Mass (Лекции в PDF)

Лекция 6(5)Основные законы I.1. Закон сохранения массы.План: 1.Закон сохранения массы индивидуального объема.2.Уравнение неразрывности в переменных Эйлера.3.Закон сохранения массы для геометрического объема.4. Стационарное течение.5.Примеры уравнений неразрывности.6. Результаты связанные со свойствами гармонических функций.7.Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа.1.1.

Закон сохранения массы индивидуального объема.Уравнение неразрывностив переменных Эйлера.Рассмотрим законы движения материальных тел.Материальными телами называются, тела обладающие свойством инерции.Свойство инерции характеризуется массой m. Массу можно ввести как для всего тела, так и дляего частей. В механике Ньютона масса аддитивна: масса всего тела равна сумме масс mi его частейXm=miiФундаментальным законом ньютонианской механики является закон сохранения массы m любогоиндивидуального объема (состоящего из одних и тех же частиц сплошной среды). Этот закон можнорассматривать как опытно установленный закон природы, верный в определенном приближении.

Онформулируется следующим образом- масса индивидуального объема сохраняется во время движения:m = const илиdm=0dtЕсли ввести плотность∆mlim,∆V −→0 ∆Vто закон сохранения массы индивидуального объема V запишется в видеZdρdτ = 0dtρ=V (t)Используя формулу дифференцирования интеграла по подвижному объему это соотношение можнозаписать в видеZZZZ d∂ρ∂ρρdτ =dτ + ρ~v · ~ndσ =+ div(ρ~v ) dτ = 0dt∂t∂tV (t)VΣVЕсли ρ и ее первые производные непрерывны, то для непрерывного движения получим уравнениенеразрывности∂ρ+ div(ρ~v ) = 0∂tУравнение неразрывности можно записать в видеdρ+ ρdivdt1~v = 01.2.

Закон сохранения массы для геометрического объема.Проинтегрировав уравнение неразрывности для фиксированного геометрического объема с учетомформулы Гаусса-Остроградского получимZZ∂ρdτ + ρ~v · ~ndσ = 0∂tΣVили∂∂tZρdτ = −Zρ~v · ~ndσΣVПервый член этого соотношения представляет собой скорость увеличения массы в фиксированной части V пространства вследствие зависимости поля плотности от времени, а второй определяет скорость,с которой масса вытекает через граничную поверхность S этой части пространства.Равенство нулю суммы этих интегралов говорит о том, что масса, содержащаяся в фиксированной части V пространства, может увеличиваться только вследствие притока дополнительной массы через поверхность S.1.3. Примеры уравнений неразрывности.Несжимаемая среда. Среда называется несжимаемой, если любой ее индивидуальный объем остается во время движения постоянным по величине.Напомним, что на прошлой лекции было показано, что скорость относительного изменения объемаΘ=lim∆t−→0, V0 −→0V − V0= I1 = e1 + e2 + e3 = ∇α v α = div ~vV0 ∆tОткуда следуетУсловие несжимаемости среды:div ~v = 0.Плотность несжимаемой среды в частице не меняется.

Действительно, из уравнения неразрывностиdρ+ ρdiv при ~v = 0dtв этом случае имеемdρ= 0.dtВекторный потенциал. Солеидальное поле, в том числе и поле вектора скорости в случае несжимаемой среды может быть представлено в виде~v = rot ~uгде ~u – называется векторным потенциалом ~v .Однородная и неоднородная среда. Среда называется однородной, если плотность ρ одинаковаво всех частицах среды, т.е. она не зависит от пространственных координат x, y, z.

Среда называетсянеоднородной, если плотность ρ = ρ(x, y, z) –разная в разных частицах среды.2Установившиеся (стационарные) процессы. Процессы называются стационарными или установившимися, если все характеризующие эти процессы параметры в случае задания их с точкизрения Эйлера не зависят от времени.В случае стационарного движения уравнение неразрывности будетdivρ ~v = 0Из закона сохранения массы для стационарного течения имеемZρ~v · ~ndσ = 0ΣВ случае стационарных процессов вектор скорости перпендикулярен градиенту плотности:div(ρ~v ) = ρdiv~v + ~v · gradρ = ~v · gradρ = 0.Линия тока. Линия тока - это линия, в каждой точке которой вектор скорости потока направленпо касательной к этой линии.Трубка тока.

Трубкой тока называется тело, образованное линиями тока, проходящими через точкизамкнутой кривой.Утверждение. При стационарном течении несжимаемой среды скорость вдоль трубки тока изменяется обратно пропорционально площади поперечного сечения трубки.Доказательство. Пусть dS1 и dS2 –площади двух нормальных сечений трубки тока и движениенаправлено от dS1 к dS2 . При этом нормальная скорость в указанных сечениях соответственно равнаv1 и v2 , а плотность ρ1 и ρ2 . Заметим, что нормальная скорость на боковой поверхности трубки токаравна нулю (~v · ~n = 0). Применив к отрезку трубки, ограниченному этими нормальными сечениямиполученное уравнение, найдем, чтоρ1 v2 dS1 = ρ2 v2 dS2Безвихревое движение.

Движение называется безвихревым если вектор вихря ω~ , который определяется ротором скорости такого движения равен нулю:ω~ =1rot ~v = 02Напомним, что в случае безвихревых движений волокна, расположенные в данный моментвремени вдоль главных осей тензора скоростей деформаций, сохраняют в течении бесконечно малого промежутка времени свою ориентацию в пространстве.Теорема.

Поле скоростей безвихревого движения можно представит в виде градиента скалярногополя, который называется потенциалом скорости:~v = gradφПоэтому движение такого вида называется потенциальным течением.Доказательство.Доказательство следует из теоремы Стокса.3~ удовлетворяющего необходимым условиямФормулировка теоремы Стокса. Для любого вектора A,непрерывности и дифференцируемости имеемZZ~~ n dσAd~s = (rotA)ΣCГде C - замкнутый контур, на который можно натянуть гладкую поверхность Σ, и который можно~стянуть в точку, оставаясь в области непрерывности и дифференцируемости A.Возьмем между данными точками A и B два контура L1 и L2 (Рис. ), которые можно деформироватьдруг в друга в области непрерывного безвихревого движения.

Рассмотрим циркуляцию Γ вектораскорости по замкнутому контуру L1 + L2По теореме Стокса для безвихревого движения имеемZZΓ=(u dx + v dy + w dz) = 2 ωn dσ = 0.L1 +L2поэтомуΓAB =ZΣ(u dx + v dy + w dz) =L1Z(u dx + v dy + w dz).−L2Так как контуры L1 и L2 произвольные, то отсюда следует, что циркуляция скорости между точкамиA и B не зависит от пути интегрирования, а зависит только от координат конечной точки B, еслиначальная точка A фиксирована. Таким образом,Z(u dx + v dy + w dz) = φ(x, y, z)AB′Приращение циркуляции Γ на любом бесконечно малом участке BB , очевидно будет равноu dx + v dy + w dz = d φ(x, y, z)В силу произвольности d x, d y, d x будем иметьu=Теорема.∂φ∂φ∂φ,v=,u=∂x∂y∂zПотенциальное движение является безвихревым.Доказательство.Формальной проверкой легко получить, что если ~v = gradφ, то ~ω = 12 rot~v = 0.Уравнение неразрывности для потенциального течения.

Для потенциального течения уравнение неразрывности принимает видdρ+ ρ∆φ = 0.dtУравнение неразрывности для потенциального течения несжимаемой среды. В случае потенциального течения несжимаемой среды имеем уравнение Лапласса∆φ = 0.1.4. Результаты связанные со свойствами гармонических функций.Определение.Функции удовлетворяющие уравнению Лапласса называются гармоническими.41.4.1. Свойства гармонических функцийТеорема о среднем. Значение гармонической функции в данной точке M , равно среднему по поверхности любой сферы с центром в точке M :Z1φdσφM =4πR2SМожно показать, и обратно что всякая функция, непрерывная вместе со своими вторыми производными и удовлетворяющая в области D теореме о среднем для сфер S c произвольными радиусами(принадлежащим D) является гармонической функцией в этой области.Доказательство теоремы о среднем:Если взять в качестве поверхности S сферу радиуса R с центром в некоторой точке M , то наосновании предыдущего получимZZ∂φ 2∂R dω = R2φdω = 0∂R∂RΩΩгде dω –телесный угол, Ω – единичная сфера концентрическая S, значения подинтегральных функцийберутся в точках S, соответствующих точкам Ω.

Отсюда следует, что независимо от радиусасферы SZφdω = constΩт.е.Zφ = φM 4πR2 .ΩПоследнее равенство можно переписать в видеφM1=4πR2ZφdσSТеорема.D.Гармоническая функция не может достигать ни максимума, ни минимума внутри областиДоказательство. Действительно. Предположим противное. Пусть в некоторой M внутри D потенциал φ достигает минимума, тогда во всех точках N сколь угодно малой окрестности точки M должновыполняться неравенствоφM < φNНо при наличии такого неравенства теорема о среднем не может выполняться.Аналогично доказывается, что внутри D нет максимума функции φ.Следовательно, максимальные и минимальные значения потенциала φ регулярного течения несжимаемой жидкости в области D достигаются только на границе области D.Так как производные гармонической функции φ∂φ,∂x∂φ,∂y∂φ∂zтакже являются гармоническими функциями, то указанные свойства выполняются и для них.Теорема 1. Поток несжимаемой жидкости через любую замкнутую поверхность, расположеннуювнутри области D равен нулю.5Доказательство.