Liquid (1106126), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Среда, в которой давление зависит только от плотности.Рассмотрим еще случай двупараметрической среды, для внутренней энергии которой верна формула следующего вида•u = f (ρ) + φ(s)Из уравнений состояния при этом получим•′′T = φ (s) и p = ρ2 f (ρ)Следовательно в этом случае для любых процессов давление зависит только от плотности, а температура – от энтропии. Эти уравнения состояния полностью заменяют собой уравнения притока тепла.1.5.

Вязкие жидкости. Стоксовы жидкости. Ньтоновы жидкостиПри установлении определяющих соотношений для вязких жидкостей в общем случае считают, чтотензор вязких напряжений τ ij является функцией тензора скоростей деформаций eij .Стоксовская жидкость. Если эта функциональная связь нелинейнаяτ ij = f ij (epq ),то жидкость называется стоксовской.5Ньютоновская жидкость. Eсли эта функция линейная, т.еτ ij = K ijkl ekl ,то жидкость называется ньютоновской.Коэффициенты K ijkl называются коэффициентами вязкости. Они определяются свойствами средыи могут зависеть от температуры, но не зависят от напряжений и скоростей деформаций.Так как левая часть τ ij определяющего соотношения представляет собой симметричный тензорвторого ранга при любом выборе симметричного тензора ekl , то коэффициенты K ijkl , образуюттензор четвертого ранга.Кроме того, из симметрии тензора напряжений следует равенствоK ijkl = K jiklА, вследствие симметрии тензора скоростей деформаций ekl без ограничения общности можно положитьK ijkl = K ijlkТаким образом, вследствие общих условий симметрии этот тензор вместо 9 × 9 = 81 компоненты имеетсамое большое 6 × 6 = 36 различных компонент.Во многих условиях это число еще уменьшается благодаря специальным условиям симметрии, отражающим структуру среды.Симметрия среды.

Среда обладает симметрией, если существует группа преобразований координат, содержащая не только тождественное преобразование, такая, что компоненты тензоров, задающихсвойства среды, не меняются при преобразованиях принадлежащих этой группе.Ортогональные преобразования. Ортогональные преобразования можно определить как преобразования не меняющие компоненты метрического тензора (не меняются скалярные произведения векторов базиса)∂xα ∂xβ′gij = gαβ i= gij∂y ∂y jПолная группа ортогональных преобразований содержит преобразования вращения (детерминантпреобразования равен 1) и преобразования вращения, сочетающиеся с зеркальными отражениями (детерминант преобразования равен -1).Изотропная, анизотропная и гиротропная среды.

Среда называется изотропной, если компоненты тензоров, определяющих ее свойства, не меняются при любых ортогональных преобразованиях.Свойства изотропной среды (например, вязкие) одинаковы по всем направлениям. В противном случае среду называют анизотропной. Если свойства среды инвариантны только относительно группывращений и не инвариантны относительно зеркальных отражений, то среда называется гиротропной.Наибольшее сокращение числа отличных друг от друга компонент получается для изотропной среды.В этом случае только два коэффициента K ijkl являются независимыми.Определяющие соотношения для изотропной однородной ньютоновской жидкости можно записатьв видеpij = −pgij + λgij div ~v + 2µeijгде λ и µ – коэффициенты вязкости жидкости.61.6.

Модель вязкой жидкости.Тензор напряжений. Вязкой жидкостью называется среда, в которой компоненты тензора напряжений и компоненты тензора скоростей деформаций связаны соотношениями видаpij = −pgij + τ ij (eαβ )где τ ij – вязкие напряжения, 2eαβ = ∇α vβ + ∇β vα , а p не зависит от eαβ .Для ньютоновской жидкости зависимость τ ij от eαβ линейная.

Если при этом жидкость изотропная,тоτ ij = λgij div ~v + 2µ eijТаким образом, для изотропной ньютоновской вязкой жидкостиpij = −pgij + λgij div ~v + 2µgiα gjβ eαβКоэффициенты вязкости для различных сред различны и могут быть функциями температурылибо постоянными для данной среды физическими коэффициентами. В некоторых приложениях требуется рассматривать также среды, для которых величины λ и µ являются функциями скалярныхинвариантов тензора eij , температуры T и других термодинамических характеристик. В дальнейшембудем рассматривать практически важный случай, когда коэффициенты вязкости являются постоянными.Уравнения движения линейной вязкой жидкости.

Если подставить выражение для тензоранапряжений в уравнения дыижения, то получим уравнения Навье — Стоксаρd~v~ − grad p + (λ + µ) grad div ~v + µ∆~v= ρFdtВместо коэффициента λ часто вводят коэффициент второй вязкости2ζ =λ+ µ3Тогда уравнения Навье – Стокса записывают в видеρd~v~ − grad p + ζ + µ grad div ~v + µ∆~v= ρFdt3Выражение для внутренней энергии.

Для определения модели вязкой жидкости следует задатьеще внутреннюю энергию как функцию, например, ρ и su = u(ρ, s),′Выражение для некомпенсированного тепла. Необходимо дать сведения о величине dq , так′как движение вязкой жидкости является, вообще говоря, необратимым процессом (dq 6= 0).Рассмотрим уравнение притока тепла. С учетом второго закона термодинамики его можно записатьв виде′du = −dA(i) + dq = −dA(i) + T ds − dqЭлементарная работа внутренних напряжений на единицу массы в случае вязкой жидкости будетpijpτ ijpτ ij eijdA(i) = − eij dt = gij eij dt −eij dt = div ~v dt −dtρρρρρС учетом уравнения неразрывностиdiv ~v = −71 dρρ dtполучим1 τ ij eijdA(i) = pd −dtρρСледовательно,1 τ ij eij′du = −pd +dt + T ds − dqρρСчитается, что и для вязкой сжимаемой жидкости температура и давление в покоящейся вязкойжидкости должны совпадать с соответствующими параметрами в покоящейся идеальной жидкости.Иными словами, температура и давление для любых процессов определяются из тождестваГиббса1du = −pd + T dsρт.е.

имеют место формулы ∂u∂up=−, T =∂1/ρ s∂s ρТогда выражение для некомпенсированного тепла будет′dq =τ ij eijdtρДиссипации механической энергии в вязкой жидкости. Наличие некомпенсированного теплаприводит к диссипации механической энергии в вязкой жидкости. Действительно, записав теоремуживых сил получимv21 τ ij eijd = dA(e) + dA(i) = dA(e) + pd −dt2ρρилиv21′d = dA(e) + pd − dq2ρ′Так как dq > 0, то за счет работы вязких напряжений кинетическая энергия в жидкостиможет только уменьшаться.Коэффициенты вязкости положительны. В случае линейной и изотропной жидкостиτ ij eijdt2dtI12′i 2ij2dq =dt =ζ − µ (ei ) + 2µe eij =ζI1 + 2µ I2 −ρρ3ρ3где I1 = gij eij , I2 = eij eij — первый и второй инварианты тензора скоростей деформаций.Легко видеть, что в главных осяхI12I1 2I1 2I1 2I2 −= e1 −+ + e2 −+ e3 −3333Отсюда непосредственно вытекает, что для произвольных движений в произвольной системе координатI2 −I12>03′Так как по условию ζ и µ не зависят от eij , то из второго закона термодинамики dq > 0 следует,чтоζ > 0,µ>01.7.

Уравнение притока тепла для вязкой теплопроводной жидкости.Напомним, что тепло к среде может поступать за счет различных механизмов: за счет теплопроводности, излучения, электрического тока, химических реакций и т.д.8Передача тепла за счет теплопроводности. При передаче тепла за счет теплопроводности имеетместо вектор потока тепла, такой что общий приток тепла dQ(e) к объему V может быть представленв следующем видеZZdQ(e) = −~q · ~ndσdt = −Σdiv ~q dτ dtVгде ~n – внешняя нормаль к поверхности ΣКоличество тепла, поступающее к бесконечно малому объему dτ за время dt, будет равно dQ(e) =−div ~qdτ dt, а к единице массы среды1dq (e) = − div ~qdtρВыражение для вектора потока тепла. Закон Фурье определяет зависимость вектора потокатепла от температуры~q = −λ grad TВектор потока тепла и градиент температуры имеют естественно противоположные направленияпоэтому коэффициент теплопроводности (λ > 0).

Можно рассматривать частные важные примеры,когда коэффициент теплопроводности постоянен или зависит только от температуры T .Выражение для притока тепла к единице массы среды за единицу времени за счет теплопроводностизапишетсяdq (e)λλλ= div grad T = ∇2 T = ∆TdtρρρУравнение притока тепла для вязкой жидкости будет иметь видdud1/ρ 1 ijλ= −p+ τ eij + ∆T.dtdtρρУравнение для производства энтропии в вязкой жидкостиTdsdud1/ρ1λ=+p= τ ij eij + ∆TdtdtdtρρДля жидкости, удовлетворяющей закону Навье–Стокса это уравнение можно записать в видеdsζ2 ij1λ22T= (div~v ) +e eij − (div~v ) + ∆Tdtρρ3ρЭто уравнение может служить для определения распределения температуры в жидкости.

Внутренняяэнергия u или энтропия при этом должны быть известны как функция температуры и плотности.Например, еслиZu=тоcv dT + const,dudT∂T∂T∂T∂T= cV= cV+u+v+wdtdt∂t∂x∂y∂zВ случае покоящейся несжимаемой среды имеем обычное уравнение теплопроводности 2∂Tλ∂ T∂2T∂2T=++∂tρcV ∂x2∂y 2∂z 2Итак, полная система уравнений движения вязкой жидкости будет состоять изуравнений Навье–Стокса, уравнения неразрывности, уравнения притока тепла,уравнений состояния.Примером модели вязкой сжимаемой среды может служить модель вязкого теплопроводногосовершенного газа, в которомp = ρRT, u = cV T + const9.

Характеристики

Список файлов лекций