Introduction (Лекции в PDF), страница 2

С ее помошью устанавливается соответствие между числами (координатами) и точками пространства.Материальная точка движется относительно системы координат x1 , x2 , x3 , если ее координатыменяются со временемxi = f i (t), (i = 1, 2, 3)Таким образом, движущаяся точка в разные моменты времени отождествляется с разными точкамипространства.Движение точки известно, если известны функции f i , называемые законом движения.Изучение движения сплошной среды как целого, вообще говоря, недостаточно.Определение.

Знать движение сплошной среды – это значит знать движение непрерывной совокупности точек (континиума), представляющей среду.Для этого необходимы правила индивидуализации отдельных, совершенно одинаковыхс геометрической точки зрения точек континиума.Индивидуальные точки сплошной среды можно, например задавать значениями их начальных координат ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 .Таким образом, для любой точки континиума, выделенной координатами ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , можно написатьзакон движения, в который входят функции уже не одной, как в случае движения точки, а четырехпеременных – начальных координат ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 и времени t.xi = xi ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , tЕсли ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 будут фиксированы, а t переменным, то эти функции дадут закон движения однойфиксированной точки континиума.Если же ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 будут переменными, а t -фиксировано, то они дадут распределение точек континиума в данный момент времени.Если же переменными будут ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 и t, то формулы определяют движение сплошнойсреды.Для всякой частицы ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 во всякий момент времени t закон движения указывает ее положение(относительно выбранной системы отсчета) – вектор ~r(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) трехмерного евклидова пространства.Координаты ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , индивидуализирующие точки сплошной среды (или иногда функции от них),и время t называются переменными Лагранжа.Непрерывность и взаимнооднозначность функций, задающих закон движения.5Будем предполагать, что функции входящие в закон движения континиума, непрерывны и имеютнепрерывные частные производные по всем аргументам.В последущем увидим, что во многих случаях предположение о непрерывности движения придетсяослаблять и рассматривать такие движения, сами характеристики которых или их производные терпятразрывы на отдельных поверхностях (ударные волны).Предположимтакже, что в каждый фиксированный момент времени t = const функции xi =i123x ξ , ξ , ξ , t являются взаимнооднозначными функциями.В этом случае якобиан преобразования ∆ 6= 0 во всех точках некоторого конечного объема.

Закон движения в этом случае можно разрешить относительно ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 и представить решение в виденепрерывных однозначных функцийξ i = ξ i x1 , x2 , x3 , tТочка зрения Лагранжа и точка зрения Эйлера. Отличие точек зрения Лагранжа иЭйлера на изучение движения сплошной среды. Переход от переменных Лагража к переменным Эйлера и наоборот.Использование в качестве независимых переменных ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 и времени t составляет точку зренияЛагранжа на изучение движения сплошной среды.

Она существенно опирается на описание историидвижения каждой точки сплошной среды в отдельности.Такое описание на практике часто оказывается слишком подробным и сложном, однако оно всегдаподразумевается при формулировке физических законов.С точки зрения Эйлера нас интересует не история движения индивидуальных точек сплошнойсреды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной геометрической точке пространства,связанного с системой отсчета наблюдателя.Пример: движение воды в реке.Геометрические координаты пространства x1 , x2 , x3 и время t носят название переменных Эйлера.Движение с точки зрения Эйлера считается известным, если параметры течения скорость, ускорение, температура и т.д.

заданы как функции x1 , x2 , x3 и времени t.~v = ~v (x1 , x2 , x3 , t),~a = ~a(x1 , x2 , x3 , t),T = T (x1 , x2 , x3 , t)При фиксированных x1 , x2 , x3 и переменном t эти функции определяют изменение со временемскорости, ускорения и температуры в данной точке пространства.

При фиксированном t и переменныхx1 , x2 , x3 –распределение характеристик движения в пространстве в данный момент времени.При переменных x1 , x2 , x3 , t –распределение характеристик движения в пространстве в разные моменты времени.Таким образом, с точки зрения Лагранжа мы интересуемся законами изменения скорости, ускорения, температуры и других величин для данной индивидуальной точки сплошной среды, а сточкизрения Эйлера в данном месте. С точки зрения Эйлера мы выделяем некоторую область пространстваи хотим знать все данные о частицах которые в нее приходят.Ясно, что математически точка зрения Эйлера отличается от точки зрения Лагранжа только тем,что в первой переменными являются координаты точек пространства x1 , x2 , x3 и время t, а во второй– параметры индивидуализирующие среду ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , и время t.Задания движения с точек зрения Эйлера и Лагранжа в механическом отношении эквивалентныдруг другу.Основной кинематической характеристикой при эйлеровом описании является поле скоростей ~v (x, t),где x = (x1 , x2 , x3 ).Если параметры движения известны с точки зрения ЛагранжаAi = Ai (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t),6то разрешив закон движения получимξ i = ξ i (x1 , x2 , x3 , t)Используя эти выражения перейдем к перменным Эйлера при определении параметров движения.Если параметры движения известны с точки зрения Эйлера, то используя закон также движениялегко перейти к переменным Лагранжа.Закон движения легко получить использую распределение скоростей, заданное с точки зрения Эйлера.Если задано распределение скорости с точки зрения Эйлера, то на соотношенияdx= u(x, y, z, t),dtdy= v(x, y, z, t),dtdz= w(x, y, z, t),dtможно смотреть как на систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно x, y, z.Решив эту систему найдем x, y, z как функции t и трех произвольных постоянных С1 , C2 , C3 которыеопределяются по значениям x, y, z в некоторый данный момент t0 и, следовательно, являются параметрами индивидуализирующими точку сплошной среды - переменными Лагранжа.Общие свойства взаимно-однозначных непрерывных отображений.Заметим, что совокупность значений x1 , x2 , x3 образует в пространстве область D, занимаемуютелом в данный момент времени t.Если координаты ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 рассматривать как значения координат x1 , x2 , x3 в некоторый другоймомент времени t0 , то область D0 соответствует объему, занятому телом в момент t0 .Закон движения можно рассматривать как взаимнооднозначное и непрерывное отображение областей D и D0 .Общие топологические свойства таких преобразований заключаюся в том, что любой объем V0 переходит в объем V , поверхность S0 в поверхность S, линия L0 в линию L.

Причем, замкнутая поверхностьпереходит в замкнутую поверхность, а замкнутая линия – в замкнутую линию.Например, объем не может перейти в точку, так как при этом нарушилось бы условие взаимной однозначности. Замкнутая линия не может перейти в незамкнутую линию, так как при этом нарушилосьбы условие непрерывности.Сопутствующая система координат.В случае движения сплошной среды можно ввести сопутствующую систему координат.При этом, наряду с координатами x1 , x2 , x3 лагранжевы координаты индивидуальных точек ξ 1 , ξ 2 , ξ 3можно рассматривать как другие координаты тех же точек пространства в области D.Соответствующая система координат ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 в том же пространстве образует подвижную деформируемую криволинейную систему координат, которая называется сопутствующей системой координат.Так, если в начальный момент t0 выбрать в сплошной среде некоторые координатные линии ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ,состоящие из точек сплошной среды (начальную лагранжеву систему координат), то в следующий момент времени они вместе вместе с точками континиума вновь перейдут в координатные линии сопутствующей системы.

Однако, если в начальный момент они были выбраны прямыми, то в следующиймомент времени они будут, вообще говоря, искривленными.Таким образом, если рассматривать систему координат, связанную с частицами сплошной среды,то она с течением времени меняется. Выбор такой системы координат в любой момент времени в нашейвласти, но в следующие моменты времени она уже не подвласна нам, так как она "вморожена" в средуи деформируется вместе с ней.

Такая вмороженная в среду система координат и определяетсякак сопутствующая система координат.Все точки сплошной среды всегда покоятся относительно подвижной сопутствующей системы координат.Понятие сопутствующей системы координат является обобщением на случай сплошной среды собственной системы координат твердого тела в теоретической механике.7Всегда, когда мы говорим о движении сплошной среды, необходимо индивидуализировать точки,и следовательно пользоваться лагранжевыми координатами.

Поэтому всегда при рассмотрении движения сплошной среды подразумевается наличие системы отсчета x1 , x2 , x3 , относительно которойрассматривается движение, и сопутствующей системы координат.Определения скорости, ускорения частицы сплошной среды; индивудуальной (материальной или полной производной).Скорость и ускорение частиц сплошной среды определяются соотношениями~v (ξ, t) =∂~r(ξ, t),∂t~a(ξ, t) =∂~v (ξ, t),∂tгдеξ = (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )Вообще скорость изменения некоторой величины A в индивидуальной частице сплошной средыназывается индивидуальной , материальной, или полной производной по времени этой величины.

При лагранжевом описании – это просто частная производная∂A(ξ, t)∂tИндивидуальная производная по времени величины A при эйлеровом описании будет∂A(ξ, t)dA(x, t)∂A(x, t)∂A(x, t)∂A(x, t)∂A(x, t)==+ v1+ v2+ v3∂tdt∂t∂x1∂x2∂x3Здесь v 1 = v 1 (x, t), v 2 = v 2 (x, t), v 3 = v 3 (x, t) – компоненты вектора скорости среды ~v (x, t) всистеме координат xi .При этом, первое слагаемое носит название локальной производной, а последние три в суммесоставляют конвективную производную.В частности ускорение ~a(x, t) при эйлеровом описании находится по формуле~a =∂~v (x, t)∂~v (x, t)∂~v (x, t)∂~v (x, t)+ v1+ v2+ v312∂t∂x∂x∂x38.