Eler (Лекции в PDF)

Лекция 15(14)Идеальная жидкость.План: 1. Уравнения Эйлера. Уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеки—Лемба.2. Общая теория установившихся движений идеальной жидкости и газа. Интеграл Бернули.3. Потенциальные течения идеальной жидкости. Интеграл Кощи—Лагранжа.4. Потенциальные течения идеальной жидкости и газа при наличии баротропии. Система уравнений.5. Потенциальные движения несжимаемой жидкости.

Примеры потенциалов.6. Потенциальные движения сжимаемой жидкости или газа, представляющие собой малые возмущения известного состояния равновесия или движения. Волновое уравнение.7. Решения волнового уравнения с плоскими и сферическими волнами . Эффект Доплера. КонусМаха.8. Упругие волны в изотропной среде.1. Уравнения Эйлера. Уравнения движения идеальной жидкости в формеГромеки—Лемба.1. Уравнения движения сплошной среды в любой криволинейной системе координатρak = ρF k + ∇i pkiдля идеальной жидкости (pki = −pgki ) запишутся в видеρak = ρF k − gki ∇i pили в векторном видеd~v~ − gradp= ρFdtВ проекциях на декартовы оси координат эти уравнения запишутся в следующем видеρρdu∂p= ρFx −dt∂xρdv∂p= ρFy −dt∂ydw∂p= ρFz −dt∂zУравнения движения идеальной жидкости и называются уравнениями Эйлера.2.

Легко видеть, что ускорение всегда можно записать следующим образомρd~v∂~vv2=+ grad+ 2~ω × ~vdt∂t2где ω~ = 12 rot ~v —вектор вихря.Действительно, используя декартову систему координат, для проекции ускорения на ось Ox имеемdu∂u∂u∂u∂u∂u 1 ∂∂v∂u∂u ∂w=+u+v+w=+u2 + v 2 + w2 − v−+w−=dt∂t∂x∂y∂z∂t2 ∂x∂x ∂y∂z∂x∂u 1 ∂v 2∂u 1 ∂v 2++ 2(ωy w − ωz v) =++ 2(~ω × v)x∂t2 ∂x∂t2 ∂x1Аналогичные формулы получаются и для проекций ускорения на оси Oy и Ox.Поэтому уравнения движения идеальной жидкости можно записать в виде∂~vv2~ − 1 grad p+ grad+ 2~ω × ~v = F∂t2ρЭти уравнения носят название уравнений Эйлера в форме Громеки—Лемба.2. Общая теория установившихся движений идеальной жидкости и газа. ИнтегралБернули.Установим первый интеграл уравнений движения идеальных жидкости или газа в случае установившихся движений.Так как движение установившееся, то∂~v=0∂tПримем также, что внешние массовые силы обладают потенциалом~ = grad UFФункция давленияРассмотрим в потоке жидкости некоторую произвольную линию L и введем вдоль нее направлениеотсчета длины l, начиная от некоторой точки О.

Заданием длины l будет фиксироваться точка на этойлинии. Через dl обозначим элемент касательной к линии L в произвольной точке M (рис.)Проектируя уравнения Эйлера в форме Громеки—Лемба на направление касательной к L в произвольной точке M с учетом сделанных предположений получим ∂ v21 ∂p ∂U+−= −2(~ω × ~v )l∂l 2ρ ∂l∂lВдоль данной линии плотность и давление являются функциями длины дуги l. Эти функции вообщеразличны для различных линий:ρ = ρ(l, L) и p = p(l, L)Однако, вдоль данной линии плотность всегда можно считать функцией давленияρ = ρ(p, L)Поэтому можно ввести функцию давления P :P = P (p, L) =так чтоZdp+ const =ρ(p, L)Zpdp,ρ(p, L)p1 = constp11 ∂p∂P=ρ ∂l∂lПодчеркнем, что это равество и определенная функция давления P (p, L) имеют место только дляданной линии L.В случае баратропных процессов, если известна зависимостьp = p(ρ)функция давления не зависит от от линии L, если p1 не зависит от L.Примеры21. Для однородной несжимаемой жидкостиP =p+ constρ2.

Для изотермических процессов в совершенном газеP = RT ln p + constИнтеграл Бернулли вдоль линии тока и вихревой линии.Введя функцию давления проекцию уравнений движения можно записать в виде∂ v2+ P (p, L) − U = −2(~ω × ~v )l∂l 2В случаях если L является линией тока или вихревой линией проекция векторного произведения(~ω × ~v )l = 0, так как векторное произведение ~ω × ~v будет перпендикулярно к этой линии, и мы имеем∂ v2+ P (p, L) − U = 0∂l 2илиv2+ P (p, L) − U = i∗ (L)2В тех случаях, когда функция давления известна полученное соотношение является первым интегралом уравнений движения и называется интегралом Бернулли.Замечание.При наличии баротропии постоянная интеграла Бернулли одинакова для части или всей массыжидкости и не зависит от линии тока или вихревой линии, если векторное произведение ω~ ×~v = 0 в этоймассе жидкости.

Это может быть в трех случаях: 1) гидростатика (~v = 0); 2)потенциальное движение(~ω = 0); 3) когда вектор вихря ω~ коллинеарен вектору скорости ~v (например винтовое движение).В этих случаях для определения постоянной в интеграле Бернулли достаточно знать входящиев левую часть интеграла характеристики движения жидкости только в одной произвольной точкеобласти.Пример–интеграл Бернулли для несжимаемой тяжелой жидкости.Пусть несжимаемая однородная жидкость движется в поле сил тяжести.

Если направить ось Ozвертикально вверх, тоU = −gz + constи интеграл Бернулли примет видv2 pv2p1+ + gz = i∗ = 1 ++ gz12ρ2ρ1Здесь постоянная i∗ определена по значениям параметров в точке с координатой z1 .Примеры: водослив, трубка Пито–Прандтля, динамическое и гидростатическое давление, течениенесжимаемой жидкости в трубе переменного поперечного сечения, кавитация.Динамическое и гидростатическое давление.Из интеграла Бернулли следуетp = p1 + ρg(z1 − z) +ρv12 ρv 2−.22Видно, что давления в двух точках на линии тока, как и в гидростатике, отличаются на величину2ρv2ρg(z1 − z), вызванную разностью уровней и, кроме того, на величину 21 − ρv2 , связанную с разностьюскоростей в этих точках. Назовемp1 + ρg(z1 − z) = pгстгидростатическим давлением, а3ρv12 ρv 2−= pдин динамическим давлением22Если поместить тело в поток жидкости или газа, то на тело будут действовать силы, связанныево первых, с неравномерностью распределения гидростатического давления (сила Архимеда) и, вовторых, с неравномерностью распределения динамического давления по поверхности тела.Можно показать, что разность давлений в точках 1 и 2 на верхней и нижней частях крыла засчет даже сравнительно небольшой разницы в скоростях (≈ 10м/сек ) на два порядка больше разностидавлений за счет разности уровней.При установившемся горизонтальном полете самолета полная подъемная сила равна конечно весусамолета, а сила Архимеда равна весу воздуха с плотностью, отвесающей высоте полета, в объемесамолета.

Ясно, что сила Архимеда меньше тысячных долей полной подъемной силы.3. Потенциальные течения идеальной жидкости. Интеграл Кощи—Лагранжа.Для потенциальных течений идеальной жидкости как установившихся, так и неустановившихся,может быть получен первый интеграл уравнений Эйлера. Этот интеграл носит название интегралаКоши—Лагранжа.Запишем уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеки—Лемба∂~vv2~ − 1 grad p+ grad+ 2~ω × ~v = F∂t2ρПредположим, что 1) движение потенциальное ( ω~ = 0, ~v = grad φ);2) имеет место баротропия (p = p(ρ)) и, следовательно, можно ввести единую для всего потокафункцию давленияZ1dp,grad p = grad PP (p) =ρ(p)ρ~ = grad U ) и имеет место интеграл Коши—ЛагранжаТогда массовые силы обладают потенциалом (F∂φ v 2++ P − U = f (t)∂t2где f (t)—произвольная функция времени.Действительно, при предположениях 1) и 2) уравнение Громеки—Лемба записывается в виде∂φ v 2~grad++P =F∂t2откуда и следует это утверждение.Для того, чтобы найти f (t), достаточно знать левую часть интеграла как функцию времени вкакой–либо точке потока.Пользуясь тем, что потенциал φ определен с точностьюдо произвольной функции времени, вмеRсто потенциала φ можно ввести потенциал φ1 = φ − f (t)dt.

Поле скоростей при этом не изменится~v = grad φ = grad φ1 . После такой замены в правой части интеграла Коши–Лагранжа будет стоятьнуль. В этом случае потенциал определяется с точностью до аддитивной функции по времени и покоординатам.Интеграл Коши–Лагранжа может служить для тех же целей, что интеграл Бернулли: если потенциалы скоростей φ и внешних сил U известны, то с его помошью можно определить распределениедавления.В частном случае, когда потенциальное движение жидкости или газа установившеесяинтеграл Коши–Лагранжа имеет видv2+ P − U = const = i∗2и совпадает с интегралом Бернулли, в котором постоянная i∗ одинакова для всей массы жидкости,а функция давления зависит только от давления (из–за баротропии).44.

Потенциальные течения идеальной жидкости и газа при наличии баротропии.Cистема уравнений.Основными уравнениями потенциальных течений идеальной жидкости в случае баротропных процессов (ρ = ρ(p)) являются:уравнение неразрывности1 dρ+ div (grad φ) = 0ρ dtи интеграл Коши–Лагранжа∂φ 1+ (grad φ)2 + P − U = f (t)∂t2Для дифференциала функции давленияZdpP =ρ(p)имеемa2dp= dρ,dP =ρρСледовательно,1 dρ1 dP= 2,ρ dta dta=sdpdρa = a(P )Система уравнений тогда запишется в виде1 dP+ ∆φ = 0,a2 d t∂φ 1+ (grad φ)2 + P − U = 0∂t2Неизвестными в этой системе являются функция давления P и потенциал скоростей φ. В общемслучае эту нелинейную систему дифференциальных уравнений проинтегрировать трудно.

Рассмотримважные классы движений, для которых методы решения системы уравнений хорошо разработаны.5. Потенциальные движения несжимаемой жидкости. Примеры потенциалов.Класс потенциальных движений несжимаемой жидкости мы рассматривали ранее. В этом случае dp2a =−→∞dρи первое уравнение системы сводится к уравнению Лапласа∆φ = 0Второе уравнение системы в этом случае служит для определения давления.В такой постановке рассматриваются задачи о движении воды, возникающих при перемещении вней твердых тел, задачи о волнах на поверхности воды, задачи о струйных течениях жидкости и многиедругие.Примером потенциального течения может служить поступательное течение с постоянной скоростью вдоль оси Ox:∂φ∂φ∂φ= u0 ,= 0,=0∂x∂y∂zДругими важными примерами потенциального течения являются течения от точечных источников и стоков.

В этом случаеQφ=−4πr5гдеr=px2 + y 2 + z 2 , Q = const, или Q = Q(t)Поверхностями равного потенциала (эквипотенциальными поверхностями) в этом случае являютсяповерхностиr = const − −концентрические сферы с центром в начале координат.Cкорость ~v = grad φ ортогональна этим сферам, т.е. направлена по радиусам.

Линии тока являютсялучами, выходящими из начала координат. Если Q > 0, то так как gradφ направлен в сторону ростаφ, вектор скорости ~v направлен по ~r, Если Q < 0, то вектор скорости направлен по −~r (к началукоординат).При Q > 0 имеем вытекание жидкости из начала координат по всем направлениям– течение отточечного пространственного источника; при Q < 0 –втекание жидкости в начало координат –сток.Величина скорости равна ∂φ |Q||(gradφ)r | = =∂r4πr 2Скорость стремится к нулю при r −→ ∞ и к бесконечности при r −→ 0.Через элемент сферы dσ за единицу времени протекает объем жидкости vdσ, а через всю сферуZZvdσ = v dσ = 4πr 2 v = QSSВычисленный объем жидкости не зависит от сферы.