Math (Лекции в PDF), страница 2

Главные оси симметричного тензора второго ранга.I. Определение. Направление, определяемое единичным вектором ~µ называется главным направлением симметричного тензора Tij второго ранга, если соответствующий вектор Tij µi параллеленвектору µ~ , т.е. если этот вектор можно записать в виде λ~µ, где λ скаляр.Таким образом, для главного направления ~µ имеем(Tij − λδij )µi = 04Приведенное соотношение представляет собой линейную однородную систему трех уравнений относительно компонент единичного вектора ~µ.Условием существования нетривиального решения является равенство нулю детерминанта, составленного из коэффициентов уравнений||Tij − λδij || = 0Если развернуть детерминант, то получим независящее от системы координат кубическоеуравнение для величины λ – характеристическое или вековое уравнение симметричного тензора Tλ3 − I(1) λ2 − I(2) λ − I(3) = 0Коэффициенты этого уравнения являются скалярами – основные инварианты симметричноготензора T.

Первый инвариант равен сумме элементов главной диагонали , второй – сумме миноровэлементов главной диагонали, взятой со знаком минус, третий – представляет детерминант матрицыTij .11I(1) = Tii , I(2) = (Tij Tji − Tii Tjj ), I(3) = ||Tij || = (2Tij Tjk Tki − Tij Tji Tkk + Tii Tjj Tkk )26Корни характеристического уравнения называются – главными значениями симметричноготензора T.II. Утверждения.1). Симметричный тензор 2-го ранга имеет только действительные главные значения.2).

Главные направления, соответствующие различным главным значениям, являютсяортогональными.3). Если главные значения различны, то главные направления определяются однозначно.4). Если два главных значения равны, но отличимы от первого,то имеем однопараметрическое семейство систем главных осей, которые можно получить одну из другой врезультате поворота вокруг первой главной оси.5). Если все три главных значения равны, то любая система ортогональных осей является системой главных осей.Доказательство: 1).По крайней мере, одно из этих главных значений является действительным.Обозначим его через λ1 . При λ = λI система однородных уравнений определяет по меньшей мере′одно главное направление ~µ1 . Если это направление принять за ось x1 новой системы координат, то′′′T11 = λI , T12 = T13 = 0.

Тогда характеристическое уравнение этого тензора будет иметь вид λI − λ00′′0T22 − λT23 ′′0T23T22 − λ или′′′′′(λI − λ)[λ2 − (T22 + T33 )λ + T23 T33 − T332 ] = 0Следовательно два других главных значения λII и λIII являются корнями квадратного уравнения,дискриминант которого положителен′′′′′′′′(T22 + T33 )2 − 4(T23 T33 − T332 ) = (T22 − T33 )2 + 4T2322). Если векторы µII , µIII определяют главные направления, соответствующие главным значениям λII , λIII , то имеемIII(Tij − λII δij )µII=0i = 0, (Tij − λIII δij )µiIIУмножая эти соотношения на µIIIj , µj соответственно и вычитая друг из друга получимIII(λII − λIII )µII=0i µi5Откуда, если λII не равно λIII , следует, что эти направления ортогональны.3).

Допустив многозначность, получим, что каждое первое главное направление должно бытьортогонально каждому второму и третьему главным направлениям, а каждое второе главное направление –ортогонально каждому третьему. Этот вывод противоречит тому, что в трехмерномпространстве не может быть более трех взаимно ортогональных направлений.Таким образом, предыдущие рассуждения показывают, что симметричный тензор второгоранга имеет по крайней мере одну систему главных осей.В случае не равных между собой главных значений существует только одна система главныхосей.′′′Если λII = λIII , то дискриминант квадратного уравнения равен нулю :T22 = T33 , T23 = 0.

Его′′корни λII = λIII = T22 = T33 . Матрица рассматриваемого тензора в этом случае имеет диагональ′′′ную форму независимо от выбора осей x2 , x3 если направление оси x1 совпадает с первым главнымнаправлением ~µ1 .Таким образом, если два главных значения равны, но отличимы от первого, то любой единичныйвектор – линейная комбинация векторов ~µII , µ~ III определяет главное направление. Следовательно,имеем однопараметрическое семейство систем главных осей, которые можно получить одну из другой в результате поворота вокруг первой главной оси.Если все три главных значения равны то любой единичный вектор, представляющий собой линейную комбинацию векторов ~µI , ~µII , ~µIII , представляет главное направление и любая система ортогональных осей – системой главных осей.III.

Тензор с различными главными направлениями λI , λII , λIII и соответствующими главныминаправлениями ~µI , ~µII , ~µIII , можно записать в видеIIIII IIITij = λI µIi µIj + λII µIIi µj + λIII µi µjВ самом деле, тензор Tij ставит в соответствие направлению µI вектор λI µIj , который имеет то женаправление; аналогичное замечание относится к направлениям ~µI , ~µII .Если координатные оси выбрать по главным направлениям, то тензор определится диагональнойматрицейλI 00T =  0 λII0 00 λIIIОбратно, три взаимноортогональные оси называются главными осями симметричного тензоравторого ранга, если матрица этого тензора принимает диагональную форму.IV. Степени тензоров 2-го ранга.

Уравнение Гамильтона–Кэли.Рассмотрим образование целых положительных степеней тензора второго ранга.Квадрат тензора T2 определяется как тензор Tip Tpj , куб T3 – как Tip Tpq Tqj , четвертаястепень T4 – как Tip Tpq Tqr Tr,j и т.д.Приведение матрицы симметричного тензора второго ранга к диагональной форме позволяет датьпростое определение степеням такого тензора.Если матрица тензора T имеет относительно системы главных осей диагональный вид, то матрицатензора Tn относительно той же системы координат имеет вид nλI00Tn =  0 λnII0 n00 λIIIТак как эта матрица имеет диагональную форму, то тензоры T и Tn имеют одни и те жеглавные оси.Каждое из трех значений λI , λII и λIII тензора T, удовлетворять характеристическому уравнению,а матрицы Tn имеют диагональный вид. Поэтому сам тензор T должен удовлетворять характеристическому уравнению.6Следовательно, имеет место уравнение Гамильтона–Кэли:T3 = I(1) T2 + I(2) T + I(3) δЭто уравнение позволяет получить более высокие степени тензора T в виде линейных комбинаций тензоров T2 , T, δ.

Коэффициенты этих линейных комбинаций представляют собой полиномы относительноосновных инвариантов I(1) , I(2) , I(3) . Действительно, если каждый член уравнения умножить на T, тополучим равенствоT4 = I(1) T3 − I(2) T2 + I(3) TПодставив T3 имеемT4 = (I2(1) + I(2) )T2 + (I(1) I(2) + I(3) )T + I(1) I(3) δПродолжая действовать таким образом, можно получить более высокие степени тензора T.5.

Тензорные поля.Определение. Пусть каждой точке P конечной области R пространства соответствует тензор Tранга n, компоненты которого представляют собой непрерывные функции положения точки P . Тогдаговорят, что в области R определено непрерывное тензорное поле ранга n.В произвольной точке ~r0 области R имеет место разложение в ряд Тейлора0Tijk... = Tijk...(~r0 ) + (xp − x(0)p )∂p Tijk... (r ) + . . .Здесь∂p =∂∂xpКаждый член разложения представляет собой тензор ранга n. Так как, независимо от выбора вектора ~r − ~r0 , это относится и к последнему из явно записанных, то согласно теореме деления тензоров,величины ∂p Tijk...

представляют собой компоненты тензора ранга n + 1.Таким образом, при переходе от одной декартовой системы координат к другой оператор ∂p ведетсебя как вектор, оператор ∂pq = ∂p ∂q = ∂x∂ p ∂x∂ q как тензор второго ранга и т.д.В символической записи оператор ∂p представляется при помощи смволического вектора ∇ – оператора набла.Градиент скалярного поля представляет собой вектор ∂p φ (Обозначается одним из способовgradφ = ∇φ = ∂p φ).Направление ∇φ в точке P совпадает с направлением нормали к поверхности уровня φ = const вточке P .При перемещении из точки P поля на бесконечно малый отрезок ds в направлении единичноговектора ~µ значение φ изменяется на величинуdφ(µ) = µi ∂i φ ds = ~µ · gradφ dsТаким образом, градиент скалярного поля φ ставит в соответствие каждому направлениюµ~ скаляр dφ(µ) /ds, который называется скоростью изменения φ в направлении ~µ.При этом градиент ∇φ указывает направление наибольшей скорости изменения, а модуль ∇φ представляет величину этой скорости изменения.Действительно, если единичный вектор µ~ касается поверхности уровня φ, проведенной через точку P , то скорость изменения φ в направлении ~µ равна нулю, т.е скалярное произведение векторов ~µи gradφ обращается в нуль.Определение.

Векторным градиентом векторного поля ~v называется тензор второго ранга∂i vk , полученный путем применения оператора ∂i к векторному полю ~v .7При перемещении из какой–либо точки P поля на бесконечно малый отрезок ds в направленииединичного вектора ~µ значение компонент vk вектора ~v изменяется на величину(µ)d vk= µj ∂j vk d sили символическиd~v (µ) = (~µ · ∇)~v d sОпределение. След векторного градиента ∂j vk представляет собой скаляр ∂j vj , который называетсядивергенцией векторного поля ~v (x) и символически обозначается через div ~vdiv ~v =∂v1∂v2∂v3++∂x1 ∂x2 ∂x3Определение. Вектор εijk ∂j vk , двойственный векторному градиенту ∂j vk называется вихрем илиротором векторного поля ~v (x) и символически записывается в виде ∇ ×~v или rot~v .

Его компонентыопределяются следующим образом(rot~v )1 =∂v3∂v2∂v1∂v3∂v2∂v1−, (rot~v )2 =−, (rot~v )3 =−∂x2 ∂x3∂x3 ∂x1∂x1 ∂x2Определение. Свертывание оператора ∂ij приводит к оператору Лапласса∂ii =∂2∂2∂2++∂x21 ∂x22 ∂x23Символически этот оператор записывается как ∇2 или как ∆.86. Интегральные теоремы.В области определения тензорного поля Tjkl... рассмотрим некоторую регулярную область V , ограниченную поверхностью S. Обозначим через ~ν единичный вектор внешней нормали к граничной поверхности S.Тогда имеет место Теорема Гаусса –Остроградского, которая дает преобразование интегралапо объему в интеграл по поверхности:ZZ∂i Tjkl... d V = νi Tjkl... d SVSВ обычной формулировке теорема Гаусса–Остроградского используется для векторного поля иутверждает, чтоZZ~~ · ~n dSdiv Ad V = AVSСледствием теоремы Гаусса–Остроградского является теорема Стокса, которая относится к замкнутому плоскому контуру L и к ограниченной им области.ZZ~~ν · rot~v d σ = ~v · dLΣLгде направление обхода кривой L и направление единичного вектора нормали ~ν к d S соответствуютправилу правогоR винта.~ назывется циркуляцией вектора ~v вдоль контура L.Интеграл ~v · dLLДругие примеры интегральных теорем:1.

Первое тожество Грина.ZZZ∂ψdS −grad φ · grad ψ dVφ∆ψdV = φ∂ν2. Второе тожество Грина.ZZ∂ψ∂φ(φ∆ψ − ψ∆φ)dV = (φ−ψdS∂ν∂ν)ЗдесьS.∂ψ∂νпредставляет собой скорость изменения ψ в направлении внешней нормали ν к поверхностиПримеры применения интегральных терем.1.Доказать, что векторное поле, имеющее нулевой ротор (безвихревое), является градиентным поле(потенциальным):векторное поле ~v , определенное в односвязной области и имеющее в этой области тождественноравный нулю ротор, можно представить как градиент скалярного поля φ.φ=ZP~~v · dL02.