Plasticity (1106129), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Cоотношения между напряжениями и деформациями в пластическом состоянии.Как только возникают пластические деформации, определяющие уравнения теории упругости перестают быть верными.Подчеркнем, что при разнообразных способах нагружения пластические деформации в каждыймомент времени не могут определяться однозначно значениями компонент тензора напряжений в тотже момент времени.Деформационная теория пластичности. Для тел с упрочнением для каждого вполне фиксированного закона нагружения можно написать конечные соотношения, причем эти соотношения будутзависеть от выбранного пути нагружения.

Вместе с этим нередко получается так, что для некоторыхразличных, вообще говоря, близких путей нагружения можно применять одно и тоже соотношение.Нужно, однако, твердо помнить, что эти соотношения верны только для одного или несколькихопределенных процессов нагружения рассматриваемой частицы среды и не определяют ее поведениев других случаях пластического деформирования.Существует так называемая деформационная теория пластичности Генки, в которой предполагается зависимость между напряжениями и полными деформациями. Эти соотношения имеютвид1 (d)1εij = [φ +]pij , εii = (1 − 2ν) E2GpiiЗдесь параметр Генкиφ=3 εpэкв.2 pэквГде эквивалентное или эффективное, напряжениеqq(d) (d)(d)σэкв = 3pij pij = −3I2 (pij ,эквивалентное, или эффективное, приращение пластической деформацииr2 p ppdεэкв =ε ε3 ij ijТеории течения (инкрементальные теории).

В силу того, что пластические деформации зависятот всей истории нагружения материала, в теории пластичности соотношения между напряжением идеформацией очень часто формулируют через приращения деформаций. Это так называемые теориитечения (инкрементальные теории).81. Уравнения Леви – Мизеса. Например уравнения Леви – Мизеса, связывают приращенияполной деформации с компонентами девиатора напряжений следующим образом(d)dεij = pij dλЭти соотношения представляют закон течения для жестко–идеально– пластического материала.Считается, что главные оси тензоров приращения деформаций и напряжений совпадают,Коэффициент пропорциональности dλ дается в дифференциальной форме, чтобы подчеркнуть,что приращения деформации связаны с конечными компонентами напряжений.

Этот множитель может меняться в процессе нагружения и является поэтому скалярной функцией, а не фиксированнойпостоянной. Для коэффициента dλ можно получитьdλ =2. Уравнениям Прандтля – Рейса.скую части:3 dεpэкв.2 σэквРазложив приращения деформации на упругую и пластичеdεij = dεeij + dεpijи связав приращения пластической деформации с компонентами девиатора напряжений(d)dεpij = pij dλ1мы приходим к уравнениям Прандтля – Рейса.

Эти формулы представляют закон течения упруго –идеально – пластического материала. Они устанавливают связь между приращениями пластическойдеформации и девиатором текущих напряжений, но не дают самих величин приращений деформации.3. Пластический потенциал. Функция компонент напряжения G(pij ), которая обладает следующим свойством∂G(pij )dεpij =∂pijназывают пластическим потенциалом.Для идеального пластического материала такая функция существует и и тождественно совпадаетс функцией текучести. Если к тому же функция текучести взята в виде(d)f1 (pij ) = I2 (pij ),то последние равенства превращаются в уравнения Прандтля–Рейса.1.4. О постановке задач упругопластичности.Ситуации, в которых и упругие и пластические деформации имеют примерно одинаковый порядок,обычно относят к задачам упругопластичности.В общем случае постановка задач в упругой зоне, пластической зоне и на границе между нимивключает следующие соотношения:а) Упругая область:уравнения равновесия; связь между напряжениями и деформациями; условия совместности; граничные условия, наложенные на напряжения или перемещенияб) Пластическая область:уравнения равновесия; связи между напряжениями и приращениями деформациями; условия совместности полных деформаций; условие пластичности; граничные условия на границе пластическойобласти, если таковая граница существуетв) Граница между упругой и пластической областями:условия непрерывности напряжений и перемещений91.5.

Термодинамические соотношения. Уравнение притока тепла и второй законтермодинамики.Рассмотрим термодинамические соотношения. Они необходимы для замыкания системы механических уравнений в случае, когда важны эффекты изменения температуры в процессе деформированиятела.Постулируется, что процессы пластического деформирования являются необратимыми. При этом′dq =1 ij pτ̂ dεij .ρгде τ̂ ij —- компоненты некоторого тензора, который характеризует диссипацию энергии.Уравнение притока тепла и второй закон термодинамики можно записать в видеdF =1 ijp dεij − d(sT ) + dq + dq ∗∗ ,ρ′′T ds = dq + dq ,dq > 01dq = − div~qdt,ρdq ∗∗ = 0,Будем предполагать, что0F = F (gij, εeij , εpij , T ),εij = εeij + εpij ,где ~q – вектор потока тепла.С учетом этих предположений уравнение притока тепла запишется в виде!!pij∂Fpijτ̂ ij∂F∂Fpe−dεij +−+dεij ++ s dT = 0.∂εeijρρρ∂T∂εpijа второй закон термодинамикиdiv ~qτ̂ ij pdt +dε .TT ijПолученные соотношения позволяют получить уравнения состояния.Действительно, эти равенства выполняются как в упругих так и в пластических областях.

А таккак, от всякого пластического состояния можно провести процесс разгрузки, то напряжения в частице впластическом состоянии, примыкающем к упругому процессу разгрузки, можно определить с помощьюуравнения состояния теории упругости.Таким образом, с помощью рассмотрения упругих процессов разгрузки, когда dεpij = 0, получимчто из этих равенств следуют уравнения состояния упругой модели. Примем, что в упругой области ив пластической области имеют место соотношенияρds = −pij = ρ∂F,∂εeijs=−∂F.∂TПоэтому для процесса пластического деформирования имеем!∂Fτ̂ ijpij+dεpij = 0.−ρρ∂εpijОткудаτ̂ ij = pij − ρ10∂F.∂εpijЗамечание. В предыдущем равенстве, вообще говоря, нельзя считать dεpij независимыми.

Например,если принимается ассоциативный закон, то шесть приращений dεpij выражаются через одно из них.Несмотря на это для наших целей всегда можно считать, что выполнены равенства, полученныедля τ̂ ij .Действительно положим∂Fτ̂ ij = pij − ρ p + τ1ij .∂εijТогда имеемτ1ij dεpij = 0т.е. добавки к τ̂ ij не влияют на dq′1.6. Принцип минимума работы на пластических деформациях.Рассмотрим приращение работы напряжений на деформациях в единице объемаpij (dεeij ρ + dεpij )pij dεijdA = −=−= dAe + dApρρПусть элементарная работа внутренних напряжений ṗij , отвечающих любой точке упругойобласти Dp , на рассматриваемых приращениях пластических деформаций dεpijdȦp = −ṗij dεpijПостулат, выражающийся неравенствомdȦp − dAp =(pij − ṗij )dεpijρ>0носит название принципа минимума работы истинных напряжений на пластических деформациях.Согласно этому постулату работа, совершаемая действительными напряжениями на заданных приращениях пластических деформаций, всегда меньше или равна работе, которуюсовершили бы любые другие напряжения из упругой области на тех же приращенияхпластических деформаций.Если компоненты тензоров dεpij и pij − ṗij трактовать как компоненты векторов в девятимерномевклидовом пространстве компонент тензора напряжений, то этот постулат можно истолковать какусловие, что скалярное произведение этих векторов неотрицательно.Отсюда ясно, что поверхность нагружения со стороны упругой области выпуклая...Для пластически несжимаемого материала приращение работы на пластических деформациях будет равно(d)dAp = pij dεpij = pij dεpijЕсли к тому же этот материал подчиняется уравнениям Прандтля–Рейса, то приращения работы напластических деформациях представляется выражениемdAp = pэкв dεpэквПри этом уравнения Прандтля – Рейса запишутсяdεpij =3 dAp (d)p2 p2экв ij11.

Характеристики

Список файлов лекций