Lecture10 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 10Канонические уравнения поверхностей второго порядкаЭллиптический цилиндрОпределение.Эллиптическимцилиндром(илиэллиптическоицилиндрическоиповерхностью)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 2+= 1,2 2где > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническим уравнением эллиптического цилиндра, асоответствующая система координат — каноническойсистемои координат.Направляющеи эллиптического цилиндра являетсяэллипс, образующими — прямые, параллельные оси .Следующие уравнения также задают эллиптическиецилиндры(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи):222+2= 1,222+2= 1.Гиперболический цилиндрОпределение.

Гиперболическим цилиндром (илигиперболическои цилиндрическои поверхностью)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координатзадается уравнением2 2−= 1,2 2где > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническим уравнением гиперболическогоцилиндра,асоответствующаясистемакоординат — канонической системои координат.Направляющеигиперболическогоцилиндраявляется гипербола, образующими — прямые,параллельные оси .Следующиеуравнениятакжезадаютэллиптические цилиндры (ориентированные подругому относительно координатных осеи):12222−2= 1,222−2= 1,222−2= 1,222−2= 1,22−= 1.Параболический цилиндр2Определение.

Параболическим цилиндром (илипараболическоицилиндрическоиповерхностью)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением 2 = 2,где > 0. Это уравнение называется каноническимуравнениемпараболическогоцилиндра,асоответствующая система координат — каноническойсистемои координат.Направляющеи параболического цилиндра являетсяпарабола, образующими — прямые, параллельныеоси .Следующие уравнения также задают параболическиецилиндры(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи): 2 = 2, 2 = 2, 2 = 2, 2 = 2, 2 = 2.Эллипсоид2(√1 −ℎ222)+Определение. Эллипсоидом называется поверхность впространстве, которая в некоторои декартовои системекоординат задается уравнением2 2 2++ = 1,2 2 2где параметры > 0, > 0, > 0 называются полуосямиэллипсоида.

Это уравнение называется каноническимуравнением эллипсоида, а соответствующая системакоординат — канонической системои координат.Сечения эллипсоида плоскостями = ℎ при |ℎ| < , =ℎ при |ℎ| < и = ℎ при |ℎ| < — эллипсы.Например, если = ℎ, где |ℎ| < , то в сечении получим2 2ℎ2+= 1 − 2,2 2откуда2(√1 −ℎ222=1)— уравнение эллипса.2Если две полуоси равны, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Если всетри полуоси равны, то эллипсоид называется сферой.Однополостный гиперболоидОпределение.

Однополостным гиперболоидомназывается поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 2 2+− = 1,2 2 2где > 0, > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническимуравнениемоднополостногогиперболоида,асоответствующаясистемакоординат — канонической системои координат.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ —эллипсы.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ и =ℎ — гиперболы.Следующиеуравнениятакжезадаютоднополостные гиперболоиды (ориентированныепо-другому относительно координатных осеи):2222+2−2= 1,2222+2−2= 1.Двуполостный гиперболоидОпределение.

Двуполостным гиперболоидомназывается поверхность в пространстве,которая в некоторои декартовои системекоординат задается уравнением2 2 2− 2 − 2 + 2 = 1,где > 0, > 0, > 0. Это уравнениеназываетсяканоническимуравнениемдвуполостногогиперболоида,асоответствующая система координат —канонической системои координат.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ при|ℎ| > — эллипсы.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ и = ℎ — гиперболы.Следующиеуравнениятакжезадаютдвуполостныегиперболоиды(ориентированные по-другому относительнокоординатных осеи):3−2222−2+2= 1, −2222−2+2= 1.Конус второго порядкаОпределение.

Конусом второго порядка (иликоническоиповерхностьювторогопорядка)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 2 2+− = 0,2 2 2где > 0, > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническим уравнением конуса второго порядка, асоответствующая система координат — каноническойсистемои координат.Точка (0; 0; 0) называется вершиной конуса.Сечения конуса плоскостями = ℎ при ℎ ≠ 0 —эллипсы.Сечения конуса плоскостями = ℎ при ℎ ≠ 0 и = ℎпри ℎ ≠ 0 — гиперболы.Следующие уравнения также задают конусы второгопорядка (ориентированные по-другому относительнокоординатных осеи):2222+2−2= 0,2222+2−2= 0.Эллиптический параболоидОпределение.Эллиптическимпараболоидомназывается поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 22 = 2 + 2 ,где > 0, > 0.

Это уравнение называетсяканоническимуравнениемэллиптическогопараболоида,асоответствующаясистемакоординат — канонической системои координат.Сечения параболоида плоскостями = ℎ при ℎ > 0 —эллипсы.Сечения параболоида плоскостями = ℎ и = ℎ —параболы.Следующие уравнения также задают эллиптическиепараболоиды(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи):42 =22222+2, 2 =2+2.Гиперболический параболоидОпределение.Гиперболическимпараболоидом называется поверхность впространстве,котораявнекотороидекартовои системе координат задаетсяуравнением2 22 = 2 − 2 ,где > 0, > 0.

Это уравнение называетсяканоническимуравнениемгиперболическогопараболоида,асоответствующая система координат —канонической системои координат.Сечения параболоида плоскостями = ℎ приℎ ≠ 0 — гиперболы.Сечения параболоида плоскостями = ℎ и = ℎ — параболы.Следующие уравнения также задаютгиперболическиепараболоиды(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи):2 =2 =22222222222−22−, 2 =22, 2 =−22−, 2 =22−2,.Классификация поверхностей второго порядка (невырожденные случаи)1.2.3.4.5.Цилиндры: эллиптическии, гиперболическии, параболическии.Конус второго порядка.Эллипсоид.Гиперболоиды: однополостныи, двуполостныи.Параболоиды: эллиптическии, гиперболическии.Общее уравнение поверхности второго порядкаОпределение. Поверхностью второго порядка называется множество точек впространстве, которое в некоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением вида11 2 + 22 2 + 33 2 + 212 + 223 + 213 + 21 + 22 + 23 + = 0,5где 11 , 22 , 33 , 12 , 23 , 13 , 1 , 2 , 3 , ∈ ℝ, |11 | + |22 | + |33 | + |12 | + |23 | + |13 | ≠0.Уравнение поверхности второго порядка приводится к каноническому виду спомощью поворота и сдвига координатных осеи.Линейчатые поверхностиОпределение.

Поверхность называется линеичатои, если она состоит из прямых.Цилиндры, конус, однополостныи гиперболоид и гиперболическии параболоидявляются линеичатыми поверхностями.Теорема 10.1. Через каждую точку цилиндра проходит прямая, параллельная его осии целиком принадлежащая цилиндру.Доказательство. Для определенности рассмотрим22эллиптическиицилиндр+ 2 = 1.Пусть20 (0 , 0 , 0 ) — точка, принадлежащая цилиндру.

Тогдаее координаты удовлетворяют уравнению цилиндра:022+ 02 = 1. Проведем через эту точку прямую ,2параллельную оси . В качестве направляющеговектора прямои можно взять вектор ⃗ = {0; 0; 1}.Тогда параметрические уравнения прямои : = 0 ,{ = 0 , = 0 + .Произвольная точка прямои имеет координаты (0 , 0 , 0 + ). Подставив их вуравнение цилиндра, получим равенство02022+2= 1, которое выполняется в силу того,что точка 0 (0 , 0 , 0 ) принадлежит цилиндру (см. выше). Значит, любая точкапрямои лежит на цилиндре, а следовательно, прямая целиком принадлежитцилиндру, ч.т.д.

Аналогично для гиперболического и параболического цилиндра.Теорема 10.2. Через каждую точку конуса проходит прямая, содержащая его вершинуи целиком принадлежащая конусу.6222Доказательство. Рассмотрим конус 2 + 2 − 2 = 0.Возьмем на нем произвольную точку 0 (0 , 0 , 0 ),отличную от вершины (0; 0; 0). Координаты этоиточки удовлетворяют уравнению конуса:0222+ 02 − 02 = 0.2Проведем прямую через точки 0 и . Еенаправляющиивектор:⃗ = {0 , 0 , 0 },и = 0 ,параметрические уравнения: { = 0 , = 0 .Произвольная точка прямои имеет координаты (0 , 0 , 0 ). Подставим их вуравнение конуса:02 02 02 ( 2 + 2 − 2 ) = 0.⏟20Мы видим, что уравнение конуса выполняется, а значит, прямая целиком содержитсяв конусе, ч.т.д.Через вершину конуса проходит бесконечно много таких прямых.Теорема 10.3. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят дверазличные прямые, целиком принадлежащие этому параболоиду.2(0 + ) = (0 + )2 − (0 + )2 .Доказательство.

Для простоты рассмотримгиперболическии параболоид 2 = 2 − 2 .Возьмем произвольную точку 0 (0 , 0 , 0 ),принадлежащуюпараболоиду.Еекоординаты удовлетворяют уравнениюпараболоида: 20 = 02 − 02 . Рассмотримпроизвольную прямую , проходящую черезточку 0 . Запишем ее параметрическиеуравнения: = 0 + ,{ = 0 + , = 0 + .Потребуем,чтобыпрямаяцеликомпринадлежалапараболоиду.Подставимкоординаты произвольнои точки прямои вуравнение параболоида:Раскроем скобки и перенесем все в правую часть:(2 − 2 ) 2 + 2(0 − 0 − ) + ⏟02 − 02 − 20 = 0.07(2 − 2 ) 2 + 2(0 − 0 − ) = 0.Для того чтобы это уравнение выполнялось при всех , необходимо и достаточновыполнения двух условии:2 = 2 ,{0 − 0 − = 0.Докажем, что эта система имеет решения.

Поскольку направляющии вектор прямоиопределен с точностью до произвольного множителя, положим = 1. Тогда системапринимает вид:2 = 1,{ = 0 − 0 .Тогда = ±1, = 0 ∓ 0 . Следовательно, через точку 0 (0 , 0 , 0 ) проходят двепрямые, целиком содержащиеся в параболоиде: = 0 + , = 0 + ,1 : { = 0 + ,и 2 : { = 0 − , = 0 + (0 − 0 ) = 0 + (0 + 0 ).Гиперболическии параболоид 2 =222−2получается из параболоида 2 = 2 − 2 спомощью растяжения вдоль координатных осеи.