Lecture14 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 14Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными(СЛАУ)Однородная система (ОСЛАУ)Рассмотрим систему, состоящую из однородных линейных уравнений с неизвестными:11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 0, + 22 2 + ⋯ + 2 = 0,{ 21 1⋮1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0.Здесь 1 , …, — неизвестные числа, — известные числа. Такая система называетсяоднородной системой линейных алгебраических уравнений.Введём обозначения: = ( )×1121=( ⋮11222⋮2… 1… 2⋱⋮ ),… 12 = ( ⋮ ),00 = ( ).⋮0Матрица называется основной матрицей системы.Тогда ОСЛАУ можно записать в матричном виде: = .Очевидно, что ОСЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение: 1 = 0, 2 = 0, …, = 0.Такое решение называется тривиальным. Кроме того, могут существоватьнетривиальные решения — такие решения, в которых хотя бы одно из чисел1 , 2 , …, отлично от нуля.Теорема 14.1 (необходимое и достаточное условие существования нетривиальногорешения ОСЛАУ). ОСЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когдастолбцы матрицы линейно зависимы.Докажем необходимость.

Пусть ОСЛАУ имеет нетривиальное решение 1 , 2 , …, .Запишем ОСЛАУ в виде1112102122201 ( ⋮ ) + 2 ( ⋮ ) + ⋯ + ( ⋮ ) = ( ).⋮120Поскольку среди чисел 1 , 2 , …, хотя бы одно отлично от нуля, то это означает, чтостолбцы матрицы линейно зависимы, ч.т.д.1Докажем достаточность. Пусть столбцы матрицы линейно зависимы. Это значит,что существуют числа 1 , 2 , …, , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что1112102122201 ( ⋮ ) + 2 ( ⋮ ) + ⋯ + ( ⋮ ) = ( ).⋮120А это означает, что указанные числа 1 , 2 , …, являются нетривиальным решениемОСЛАУ, ч.т.д.Следствие.

ОСЛАУ из уравнений с неизвестными имеет нетривиальное решениетогда и только тогда, когда матрица является вырожденной квадратной матрицей.Если ОСЛАУ имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то она имеет бесконечномного нетривиальных решений, поскольку любая ЛК решений также будет являтьсярешением, что утверждает следующая теорема.Теорема 14.2. Пусть каждый из столбцов 1 , 2 , …, является решением ОСЛАУ.Тогда любая их ЛК также является решением ОСЛАУ.Доказательство. Подставим ЛК столбцов 1 , 2 , …, в ОСЛАУ, записанную вматричном виде и воспользуемся основными свойствами операций над матрицами:(1 1 + 2 2 + ⋯ + ) = (1 1 ) + (2 2 ) + ⋯ + ( ) == 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1 + 2 + ⋯ + = ,ч.

т. д.Решение ОСЛАУ методом Гаусса—ЖорданаОчевидно, что при выполнении следующих действий над уравнениями ОСЛАУполучится эквивалентная ОСЛАУ:1) перестановка двух уравнений,2) умножение некоторого уравнения на число ≠ 0,3) прибавление к некоторому уравнению другого уравнения, умноженного начисло ,4) вычёркивание уравнения вида 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + ⋯ + 0 ⋅ = 0.Указанные действия над уравнениями системы эквивалентны элементарнымпреобразованиям строк (ЭПС) основной матрицы системы :1) перестановка двух строк,2) умножение некоторой строки на число ≠ 0,3) прибавление к некоторой строке матрицы другой её строки, умноженной начисло ,4) вычёркивание нулевой строки.С помощью ЭПС можно привести матрицу к упрощённому виду:21000⋮(0∗000⋮0…………⋱…∗000⋮00 ∗ …1 ∗ …0 0 ⋯0 0 …⋮ ⋮ ⋱0 0 …∗∗00⋮00 ∗0 ∗1 ∗0 0⋮ ⋮0 0…………⋱…0000⋮1∗∗∗∗⋮∗…………⋱…∗∗∗.∗⋮∗)Здесь некоторые столбцов матрицы являются первыми столбцами единичнойматрицы (и поэтому они ЛНЗ), а остальные столбцы можно представить в виде их ЛК.В этом случае ранг матрицы равен , а базисный минор состоит из столбцовединичной матрицы.

Звёздочками обозначены произвольные элементы матрицы.Переменные , соответствующие базисным столбцам, называются базиснымипеременными, а остальные переменные называются свободными. В упрощённойОСЛАУ каждая базисная переменная содержится только в одном уравнении.Пусть, для определённости, базисными переменными являются 1 , 2 , …, . Запишемупрощённую ОСЛАУ:1 + ̃1,+1 +1 + ̃1,+2 +2 + ⋯ + ̃1 = 0, + ̃2,+1 +1 + ̃2,+2 +2 + ⋯ + ̃2 = 0,{ 2⋮ + ̃,+1 +1 + ̃,+2 +2 + ⋯ + ̃ = 0,где через ̃ обозначены соответствующие элементы упрощённой матрицы.Перенесём все свободные переменные в правую часть:1 = −̃1,+1 +1 − ̃1,+2 +2 − ⋯ − ̃1 , = −̃2,+1 +1 − ̃2,+2 +2 − ⋯ − ̃2 ,{ 2⋮ = −̃,+1 +1 − ̃,+2 +2 − ⋯ − ̃ .Теперь вместо свободных переменных можно подставлять любые числа, а базисныепеременные будут через них однозначно выражаться. Таким образом, общее решение(ОР) однородной системы имеет вид:1 = −̃1,+1 1 − ̃1,+2 2 − ⋯ − ̃1 − ,2 = −̃2,+1 1 − ̃2,+2 2 − ⋯ − ̃2 − ,⋮ = −̃,+1 1 − ̃,+2 2 − ⋯ − ̃ − ,+1 = 1 ,+2 = 2 ,⋮{ = − ,где 1 , 2 , …, − — произвольные числа.Запишем ОР ОСЛАУ в матричном виде:3−̃1,+1−̃1,+2−̃1−̃2,+1−̃2,+2−̃2⋮⋮⋮−̃−̃,+1−̃,+2 = 1+ 2+ ⋯ + −= 1 1 + 2 2 + ⋯ + − .010001⋮⋮⋮(⏟()()1 )⏟ 0⏟ 012−Заметим, что столбцы 1 , 2 , …, − являются ЛНЗ, потому что матрица, составленнаяиз них, имеет базисный минор порядка − , построенный на последних строках:−̃1,+1−̃2,+1⋮−̃,+110⋮( 0−̃1,+2−̃2,+2⋮−̃,+201⋮0… −̃1… −̃2⋱⋮… −̃.…0…0⋱⋮…1 )Общее решение ОСЛАУ является произвольной ЛК столбцов 1 , 2 , …, − : = 1 1 + 2 2 + ⋯ + − − ,где 1 , 2 , … , − — произвольные числа.Кроме того, каждый из столбцов 1 , 2 , …, − тоже является решением ОСЛАУ,потому что он получается из общего решения, если положить одно из чисел 1 , 2 , …,− равным 1, а остальные — равными нулю.Определение.

Упорядоченная совокупность столбцов 1 , 2 , …, называетсяфундаментальной совокупностью решений (ФСР) ОСЛАУ, если эти столбцы ЛНЗ,каждый из них является решением ОСЛАУ, а их ЛК является ОР ОСЛАУ.Таким образом, метод Гаусса—Жордана позволяет построить одну из ФСР ОСЛАУ. Онаназывается нормальной ФСР.Пример. Найти ФСР и ОР системы21 − 2 + 33 − 24 + 45 = 0,{41 − 22 + 53 + 4 + 75 = 0,21 − 2 + 3 + 84 + 25 = 0.Выпишем основную матрицу ОСЛАУ и приведём её к упрощённому виду:12 −1 3 −2 4(4 −2 51 7) ~ (02 −1 18 20−1/2 3/2 −1210 −15 −1) ~ (00 −2 10 −2−1/2 −1/29 0).01 −5 14(Последовательность ЭПС: вычитаем из третьей строки первую; из второй строки —первую строку, умноженную на 2; умножаем первую строку на 1/2. Прибавляем кпервой строке вторую строку, умноженную на 2; из третьей строки вычитаем вторуюстроку, умноженную на 2; умножаем вторую строку на −1; вычёркиваем нулевуюстроку.)Матрица системы приведена к упрощённому виду.

Базисные столбцы — первый ипятый. Базисные переменные: 1 , 5 . Свободные переменные: 2 , 3 , 4 .Запишем ОСЛАУ, соответствующую упрощённой матрице:111 − 2 − 3 + 94 = 0,{223 − 54 + 5 = 0.Базисные переменные оставим в левой части, а свободные перенесём в правую часть:111 = 2 + 3 − 94 ,{225 = −3 + 54 .Чтобы построить нормальную ФСР, полагаем одну из свободных переменныхравной единице, остальные — нулю, а базисные переменные выражаем черезсвободные:2 = 1,2 = 0,2 = 0,3 = 0,3 = 1,3 = 0,14 = 0 ⇒ 1 = ,21/215 = 0 ⇒ 1 =0 ;0( 0 )14 = 0 ⇒ 1 = ,21/205 = −1 ⇒ 2 =1 ;0( −1)4 = 1 ⇒ 1 = −9,−905 = 5 ⇒ 3 =0 .1( 5)Столбцы 1 , 2 , 3 образуют нормальную ФСР ОСЛАУ.Запишем ОР ОСЛАУ в матричном виде:51/21/2−9010 = 1 0 + 20 ,1 + 3100⏟⏟⏟ 5)( 0 )( −1)(12где 1 , 2 , 3 — произвольные числа.3Для удобства можно положить 1 = 2̃1 , 2 = 2̃2 и записать ОР в виде11−9200 = ̃1 0 + ̃22 + 30 ,010(0)(−2)( 5)где ̃1 , ̃2 , 3 — произвольные числа.Тогда столбцы120 ,0(0)102 ,0(−2)−9001( 5)тоже являются ФСР.Неоднородные СЛАУ (НСЛАУ)Неоднородной СЛАУ называется система вида11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1 , + 22 2 + ⋯ + 2 = 2 ,{ 21 1⋮1 1 + 2 2 + ⋯ + = ,где , — известные числа, — неизвестные.

В матричном виде: = ,где = ( )×1121=( ⋮11222⋮2… 1… 2⋱⋮ ),… 12 = ( ⋮ ),1 = ( 2 ).⋮Помимо основной матрицы системы , рассмотрим также расширенную матрицусистемы ∗ = (|), в которой к матрице справа приписан столбец .Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя быодно решение.6Заметим, что ОСЛАУ совместна всегда.Теорема 14.3 (Кронекера—Капелли). НСЛАУ совместна тогда и только тогда, когдаrang ∗ = rang .Доказательство необходимости. Пусть НСЛАУ совместна, т.е. имеет некотороерешение 1 , 2 , …, .

Запишем её в виде111211212221 ( ⋮ ) + 2 ( ⋮ ) + ⋯ + ( ⋮ ) = ( 2 ).⋮12Это означает, что столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы .Пусть rang = . Это означает, что у матрицы есть базисных столбцов (онилинейно независимы), а остальные её столбцы являются линейными комбинациямибазисных.

Поэтому и столбец можно представить в виде линейной комбинациибазисных столбцов матрицы .У матрицы ∗ на один столбец больше, чем у матрицы , поэтому её ранг не можетбыть больше + 1. Предположим, что rang ∗ = + 1. Тогда у матрицы ∗ долженбыть базисный минор порядка + 1, состоящий из + 1 линейно независимыхстолбцов. В их число должен входить столбец и ещё линейно независимыхстолбцов матрицы (т.е. базисных столбцов матрицы ). Но поскольку столбец является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы , то совокупностьбазисных столбцов матрицы и столбца является линейно зависимойсовокупностью столбцов.

Полученное противоречие доказывает, что rang ∗ < + 1.Но поскольку в матрице ∗ есть линейно независимых столбцов (это базисныестолбцы матрицы ), то rang ∗ = , ч.т.д.Доказательство достаточности. Пусть rang ∗ = rang = . Это значит, чтобазисный минор матрицы ∗ имеет порядок , как и базисный минор матрицы .Значит, в качестве базисного минора матрицы ∗ можно взять базисный минорматрицы , потому что матрица содержится в матрице ∗ .

По теореме о базисномминоре столбец является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы , аэто означает, что существуют такие числа 1 , 2 , …, , что111211212221 ( ⋮ ) + 2 ( ⋮ ) + ⋯ + ( ⋮ ) = ( 2 ),⋮12т.е. числа 1 , 2 , …, являются решением НСЛАУ, ч.т.д.7Теорема 14.4.1°. Пусть каждый из столбцов 1 , 2 является решением НСЛАУ = .

Тогдастолбец 1 − 2 является решением соответствующей ОСЛАУ = .2°. Пусть столбец 1 является решением НСЛАУ = , столбец 2 являетсярешением соответствующей ОСЛАУ = . Тогда столбец 1 + 2 являетсярешением НСЛАУ = .3°. Если НСЛАУ совместна, то её ОР имеет вид− = 0 + ∑ ,⍟=1где 0 — ЧР (частное решение) НСЛАУ (т.е. какое-либо одно её решение),1 , … , − — ФСР соответствующей ОСЛАУ = , — произвольные числа,т.е.ОР НСЛАУ = ЧР НСЛАУ + ОР ОСЛАУ.Доказательство.1°. Подставим столбец 1 − 2 в ОСЛАУ и воспользуемся основными свойствамиопераций с матрицами: (1 − 2 ) = 1 − 2 = − = , ч.