Introduction (Лекции в PDF)

Лекция 1План:1.Предмет и методы механики сплошной среды.2. Основные гипотезы.3. Изучение движения сплошной среды с точки зрения Лагранжаи с точки зрения Эйлера.1. Предмет МСС.Ранее в теоретической механике изучалось движение материальной точки, дискретных систем материальных точек и абсолютно твердого тела. При этом, в модели абсолютно твердого тела считалось,что расстояние между его точками в процессе движения не меняется.Механика сплошной среды–обширная часть механики, посвященная движению деформируемыхтел: газообразных, жидких и твердых.В механике сплошной среды рассматривается движение таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно, сплошным образом, и расстояние между точками которых во времядвижения меняется.Моделями механики сплошной являются модели жидкости, газа, плазмы, упругого тела, пластических сред и т.д.

Рассматриваются также особые среды -поля: электромагнитное поле, поле излучения,поле тяготения.Методы МСС.Важнейшей целью механики сплошной среды является установление общих свойств и законов движения деформируемых тел.В механике сплошной среды разрабатываются методы сведения механических задач к математическим, т.е. к задачам об отыскании некоторых чисел или числовых функций с помощьюразличных математических операций.Само решение конкретных задач механики сплошной среды также относится к механикесплошной среды.Это объясняется тем, что даже в простейших случаях математически поставленные задачимеханики сплошной среды получаются очень трудными и неразрешимыми эффективносовременно средствами математики. Поэтому приходится видоизменять постановки задач и находить приближенные решения на основе различных механических гипотез и соображений.Под влиянием механики сплошной среды ряд отраслей математики получил большое развитие: теория функций комплексного переменного, уравнения в частных производных, интегральные уравнения,вычислительные методы и др.Проблемы МСС:Назовем основные разрабатываемые механики сплошной среды:- Воздействие жидкости, газа и других деформируемых сред на движущиеся в них тела.1Особым стимулом развития этой проблемы послужили технические задачи о движении самодетов, вертолетов, дирижаблей, снарядов, ракет, кораблей, подводных лодок; Защита тел от сгорания исильного оплавления при входе тел с большими скоростями в плотные слои атмосферы.задачи о создании различных двигательных приспособлений - таких, как водяные и воздушныевинты.-Движение жидкости в ограниченных объемах.Например, в трубопроводах, насосах, турбинах, гидравлических машинах.В этих задачах основное значение имеют законы взаимодействия жидкости с границами потока, вчастности величина сопротивления твердых стенок.- Фильтрация - движение жидкости сквозь пористые среды.Нефтеотдача, движение грунтовых вод.- Гидростатика – равновесие жидкостей и тел, плавающих внутри и на поверхности жидкости.- Волновые движения в жидкостях, газах и твердых телах.Звуковые волны, сейсмические процессы, волны на поверхности жидкости.- Неустановившиеся движения сред с химическими и физическими превращениями.Взрыв, детонация, горение, химическая технология, динамика теплоносителей.- Теория турбулентных движений.Очень сложные, нерегулярные, случайные движения, пульсирующие около средних регулярныхпроцессов.Такими свойствами обладают большинство движений газов и жидкостей.- Магнитная гидродинамика и движение ионизованных сред.- Движение и равновесие твердых деформируемых тел.

Теория упругости. Пластичность,остаточные деформации. Ползучесть, нарастание деформаций при неизменных внешнихнагрузках.- Прочность и разрушение конструкций, образование и распространение трещин.- Движение многофазных сред.Жидкость с пузырьками, газ с каплями, водонасыщенные грунты, пористые материалы, нефтеносные пласты, суспензии, эмульсии.- Композиционные материалы, прочность.- Прогнозирование атмосферных потоков, метеорология.- Прогнозирование динамики естественных и техногенных загрязнений в почве, воде, атмосфере, озоновом слое, околоземном космическом пространстве.- Биологическая механика.Движение крови, сокращение мышц.Вытеснение одного биологического вида другим.Распространение эпидемии.- Динамика транспортных потоков.- Применение методов механики в экономике.2.

Основные гипотезы.При построении моделей описывающих поведение сплошных сред естественным с точки зренияфизики является подход основанный на кинетической теории газов и плазмы. При этом учитывается,что все тела состоятся из элементарных частиц и методами статистической физики описывается взаимодействие этих частиц.

При этом, основные уравнения (уравнения баланса , и уравнения переноса)в некоторых случаях (при Kn ≪ 1) могут быть найдены точно если известны потенциалы взаимодействия между частицами.Однако, сложное строение частиц и удерживающие их электрические силы взаимодействия не всегда известны. Приходится вводить дополнительные гипотезы о свойствах частиц и их взаимодействии.Для газов низкой плотности и сильно плотных газов методы кинетической теории даже не разработаны.2Мы будем пользоваться феноменологическим подходом, основанным на применении основных законов механики и термодинамики к макроскопическому объему сплошной среды.

Указанные законыявляются основными аксиомами при таком подходе.Кроме того, для замыкания полученной таким образом системы уравнений баланса постулируютсялинейные зависимости потоков от градиентов искомых функций-уравнения переноса. Коэффициентыэтих уравнений можно определить экспериментально или взять из кинентической теории газов, еслиони там получены.Заметим, что линейные уравнения переноса следуют и из кинетической теории газов.Феноменологическая теория является эффективным средством построения моделей механики сплошной среды и решения практически важных задач.1. Подчеркнем, что механика сплошной среды основана на гипотезе сплошности: предполагается,что среда занимает пространство непрерывно, сплошным образом.Поля также считаются непрерывным континиумом.Данные из физики свидетельствуют, что такой подход во многих случаях правомерен.На первый взгляд это не так.

Вообще все тела представляют собой совокупности разного сортамолекул, атомов, ионов и электронов.Основная масса вещества сосредоточена в ядрах атомов. Например, плотность железа ρF e = 7, 8г/см 3 ,а плотность его ядерного вещества ρ = 1, 16 · 1014 г/см 3 , таким образом, ρFρ e = 7 · 10−14 .При этом радиус ядра атома имеет порядок R = 10−13 см, а радиус молекулы на пять порядковбольше.Т.е по существу все тела "состоят из пустоты" , так как объемы занимаемые телами много большетех в которых сосредоточено само вещество.Однако, хотя все тела и состоят из отдельных частиц, но их много в любом существенном для насобъеме.Например, при обычных условиях (00 C, 1atm) один кубический сантиметр воздуха содержит N =2, 687 · 1019 молекул.

В кубике с ребрами в одну тысячную сантиметра (предел точности измеренийв технике) будет находиться N = 27 · 109 частиц.Кроме того, частицы находятся в постоянном хаотическом движении. Они постоянно сталкиваютсямежду собой. Путь свободного пробега молекулы водорода в обычных условиях l = 11, 2 · 10−6 cm, vср =1692m/s, для кислорода l = 6, 5 · 10−6 cm, vср = 425m/s, т.е. одна молекула за одну секунду сталкивается примерно 6, 54 · 109 раз.Поэтому тело можно проиближенно рассматривать как среду заполняющую пространство сплошным образом.Таким образом, гипотеза сплошности, используемая в механике сплошной среды эквивалентна предположению, что число Кнудсена Kn = Ll ≪ 1.

Здесь l -длина свободного пробега молекул, L - характерный размер задачи.Другие гипотезы являются основой механики Ньютона. Мы не будем учитывать эффекты теорииотносительности.Ньютонианская механика –это механика в евклидовых пространствах с абсолютнымвременем.2. Пространство – Длина вектора. Введем метрику пространства, т.е. укажем способ определениядлин в пространстве. Длина любого вектора выражается через его компоненты и скалярные произведения векторов базиса. Для определения длины вектора достаточно определить скалярные произведениявекторов базиса~ei · ~ej = gij ,которые, вообще говоря в данной точке могут быть произвольными числами.Квадрат длины вектора d~r по определению будет равен|d~r|2 = ds2 = d~r · d~r = d ξ i d ξ j ~ei · ~ej = gij d ξ i d ξ j ,3а квадрат длины любого вектора~ 2 = gij Ai Aj|A|Из yсловия инвариантности длины вектора d~r относительно выбора системы координат следуют тензорные формулы преобразования gij .Действительно,′|d~r|2 = gpq d η p d η q = gij d ξ i d ξ j = gijгдеaip =∂ξ i ∂ξ j p qd η d η = gij aip ajq d η p d η q∂η p ∂η q∂ξi∂ηp–коэффициенты, которые задают связь приращений координат dξ i и dη p .Таким образом, величины gij следует рассматривать как ковариантные компоненты тензора g, который называется фундаментальным метрическим тензором.Согласно определению скалярного произведения метрический тензор является симметричным тензором:gij = gjiКвадратичная относительно приращений координат dξ i форма gij d ξ i d ξ j называется фундаментальной квадратичной формой, задающей метрику – растояние между близкими точками пространства.Из алгебры известно, что всякую квадратичную форму с постоянными коэффициентами можно привести к каноническому виду, т.е.

в каждой выбранной точке можно найти такие координатыx1 , x2 , x3 , что квадратичная форма запишется в виде суммы квадратов:ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2Заметим, что выполнить такого рода преобразование сразу во всем пространстве, вообще говорянельзя, т.е. нельзя найти такую систему координат x1 , x2 , x3 , чтобы во всем пространстве фундаментальная квадратичная форма могла быть записана в виде суммы квадратов.Если такая система координат существует, то пространство называется евклидовым, если нет тонеевклидовым. Пространство называется псевдоевклидовым еслиds2 = αi dx2iгдеαi = ∓1В механике сплошной среды рассматриваются Евклидовы пространства - метрические пространства, в каждом из которых можно ввести единую для всех точек декартову систему координат. ирасстояния между точками которого определяются по формулеr=p(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2Напоминание.

Пространство – совокупность точек, задаваемых с помощью чисел. Метрическиепространства – в которых определены расстояния между точками.На плоскости всегда можно ввести единую для всего пространства декартову систему координат.На поверхности сферы этого сделать нельзя.3. Время Время, вообще говоря может зависеть от применяемой системы отсчета наблюдателя.В МСС используется абсолютное время – время течет одинаково для всех наблюдателей (в поезде,самолете, аудитории...).4. Система отсчета. Принцип относительности Галилея – Ньютона.4В ньютонианской механике особенное физическое значение имеет рассмотрение движенияотносительно инерциальных систем координат, движущихся относительно друг друга поступательно с постоянной скоростью. Наличие таких систем координат тесно связано с постулатами о евклидовости физического пространства и об абсолютном и одинаковом собственном времени для разныхточек. Оно является основным постулатом механики Ньютона.Все физические законы в физике Ньютона обычно формулируются в инерциальных системах координат и не зависят от выбора инерциальной системы координат.

В этом состоитзнаменитыйпринцип относительности Галилея – Ньютона.На практике в качестве исходной инерциальной системы координат можно выбрать декартову систему координат с центром в центре масс солнечной системы, в которой далекие звезды можно считатьнеподвижными.3. Изучение движения сплошной среды с точки зрения Лагранжаи с точки зрения Эйлера.1). Движение континиума. Об индивидуализации точек континиума.Движение определяется по отношению к некоторой системе отсчета - системе координат.