Liquid (Лекции в PDF)

1. Газы и жидкости1.1. Уравнения балансаНа предыдущих лекциях были получены основные уравнения механики сплошной среды, которыедолжны выполняться для всех процессов и движений, какие могут происходить в сплошной среде: а)уравнение неразрывностиdρ+ ρdiv ~v = 0dtб) уравнения движенияρak = ρF k + ∇i pkiв) уравнение энергии (притока тепла)ρdudqdq ∗∗= pij eij + ρ + ρ,dtdtdtρdq= −div ~qdtг) уравнение моментов в классическом случае сводится к симметрии тензора напряженийpij = pji∗∗При условии, что массовые силы F k и распределенные источники тепла dqdt заданы, указанныеуравнения составляют систему пяти независимых уравнений, содержащих четырнадцать неизвестныхфункций координат и времени.Неизвестными являются: плотность ρ, три компоненты скорости vi (или, что равносильно, компоненты перемещения ui ), шесть независмых компонент тензора напряжения pij , три компоненты векторапотока тепла qi , и плотность внутренней энергии u.В дополнению к этому должен быть выполнен второй закон термодинамики предписывающий также неотрицательность производства энтропии в адиабатических процессах!′′dsρ dq dqdqρ =+,> 0.dtT dtdtdtОн добавляет еще три неизвестные — плотность энтропии s и абсолютную температуру T и неком′пенсированное тепло dq .Значит, чтобы сделать систему замкнутой нужно изыскать еще одиннадцать уравнений.1.2.

Определяющие уравнения и уравнения переноса.Механические и физические свойства среды описываются соотношениями между тензорами и тензорными функциями. Такие соотношения называются определяющими уравнениями, которые характеризуют частные свойства изучаемой среды.Назначение определяющих уравнений состоит в том, чтобы установить математические соотношения между статическими, кинематическими и термодинамическим параметрами, описывающимиповедение материала при наличии механических и термодинамических воздействий.К ним относятся термодинамические уравнения состояния.

В случае двухпараметрических сред ихдва. Соотношения ,задающие закон теплопроводности (закон Фурье) (три проекции на оси координат).Еще шесть задают зависимости для тензора напряжений.Так как реальные среды реагируют на реальные нагрузки крайне сложным образом, определяющиеуравнения не пытаются отразить все наблюдаемые явления, связанные с конкретным материалом,а скорее служат для того, чтобы ввести некоторые идеализированные среды, такие, например, какидеально упругое тело или идеальная жидкость.Такие идеализации, или как они иногда называются модели сред, очень полезны тем, что ониразумно отражают поведение реальных сред в определенном интервале нагрузок и температур.11.3. Тензор напряжений.

Давление и вязкие напряжения.Гидростатическое давление. В любой жидкости (газе) в состоянии покоя вектор напряжения ~pnна произвольном элементе поверхности коллинеарен нормали ~n к поверхности и одинаков по величинедля всех напряжений в данной точкеp~n = −p~nЗдесь p — величина напряжения, или гидростатическое давление. Отрицательный знак указываетна сжимающее действие напряжения при положительном значении давления.Каждое направление является главным, иpij = −pgijКасательные напряжения. Тензор вязких напряжений. Касательные компоненты тензора напряжений равны нулю в покоящейся жидкости.

При движении компоненты касательных напряженийв общем случае не равны нулю, и обычно в этом случае тензор напряжений представляется обычно ввиде суммы двух слагаемыхpij = −pgij + τ ijпри этом τ ij называют тензором вязких напряжений, а p —давлением.Все реальные жидкости – сжимаемые и вязкие. Однако эти свойства очень различны у различныхжидкостей, и часто бывает возможным пренебречь этими в некоторых ситуациях без существеннойпотери точности.Идеальная жидкость. Это такая жидкость, в которой τ ij тождественно равны нулю даже еслипроисходит движение, т.е.p~n = −p~n, pij = −pgijВязкие жидкости.

Это такие жидкости при описании движения которых необходимо учитыватькасательные напряжения τ ij .pij = −pgij + τ ij1.4. Модель идеальной жидкости (газа).Определение. Идеальной жидкостью или идеальным газом называется такая среда, которая отвечает 3–м условиям:• вектор напряжения p~n на любой площадке с нормалью ~n ортогонален площадке. Следовательно,тензор напряжений в идеальной жидкости шаровой:pij = −pgij ;• это двухпараметрическая среда, в которой внутренняя энергия зависит от двух параметров, например, ρ и s,u = u(ρ, s);• это среда, в которой в случае непрерывных движений все механическием процессы обратимы иследовательно′dq = 0.2Экспериментальные данные и общие физические соображения показывают, что любая среда прине очень больших температурах и давлениях обладает такими свойствами.Эти три предположения при условии что u(ρ, s) задано, полностью фиксируют модель идеальногогаза или идеальной жидкости как в механическом, так и в термодинамическом смысле.Действительно, если массовые силы F~ и внешний приток тепла заданы, то уравнение неразрывностиdρ+ ρ div ~v = 0dtтри уравнения Эйлераai = Fi −1 ∂pρ ∂xiдва уравнения состоянияT =уравнение притока тепла∂u∂s2,p=ρρ∂u∂ρs1du = −pd + dqρи второй закон термодинамикиT ds = dqпредставляют собой замкнутую систему для определения семи неизвестных функций ρ, vi , p, s, T .′Адиабатические процессы.

В этом случае dq = 0, поэтому при dq = 0 имеемds = 0,иs = f (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ).т.е. в каждой индивидуальной частице энтропия сохраняется.Значение энтропии в частицах должно быть задано или определено из дополнительных условий,вытекающих из постановки конкретных задач.Баротропные процессы. Если при адиабатическом процессе энтропия s у всех частиц одинаковаs = const, то из уравнений состояния следует, что давление p и температура T зависят только от ρ,т.е. процесс является баротропным и система механических уравнений оказывается замкнутой, когдафункция u(ρ, s) известна.Изотермические процессы. Если независимыми термодинамическими переменными будут ρ и T ,то для определения модели сплошной среды выгодно задавать свободную энергию F (ρ, T ) = u − T s.Уравнения состояния в случае будут∂F∂Fs=−, p = ρ2∂T ρ∂ρ TЭти уравнения состояния справедливы для любых процессов, но их вид особенно удобен для изучения изотермических процессов.

Действительно, в этом случае при заданной функции T (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )или при T = const сразу получается, что давление p есть известная функция от ρ ( если grad T = 0,то P является функцией только от ρ и не зависит от ξ i ). Система механических уравнений в этомслучае замкнута если известна функция F (ρ, T ). При этом энтропия определена из первого уравнениясостояния, а уравнение притока тепла∂Fdq = −T d∂T ρпозволяет вычислить внешний приток тепла, необходимый для поддержания изотермического процесса.31.4.1.

Модель идеальной несжимаемой жидкости.Из условия несжимаемости вытекает, что для любой частицыρ(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = constВ случае неоднородной жидкости плотность ρ можно рассматривать как заданную функцию лагражевых координат; для однородной жидкости плотность одинакова для всех частиц.В этом случае имеем 4 уравнения для определения 4-x неизвестных: давления p(x, t) и вектораскорости ~v (x, t).условие несжимаемостиdiv ~v = 0и три уравнения Эйлера1 ∂pρ ∂xiЕсли идеальная несжимаемая жидкость неоднородная, то к этим уравнениям следует добавитьпятое уравнениеdρ= 0,dtкоторое служит для определения с точки зрения Эйлера функции ρ(xi , t).ai = Fi −1.4.2. Модель совершенного газа.Для совершенного газа плотность ρ, давление p и температура T связаны уравнением Клайперона—Менделеева•p = ρRTгде R – газовая постоянная.На основании этого уравнения и уравнения притока тепла с учетом второго закона термодинамики для обратимых процессов в идеальных средах имеемdu = T d(s + Rln(ρ/ρ0 ))Следовательно, для газов подчиняющихся уравнению Клайперона–Менделеева комбинацияZdρs+ Rρзависит только от u, а так какduT =,d(s + R ln ρ)Rто T является функцией толко u.

Поэтому ясно, что внутренняя энергия u и комбинация s+ R dρρмогут зависеть только от температуры и не зависят от плотности.Этот вывод сохраняется и в том случае, когда величина R является не константой, а являетсялюбой функцией плотности ρ.Полагая•du = cV (T )dTполучимs=ZcV (T )dTρ− R ln( )Tρ0Таким образом, для задания модели совершенного газа необходимо задать постояннуюR в уравнении Клайперона — Менделеева и задать удельную внутреннюю энергию какфункцию температуры T . Последнее с точностью до постоянной равносильно заданиютеплоемкости при постоянном объеме как функции температуры.41.4.3. Газ Ван–дер–Ваальса.Уравнение состояния Клайперона не соответствует действительности для сильно сжатых газов,когда плотность очень велика.

Это уравнение неверно также для состояний, близким к точкам конденсации газов в жидкость, и для жидкостей. Кроме того, при очень малых температурах, близким кабсолютному нулю, уравнение состояния Клайперона — Менделеева перестают удовлетворять общимзаконам термодинамики. Рассмотрим идеальный газ, подчиняющийся уравнению состояния Ван—дер—Ваальса, которое является уточнением уравнения Клайперона– Менделеева•p=ρRT− aρ21 − bρВведение в уравнение состояния знаменателя 1 − bρ = 1 − ρρ∗ приводит к резкому возрастаниюдавления при приближению плотности ρ к значению ρ∗ , которое выбирается большим.Добавочный член −aρ2 также существенен только при больших плотностях ρ. С помощью этого члена учитывается проявление сил отталкивания между молекулами, которые проявляютсятолько при их сближении, возникающем при большой плотности.Это уравнение описывает процессы вблизи точек конденсации газа и действительные связи длянекоторых диапазонов изменения параметров жидкой фазы.Для газа Ван–дер–Ваальса внутренняя энергия представляется формулой•u=ZTT012cV (T )dT − aρ + const = Φ (p + aρ )(1 − bρ) − aρ,ρа энтропия формулойs=ZTcV (T )dT(1 − bρ)ρ0+ R ln+ constTρT01.4.4.