Eler (Лекции в PDF), страница 2

Постоянная Q в формуле для потенциала φявляется объемом жидкости, протекающей за единицу времени через каждую такую сферу (расход,мощность источника или стока).Решения уравнения Лапласа в силу его линейности можно складывать, дифференцировать, интегрировать и получать таким образом новые частные уравнения Лапласа.Например, частное решение уравнения Лапласа можно получить путем дифференцирования решения φ = 1/r по некоторому направлению ~s. В этом случае имеем ∂φ 1~r · ~s0(x − x0 )α + (y − y0 )β + (z − z0 )γφ=C= −C 3 = −C∂s rrr3dydzsГде С = const, α = dxds , β = ds , γ = ds –направляющие косинусы вектора ~Такое течение называется течением от точечного диполя в пространстве; С–называется моментом диполя, а направление ~s –его осью.Имеют важное значение также течения определяемые потенциалом объемного распределенияисточниковZ1Q(x0 , y0 , z0 )dx0 dy0 dz0p,φ=−4π(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2V0а также потенциалами простого и двойного слоев ZZq(M )dσ0∂1φ=, φ = µ(M )dσ0r∂n0 rΣΣЗдесь q(M ), µ(M ) –некоторые произвольные интегрируемые функции точек поверхности Σ, ~n0 –векторнормали к ней.6.

Потенциальные движения сжимаемой жидкости или газа, представляющие собоймалые возмущения известного состояния равновесия или движения.6В этом случае предполагается, что скорость, плотность, давление и их производные представляютсобой известные функции плюс неизвестные малые добавки. Если пренебречь малыми величинамипорядка выше, чем первый, то система уравнений становится линейной.Например, если движение представляет собой малое возмущение около состояния покоя, в которомотношение |gradρ|/ρ мало, то то имеем1 ∂P+ ∆φ = 0,a20 ∂t∂φ+P −U =0∂tгде a20 —значение производной dp/dρ, вычисленное для невозмущенного состояния покоя.Если потенциал массовых сил не зависит от времени, то получим волновое уравнение для φ∆φ =1 ∂2φa20 ∂t2Если жидкость несжимаемая, то волновое уравнение переходит в уравнение Лапласа.При рассмотрении конкретных задач необходимо находить решения волнового уравнения, удовлетворяющего соответствующим дополнительным условиям: краевым, начальным и другим.7.

Решения волнового уравнения с плоскими и сферическими волнами .В случае движения газа с плоскими волнами, потенциал φ зависит только от координаты x и времени t. Волновое уравнение в этом случае будет∂2φ1 ∂2φ=∂x2a20 ∂t2Общее решение этого уравнения имеет видφ(x, t) = f1 (x − a0 t) + f2 (x + a0 t) = f1 (ξ) + f2 (η)где f1 (ξ), f2 (η)—произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументовξ = x − a0 t,ДействительноПрогресивные волны.Рассмотрим случайη = x + a0 ti∂2φ1 ∂2φ1 2 h ′′′′′′′′=f(ξ)+f(η)==af(ξ)+f(η)11011∂x2a20 ∂t2a20φ = f1 (x − a0 t) = f1 (ξ)и допустим, что в момент времени t = 0 потенциал возмущенного движения имеет вид, изображенныйна рис.т.е. функция f1 (ξ) отлична от нуля только на участке от 0 до x0 = ξ0 .В любой последующий момент времени t > 0φ(x, t) = f1 (x − a0 t) = f1 (ξ)и потенциал φ(x, t) отличен от нуля только при 0 6 x − a0 t 6 x0 , т.е. при a0 t 6 x 6 x0 + a0 t.Следовательно, область возмущенного движения переместится вправо по оси Ox на расстояние a0 t.7Поступательная скорость распространения первоначального возмущения вдоль оси Ox будет равнаs dpa0 =− −"скорости звука" в невозмущенном состоянии покояdρ 0Отсюда непосредственно видно, что скорость a0 действительно представляет собой скоростьраспространения слабых возмущений, этим и опрадывается название a0 –"скорость звука",так как в частности звуковые колебания можно рассматривать как малые механические возмущенияв жидкостях, газах и вообще в деформируемых средах.Рассматриваемое возмущенное движение представляет собой перемещающуюся поступательно вправо прогресивную волну неизменного вида.Существенной особенностью решения для плоских волн при малых возмущениях является свойствосохранения в пространстве формы возмущения.Аналогично, решениеφ(x, t) = f2 (x + a0 t) = f1 (η)представляет собой прогресивную волну, распространяющуюся влево со скоростью a0 , а сумма решений представляет собой сумму двух прогрессивных волн, одна из которых распространяется вправо, адругая влево вдоль оси Ox cо скоростью звука a0 .

В общем случае если f1 , f2 отличны от нуля толькона конечном интервале 0 6 ξ 6 x0 и 0 6 η 6 x0 с течением времени произойдет разделение первоначального возмущения на две отдельные прогресивные волны, распространяющиеся в разные стороны.Это разделение произойдет за конечное время t1 = x0 /a0 .В случае возмущенного движения со сферическими волнами предполагается, что движение газа обладает сферической симметрией pотносительно начала координат. При этом потенциал возмущенногодвижения зависит только от r = x2 + y 2 + z 2 и от времени t. Так как в этом случае∆φ =1 ∂ 2 (rφ)r ∂r 2то волновое уравнение со сферическими волнами имеет вид∂ 2 (rφ)1 ∂ 2 (rφ)=∂r 2a20 ∂t2Общее решение уравнения со сферическими волнами можно представить в видеφ=f1 (r − a0 t) f2 (r + a0 t)+rrгде f1 , f2 –произвольные дважды дифференцируемые функции своего аргумента r ± a0 t.Рассмотрим решение видаQ(a0 t − r)φ=−4πrгде Q–аналитическая функция своего аргумента.

Этот потенциал скоростей, удовлетворяющий волновому уравнению, можно рассматривать как обобщение соответствующего потенциала от источника внесжимаемой жидкостиQ(t)φ=−,4πrудовлетворяющего уравнению Лапласа.Действительно, при малых r, разложив Q в ряд Тейлора получим′φ=−Q(a0 t) Q (a0 t)++ O(r),4πr4πглавный член которого совпадает с выражением для потенциала скоростей течения от источника,расположенного в точке r = 0 в несжимаемой жидкости. Переменный объемный расход этого источникаопределяется функцией Q(a0 t).8Рассматриваемое решение представляет собой движение с расходящимися от точки r = 0сферическими волнами.Пусть в точке r = 0 безграничной массы жидкости имеется источник, который действует некоторыймалый промежуток времени τ .

Зависимость расхода этого источника Q(a0 t) от времени t имеет вид,изображенный на рис.Из вида решения ясно, что при t > 0 и r > 0 потенциал возмущенного течения будет отличен от нулятолько тогда, когда a0 t − r будет лежать в пределах 0 6 a0 t − r 6 a0 τ . Т.е. в каждый фиксированныймомент времени t > 0 потенциал φ будет отличен от нуля только для тех r, которые удовлетворяютнеравенствуa0 (t − τ ) 6 r 6 a0 tТаким образом область возмущенного течения будет расположена между двумя сферами S1 и S2радиусов r1 = a0 (t − τ ) и r2 = a0 t = r1 + a0 τ c центрами в точке r = 0.Указанная область возмущений подвижна. Ее передний и задний фронты возмущения распространяются по жидкости со скоростьюdr1dr2== a0dtdtВ противоположность плоским волнам, форма которых при их распространении сохраняется, интенсивность сферических волн при их распространении со временем падает благодаря наличию множителя 1/r.

Это связано с тем, что распространяясь возмущения захватывают область пространствамежду двумя сферам S1 и S2 объем которой возрастает пропорционально r 2 .Аналогично можно рассмотреть решение волнового уравнения видаφ=Q(r + a0 t),4πrкоторое представляет собой сходящиеся из бесконечности к точке r = 0 сферические волны(источник в бесконечности).Запаздывающие потенциалы. Эффект Доплера.Возмущения, посланные источником в несжимаемой жидкости мгновенно распространяются на всюмассу жидкости.В сжимаемых средах возмущения распространяются с конечной скоростью, причем малые возмущения распространяются со скоростью звука a0 .Таким образом, возмущения посланные из точки r = 0 доходят до некоторой точки через определенное время.

Поэтому решения такого вида называются запаздывающими потенциалами.С помощью рассмотренных решений можно строить другие решения.Изучим поле возмущений от источника, движущегося в бесконечной массе жидкости вдоль прямойс постоянной дозвуковой скоростью U0 < a0 .Пусть в некоторый начальный момент времени t1 источник находился в точке с координатой x1 ,все возмущения от него также сосредоточены в этой же точке. За промежуток времени t2 − t1 источникпередвинется на расстояние U0 (t2 − t1 ) и попадет в точку M2 с координатой x2 . Возмущения за этовремя из точки M1 распространятся до поверхности сферы радиуса r1 = (t2 − t1 )a0 с центром в точкеM1 и обгонят источник (r1 > x2 − x1 = M1 M2 ).Итак, возмущения от источника обгоняют сам источник, и он движется уже по возмущенной среде.Во-вторых возмущения посланные источником из предыдущих положений всегда обгоняют возмущения посланные источноком из последующих положений, и если он двигался бесконечно долго, товся среда перед и за источником возмущена.В третьих, картина распространения возмущений от подвижного источника несимметрична.