Mass (Лекции в PDF), страница 2

Это утверждение следует непосредственно из определения гармонической функции.Пусть S некоторая замкнутая поверхность, расположенная в области D, внутри которой происходит регулярное потенциальное течение несжимаемой жидкости. (Поверхность S может совпадать собластью D). V –объем ограниченный поверхность S.Используя теорему Гаусса–Остроградского с учетом уравнения неразрывности получимZZZZ∂φdσ = div ~v dτ = 0 ∆φdτ = 0vn dσ =∂nSSVVТеорема 2. Максимальное значение величины скорости при потенциальном движении несжимаемойжидкости достигается на границе регулярного потока жидкости.Рассмотрим квадрат величины скорости2v =∂φ∂x2+∂φ∂y2+∂φ∂z2Ни величина скорости ни ее квадрат гармоническими функциями не являются, тем не менее имеетместо следующая теорема.Доказательство.

Предположим противное: пусть в некоторой M внутри области величина скоростидостигает максимума. Тогда22vM> vNгде N –любая точка в достаточно малой окрестности точки M . Направим ось x параллельно скоростив точке M , тогда ∂φ∂φ∂φ= v > 0,= 0,=0∂x M∂y M∂z MТак как гармоническая функция ∂φ∂x в точке M не может иметь максимума, то в любой малойокрестности точки M найдется такая точка N , что ∂φ∂φ>∂x N∂x Mно при наличии этого неравенства подавно должно выполняться неравенство" 2 2 # 2∂φ 2∂φ∂φ∂φ2++>= vM∂x∂y∂z∂x MNТаким образом, внутри потока невозможна реализация максимума скорости.Максимальные значения скорости при потенциальном движении несжимаемой жидкости всегда достигаются на границах потока.

При непрерывном обтекании тел безграничным потоком максимальнаяскорость достигается на поверхности обтекаемых тел.Как будет показано позже при этом на поверхности оказывается минимальное давление,котороеможет вызвать явление кавитации, а из-за перепада давления на верхней и нижней поверхностях крылавозникает динамическая подъемная сила.1.5. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа.Получим дифференциальную форму уравнения неразрывности в переменных Лагранжа.Введем декартову прямоугольную систему отсчета с векторами базиса ~i, ~j, ~k.6Пусть координаты точек среды относительно этой декартовой системы координат в момент времениt0 будут xi0 , а в момент времени t – xi . Они являются значениями функций, задающих распределениечастиц в соответствие с законом движения в моменты времени t0 и t соответственноxi0 = xi (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t0 ),xi = xi (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t)Пусть радиус–вектор точки M относительно декартовой системы отсчета~r = xk~ek .Тогда∂xk∂~r~ek~ˆei = i =∂ξ∂ξ i1 , ~ˆedξ 2 , ~ˆedξ 3 ,В данный момент времени t в произвольной точке M сплошной среды на малых векторах ~ˆedξ123123направленных вдоль осей сопутствующей системы координат ξ , ξ , ξ построим элементарный малыйкосоугольный параллелепипед.Его объем будет равен1 2 3V = |~ˆe1 · (~ˆe2 × ~ˆe)dξdξ dξ |.3В другой произвольный момент t0 времени ему соответствовал параллелепид, построенный на векторах~e01 dξ 1 , ~e02 dξ 2 , ~e03 dξ 3 , с объемомV0 = |~e01 · (~e02 × ~e03 )dξ 1 dξ 2 dξ 3 |.Если плотность среды в моменты t0 и t соответственно ρ0 и ρ, то по закону сохранения масы будемиметьρ0 V0 = ρVили ~e0 · (~e0 × ~e0 ) V0 123 ρ = ρ0= ρ0 ~ˆe1 · (~ˆe2 × ~ˆe)V3Представим смешанное произведение в виде детерминанта ∂x1 ∂x2 ∂x3 1 ∂ξ 1 ∂ξ 12 ∂ξ 13 ∂x∂x~ˆe1 · (~ˆe2 × ~ˆe)= ∂ξ 2 ∂x3∂ξ 2∂ξ 2 ∂x1 ∂x2∂x3 333∂ξ∂ξ∂ξˆ якобиан преобразования от переменных ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 кЗдесь ∆ ∂x1 ∂x2 ∂x3 000 ∂ξ01 ∂ξ 1 ∂ξ 10 ∂x10 ∂x20 ∂x30~ˆe01 · (~ˆe02 × ~ˆe)3 = ∂ξ 2∂ξ 2∂ξ 2 ∂x1 ∂x23∂x00 3033∂ξ∂ξ∂ξˆ=∆переменным x1 , x2 , x3 .

Аналогично, = ∆0Где ∆0 – якобиан преобразования от переменных ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 к переменным x10 , x20 , x30 .Тогда используя свойство якобианов, получим уравнение неразрывности в виде i ∂x ∆0ρ = ρ0= ρ0 Det k0 ˆ∂x∆б) Выпишем уравнение неразрывности в переменных Лагранжа с использованием метрических тензоров начального и актуального пространства.kОбозначим для наглядности компоненты ∂xвекторов ~ˆei в системе x, y, z через eˆix , eˆiy , eˆiz . Тогда∂ξ i eˆ1x eˆ1yhi22ˆ = eˆ2x eˆ2y~ˆe1 · (~ˆe2 × ~ˆe)=∆3 eˆ3x eˆ3yeˆ1zeˆ2zeˆ3z2 eˆ1x eˆ1y eˆ1z = eˆ2x eˆ2y eˆ2z eˆ3x eˆ3y eˆ3z7 eˆ1x eˆ2x eˆ3x × eˆ1y eˆ2y eˆ3y eˆ1z eˆ2z eˆ3z = Detkgˆik k = ĝАналогично,0 20|~ˆe01 · (~ˆe02 × ~ˆe)|= Detkgikk = g03И следовательно уравнение неразрывности можно представить в видеsg0ρ = ρ0ĝс) Можно рассуждать также следующим образом.

Для сохранения массы в индивидуальном объемесплошной среды требуется, чтобы выполнялось уравнениеZZρ0 (ξ i , t0 )dV0 = ρ(xi , t))dVV0Vгде оба интеграла взяты по одним и тем же частицам, т.е. V – это объем, который занимает среда вмомент времени t, заполнявшая в момент t0 объем V0 .Используя закон движения сплошной среды получимZZZii iρ(x , t)dV = ρ(x (ξ , t), t) J dV0 = ρ(ξ i , t) J dV0VV0V0ГдеСледовательно, имеемZ i ∂x J = Det k ∂ξρ0 (ξ i , t0 )dV0 =V0Zρ(ξ i , t) J dV0V0Откуда в силу произвольности рассматриваемого объемаρ0 = ρJА это обозначает, что произведение ρJ не зависит от времени, т.е. чтоd(ρJ) = 0dtЗамечания.1.Уравнение неразрывности носит универсальный характер и выполняется при движениях любойматериальной среды (воды, воздуха, металла и т.д.), его вид не зависит от свойств среды.

В общемслучае в него входят четыре неизвестные функции, а для несжимаемой среды –три.Очевидно, что для решения задач механики сплошной среды одного уравнения неразрывностинедостаточно.2.Для распределения f любой величины φ сохраняющей свои значения в индивидуальном объемеможно получить уравнения аналогичные уравнению неразрывности в переменных Эйлера∂f+ div(f~v ) = 0 и∂tdf+ f div ~v = 0,dtf=∆φlim∆V −→0 ∆Vи в переменных Лагранжаf = f0sg0,ĝf0 = f J,8d(f J) = 0dt.