ползучесть ирелаксация.31.3. Трехмерные пластические течения.Многие из трехмерных течений, изучающих пластическое поведение, можно рассматривать какнекоторое обобщение ряда идеализированных одномерных диаграмм зависимости напряжения от деформации. Основные проблемы теории пластичности состоят 1) в установлении количественных критериев начала наступления пластичности и 2) в математической формулировке соотношений междунапряжениями и деформациями, соответствующих феноменологическому описанию пластических деформаций.1.3.1.