Math (Лекции в PDF)

Лекция 2.Математические основы.План:1. Введение.2. Тензор.3. Тензор Леви–Чевиты. Вектор двойственный тензору второго ранга.Векторное произведение.4. Главные оси симметричного тензора второго ранга.5. Тензорные поля.6. Интегральные теоремы.7. Криволинейные координаты.1. Введение.Геометрические или физические величины, например, скорость частицы, удобно рассматривать всоответствующих системах координат.

В то же время подобные величины не зависят от выбора системыкоординат, что может быть использовано при их изучении. По координатам в одной системе можнооднозначно определить координаты этих величин в любой другой системе отсчета.Способ преобразования координат при переходе от одной системы к другой можноположить в основу классификации физических или геометрических величин.

Стремясь ктому, чтобы структура геометрических или физических уравнений не отражала особенностей используемой системы координат уравнения записывают в такой форме, чтобы они были справедливы в любойсистеме координат.Осуществление этой идеи в самом общем виде приводит к тензорному исчислению. Его изложение в общем виде здесь не предоставляется целесообразным, в частности, потому, что это отвлечетвнимание от механического содержания математических соотношений. Поэтому в дальнейшем будетиспользоваться прямоугольная декартова система координат и декартовы тензоры.2.

Тензор.Термин тензор ( от слова tension - напряжение) вначале появился в механике сплошной среды, гдекаждому элементу поверхности, проходящему через фиксированную точку, ставится в соответствиеотнесенный к этому элементу вектор напряжений.

Условия равновесия показывают, что соотношение между направлением нормали рассматриваемого элемента поверхности и векторомнапряжений линейно и однородно относительно направляющих косинусов нормали. Таким образом, напряженное состояние в какой-либо точке сплошной среды определяется при помощитензора – тензора напряжений в этой точке.Определение 1.Для любого направления в пространстве тензору ранга n можно поставить в соответствие тензор ранга n − 1 посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения.При этом скаляр соответствует тензору нулевого ранга, а вектор – тензору первого ранга.Например, относительно системы координат xi тензор ˆ ранга n определяется при помощи трехтензоров n − 1 ранга, а именно, своими проекциями ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 на координатные направления.

Значениеˆ для направления µ дается формулойˆ(µ) = ˆ1 cos(µ, x1 ) + ˆ2 cos(µ, x2 ) + ˆ3 cos(µ, x3 )Можно получить также определение связанное с преобразованием систем координат.′Если направление µ будет совпадать с направлением xp второй системы координат, то, вследствие′равенства µi = cpi , значение тензора ˆ по направлению xp определяется тензорным уравнением′ˆp = cip ˆi1′где Θi , Θp – тензоры ранга n − 1, представляющие собой проекции тензора ˝ по направлениям xi и′xp соответственно.Переходя к компонентам этого тензора в штрихованной системе координат и используя полученнуюранее формулу для преобразования компонент тензоров ранга n − 1, получаем формулу для преобразования компонент тензора ранга n:′Θpqr... = cip cjq ckr · · · Θijk...′′Действительно, если обозначить проекцию тензора Θp на направление xq –тензор ранга n − 2 через′Θpq , а проекцию тензора Θi на направление xj –также тензор ранга n − 2 через Θij , то в соответствиис тензорным уравнением, получим′ˆpq = cip cjq ˆij′′′Аналогично, обозначая проекцию тензора Θpq на направление xr –тензор ранга n − 3 через Θpqr , апроекцию тензора Θij на направление xk –также тензор ранга n − 2 через Θijk , то в соответствии стензорным уравнением, получим′ˆpqr = cip cjq ckr ˆijkЭтот процесс можно продолжить пока не получим в качестве проекций тензоры нулевого ранга.Следовательно приходим к следующему определению:Определение 2.В любой прямоугольной декартовой системе координат тензор ранга nопределяется 3n компонентами, которые при преобразовании координат′xj = cij xiпреобразуются по формуле′Θpqr...

= cip cjq ckr · · · Θijk...Тензорные операции.1. Умножение на скаляр. Умножение всех компонент тензора на один и тот же скаляр даетвторой тензор того же ранга, который называется произведением тензора на скаляр.T = λS2. Сложение тензоров. Сложение соответствующих компонент двух тензоров одинакового рангадает третий тензор того же ранга, который называется суммой двух тензоров.Tij = Rij + Sij3.

Умножение тензоров. Совокупность всех произведений, содержащих по одной компонентекаждого из двух тензоров, образует третий тензор, называемый произведением двух тензоров.Ранг произведения равен сумме рангов сомножителей.Например, произведение Tijk = Rij Sk тензора второго ранга Rij и вектора Sk представляет собойтензор третьего ранга.Другой пример.

Произведение T = ~u ~v (Tij = ui vj ) называется диадным произведением векторов. Заметим, что это произведение двух векторов не обладает свойством коммутативности ~v ~u = T T– результат транспонирования тензора T = ~u ~v .4. Свертка. Приравнивание двух буквенных индексов тензора ранга n дает тензор ранга n − 2 иназывается свертыванием тензора по этим индексам.Например, свертывание тензора второго ранга Tij дает скаляр Tii = T11 + T22 + T33 , который называется следом SpT тензора.Скалярное произведение векторов ~a и ~b можно рассматривать как след тензора Tij =ai bj .Другим примером свертывания служит образование целых положительных степеней тензора второго ранга.2Квадрат тензора T2 определяется как тензор = Tip Tpj , куб T3 – как Tip Tpq Tqj , четвертаястепень T4 – как Tip Tpq Tqr Tr,j и т.д.5.Образование изомеров.Перестановка двух индексов тензора дает другой тензор того же ранга, называемый изомеромтензора.Например, результат транспонирования тензора второго ранга – единственный изомер этого тензора.Тензор называется симметричным относительно двух индексов если он равен своему изомеру,полученному при перестановке этих индексов.Если же тензор равен своему изомеру с обратным знаком, то он называется антисимметричнымотносительно рассматриваемых индексов.Утверждение.

Любой тензор можно представить в виде симметричного и антисимметричного тензоров11Tij = (Tij + Tji ) + (Tij − Tji )22Утверждение. Если тензор Spqij... симметричен, а тензор Tpqmn... антисимметричен относительноиндексов p и q, то справедливо равенствоSpqij... Tpqmn... = 0Действительно, сумма определяемая немыми индексами p и q , содержит, например, член соответствующий p = 1, q = 2, а также член, отвечающий p = 2, q = 1. Сумма этих двух членов равна нулю,так как S12ij... = S21ij... и T12mn...

= −T21mn... .Используя этот факт, легко установить для произвольных тензоров второго ранга следующее тождество:Sij Tji = S(ij) + S|ij| T(ji) + T|ji| = S(ij) T(ji) + S|ij| T|ji|Где A(ij) – представляет собой симметричную, а A|ij| – антисимметричную часть тензора Aij .Критерии тензора – Теорема деления тензоров.′1). Пусть некоторая величина в прямоугольных декартовых координатах xi и xi определяется при′помощи чисел Aijk и Aijk соответственно, и пусть при любом наборе векторов ~u, ~v , w~ справедливоравенство′′′′Apqr up vq wr = Aijk ui vj wk′Тогда можно показать, что числа Aijk и Aijk являются компонентами тензора третьего ранга относи′тельно координатных систем xi и xiДоказательствоВыразим в этом равенстве нештрихованные компоненты трех векторов через штрихованныекомпоненты, используя формулы преобразования компонент векторов при переходе от одной системыкоординат к другой.В результате получим следующее соотношение:′′′′(Apqr − cip cjq ckr Aijk )up vq wr = 0Левая часть этого равенства представляет собой трилинейную форму компонент векторов ~u, ~v , w,~которая тождественно обращается в ноль ноль только тогда, когда обращаются в ноль все коэф′фициенты.

Это условие устанавливает тот факт, что величины Aijk и Aijk представляют собойкомпоненты тензора третьего ранга относительно нештрихованной и штрихованной систем координат.2). Аналогично можно показать, что величины Aijk представляют собой тензор третьего ранга, еслиизвестно, что Aijk Bij - есть вектор при любом выборе тензора второго ранга Bij .Легко получить обобщение указанных свойств для тензора любого ранга.3. Тензор Леви–Чевиты. Вектор двойственный тензору второго ранга. Векторноепроизведение.3В качестве примера тензора рассмотрим часто используемый тензор Леви-Чевиты. Введем следующую величину 1 εijk =−10в зависимости от того, что i, j, k образуют четную, нечетную или не образуют перестановку 1,2, 3.Пусть ~u, ~v , w~ представляют собой векторы, проведенные из начала координат O в точки U, V, W .Предполагается, что эти четыре точки не лежат в одной плоскости и никакие три из них не лежат наодной прямой.

При этом их направления представляют собой направления правосторонней системыкоординат.Рассмотрим параллелепипед с ребрами OU, OV, OW . Из аналитической геометрии известно, чтоабсолютная величина детерминанта u1 v1 w1 D = u2 v2 w3 u3 v3 w3 определяет объем параллелепипеда.При помощи εijk можно детерминант Dзаписать в видеD = εijk ui vj wkПри любом выборе векторов ~u, ~v , w~ D представляет собой скаляр. Тогда согласно теореме делениятензоров величины εijk задают тензор третьего ранга.

Он называется ε - тензором или тензором Леви–Чевиты.Посредством зависимостиti = εijk Tjkлюбому тензору второго ранга ставится в соответствие вектор ~t.Этот вектор называется вектором двойственным тензору T.Его компоненты будут:t1 = T23 − T32 , t2 = T31 − T13 , t3 = T12 − T21Из этих соотношений следует, что вектор двойственный тензору второго ранга, зависит только от антисимметричной части тензора. Вектор, двойственный симметричному тензоруравен нулю.Верно и обратное: равенство нулю двойственного вектора указывает на симметрию тензора.Неопределенное или диадное произведение ui vj двух векторов представляет собой тензор.Двойственный ему векторwi = εijk uj vkназывается векторным произведением векторов ~u и ~v .Соотношение1Tjk = εijk ti2позволяет каждому вектору поставить в соответствие тензор, двойственный данному вектору.4.