Lecture08 (Электронные лекции Колыбасовой)

Лекция 8Кривые второго порядкаЭллипсОпределение. Эллипсом называется кривая на плоскости, которая в некотороидекартовои системе координат имеет уравнение222+2= 1, где ≥ > 0. Этоуравнение называется каноническим уравнением эллипса, а указанная системакоординат — канонической системои координат.Теорема 8.1 (исследование формы эллипса).1) Эллипс симметричен относительно точки (0; 0), относительно оси и оси .|| ≤ ,2) Эллипс заключен внутри прямоугольника {|| ≤ .3) Точки (±, 0), (0, ±) принадлежат эллипсу.4) Эллипс может быть получен из окружности с помощью сжатия ее вдоль оси .Доказательство.1) При замене (, ) на (−, −) уравнение эллипса не меняется, поэтому онсимметричен относительно точки (0; 0). При замене (, ) на (, −) уравнениеэллипса не меняется, поэтому он симметричен относительно оси .

При замене(, ) на (−, ) уравнение эллипса не меняется, поэтому он симметриченотносительно оси .|| ≤ ,222) Из уравнения эллипса получаем 2 ≤ 1, 2 ≤ 1, откуда {|| ≤ .3) Координаты точек (±, 0), (0, ±) удовлетворяют уравнению эллипса.4)−−Рассмотрим окружность 2 + 2 = 2 . Ееуравнение можно переписать в виде2 2+= 1.2 2Теперь каждои точке (, ) окружностипоставим в соответствие точку (, ̃), где̃ = , что соответствует сжатию вдольоси враз.

Тогда координатыполученныхточекудовлетворяютуравнению эллипса 2 ̃ 2+= 1,ч. т. д.2 2−1Рассмотрим эллипс, заданныи уравнением1222+2= 1.21(, )1−−1 (−, 0)22 (, 0)2−Числоназываетсябольшойполуосьюэллипса, —малой полуосьюэллипса.Точки (±, 0) и(0, ±)называютсявершинамиэллипса.Точка(0; 0)называетсяцентромэллипса.Обозначим = √2 − 2 . Заметим, что < .Точки 1 (−, 0) и 2 (, 0) называются фокусами эллипса. Они лежат внутри эллипса,т.к. < .Отрезки 1 = 1 и 2 = 2 называются фокальными радиусами точки .Величина =называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что для любогоэллипса 0 ≤ < 1.Прямые 1 : = − и 2 : =называются директрисами эллипса.

Заметим, что онирасположены вне эллипса, т.к. < 1.Пусть 1 — расстояние от точки до директрисы 1 , 2 — расстояние от точки додиректрисы 2 .Особыи случаи: = , тогда = 0, = 0, фокусы 1 и 2 совпадают, и эллипспредставляет собои окружность радиуса с центром в начале координат. Уокружности нет директрис.Чем больше эксцентриситет, тем более «вытянутым» является эллипс.Теорема 8.2 (фокальное свойство эллипса). Эллипс222+2= 1 является множествомточек на плоскости, сумма расстоянии от которых до фокусов постоянна и равна 2:1 + 2 = 2.Доказательство.

Теорема состоит из двух утверждении: если точка (, )принадлежит эллипсу222+2= 1, то 1 + 2 = 2, и наоборот, если для некоторои2точки (, ) выполнено равенство 1 + 2 = 2, то точка принадлежит эллипсу2222+= 1.Докажем, что если точка (, ) принадлежит эллипсу, то 1 + 2 = 2. Заметим, что1 = √( + )2 + 2 , 2 = √( − )2 + 2 . Если точка (, ) принадлежит эллипсу, тоее координаты удовлетворяют уравнению эллипса2 −22222+2= 1. Выразим отсюда 2 = 2 и подставим в выражение для 1 :1 = √( + )2 + 2 −2 22√ 2 + 2 + 2 + 2 − 2 ==222 − 2 2=√ + 2 + 2 + 2 .2Заметим, что 2 − 2 = 2 , 2 + 2 = 2 .

Тогда221 = √ 2 2 + 2 + 2 = √( + ) = | + |.Заметим, что для всех точек эллипса || ≤ , и, поскольку < , то | | < . Поэтомупод модулем стоит положительная величина, и тогда1 = + .Аналогично получим2 = | − | = − .Теперь1 + 2 = + + − = 2,ч. т. д.Теперь докажем обратное утверждение: если для некоторои точки (, ) выполненоравенство 1 + 2 = 2, то точка принадлежит эллипсу222+2= 1.Подставив выражения для 1 и 2 в данное равенство, получим√( + )2 + 2 + √( − )2 + 2 = 2.Умножив левую и правую часть на разность корнеи, получим√( + )2 + 2 − √( − )2 + 2 = 2 .3Сложив полученные равенства, получим√( + )2 + 2 = + .Возведя в квадрат, придем к уравнению2 2 + + = + 2 ,2222откуда22+= 1.2 2 − 2Поскольку 2 − 2 = 2 , получим уравнение эллипса222+2= 1. Теорема полностьюдоказана.Благодаря фокальному своиству эллипса, можно дать инвариантное (т.е.

независящее от системы координат) определение эллипса: эллипсом называетсямножество точек на плоскости, сумма расстоянии от которых до двух фиксированныхточек 1 и 2 постоянна и больше длины отрезка 1 2 .На этом своистве основан практическии способ построения эллипса: нужно взятьнитку длинои 2 и закрепить ее концы в точках 1 и 2 . Тогда, двигая карандаш поплоскости так, чтобы он все время касался натянутои нити, можно начертить эллипс.Теорема 8.3 (директориальное свойство эллипса).

Эллипс222+2= 1 при ≠ является множеством точек на плоскости, отношение расстоянии от которых дофокуса и до соответствующеи директрисы постоянно равно : 1 = 2 = < 1.12Доказательство. Сначала докажем, что если точка (, ) принадлежит эллипсу22= 1, то11=2222+= . При доказательстве предыдущеи теоремы получено, что еслиточка (, ) принадлежит эллипсу, то1 = + = + ,2 = − = − .11С другои стороны, 1 = + , 2 = − , поэтому=22= , ч.т.д.Теперь докажем, что если для некоторои точки (, ) выполнено условиеэта точка принадлежит эллипсу222+211= , то= 1.

Если 1 = 1 , то4√( + )2 + 2 = ( + ) = + = + .Возведя в квадрат, получим уравнение эллипса (см. доказательство фокальногосвоиства эллипса). Аналогично доказывается, что если для некоторои точки (, )выполнено условие22= , то эта точка принадлежит эллипсу222+2= 1.Теорема полностью доказана.Директориальное своиство эллипса позволяет дать другое инвариантноеопределение эллипса: эллипсом называется окружность или множество точек наплоскости, отношение расстоянии от которых до фиксированнои точки и дофиксированнои прямои , не содержащеи точку , постоянно и меньше 1.Параметрические уравнения эллипсаПусть = cos ,{ = sin .=2(, )=− = 232−==022Тогда+ 2=2cos 2 + sin2 = 1, т.е.данныепараметрическиеуравнениязадаютэллипс.

Если ∈[0, 2],тоточка(, )пробегаетвесь эллипс один разпротивчасовоистрелкиивозвращаетсявисходное положение.5Касательная к эллипсу0 (0 , 0 )где =|Пусть прямая касаетсяэллипса = cos ,{ = sin , ∈ [0, 2] вточке0 (0 , 0 ).Посколькуточка0 (0 , 0 ) принадлежитэллипсу,то∃0 :0 = cos 0 ,{0 = sin 0 .Запишемуравнениекасательнои: = ( − 0 ) + 0 ,находится по формуле для производнои функции, заданнои =0параметрически:( sin )′ cos 0 2 0===− 2⋅ .|| =0 ( cos )′ =− sin 0 00Подставим это в уравнение касательнои: 2 0 = − 2 ⋅ ( − 0 ) + 0 , 0откуда0 0 02 02+ 2 = 2 + 2,⏟21т.е.0 0 + 2 = 1 — уравнение касательной к эллипсу.26Оптическое свойство эллипса0 (0 , 0 )1⃗1 (−, 0)22 (, 0)Теорема 8.4. Луч света,исходящии из одногофокуса эллипса, послеотражения от эллипсапопадает в другои егофокус.Доказательство.Рассмотримпроизвольнуюточкуэллипса0 (0 , 0 ).Проведемчерезнеекасательную .

Обозначимвектор нормали к ⃗ . Обозначим углычерез между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 1 ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через0 2 и вектором и соответственно.Для доказательства теоремы достаточно показать, что = .Поскольку уравнение касательнои к эллипсу имеет вид0 2+0 2⃗ = {02 , 02}.= 1, то ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Заметим, что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 0 = {0 + , 0 }, |1 0 | = 1 , 2 0 = {0 − , 0 }, |2 0 | = 2 , поэтому02 0 02++ | |1 + 02 | | + 0 |⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 0 )|1|(2 2 2 =cos ====,⃗ | ⋅ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⋅⋅⋅⋅||||||||||1 0111|02 0 02| 2 − 2 + 2 | |1 − 02 | | − 0 |⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1|()|2 0 =cos ====,⃗ | ⋅ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⋅⋅⋅⋅||||||||||2 0222поскольку при доказательстве фокального своиства эллипса было получено, что 1 =| + 0 |, 2 = | − 0 |.

Отсюда следует, что = , ч.т.д.7Полярное уравнение эллипса = 1(, )−1 (−, 0)2 (, 0)−Исключив из этих двух равенств переменную , получимВведемполярныекоординатыследующимобразом. Пусть = 1 , — уголнаклона отрезка1 к оси .Тогда + = cos (из рисунка), = + (выражение длялевогофокальногорадиуса).

= cos − + ,откуда =−1− cos .Обозначив = − (эта величина называется фокальным параметром эллипса),получим=.1 − cos Это и есть полярное уравнение эллипса.ГиперболаОпределение. Гиперболой называется кривая на плоскости, которая в некотороидекартовои системе координат имеет уравнение222−2= 1, где > 0, > 0. Этоуравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а указанная системакоординат — канонической системои координат.Теорема 8.5 (исследование формы гиперболы).1) Гипербола симметрична относительно точки (0; 0) и относительно осеи и .2) Гипербола лежит снаружи полосы || < . Гипербола не пересекает ось ,поэтому она состоит из двух ветвеи, расположенных в левои и правоиполуплоскости относительно оси .83) Точки (±, 0) принадлежат гиперболе.4) Гипербола имеет наклонные асимптоты = ± при → ±∞.Определение.

Прямая = + называется наклонной асимптотой графикафункции = (), если () = + + (1) при → +∞ или → −∞.Доказательство.1) При замене (, ) на (−, −) уравнение гиперболы не меняется, поэтому онасимметрична относительно точки . При замене (, ) на (, −) уравнениегиперболы не меняется, поэтому она симметрична относительно оси . Призамене (, ) на (−, ) уравнение гиперболы не меняется, поэтому онасимметрична относительно оси .2) Из уравнения гиперболы получаем 2 = 2 (1 +22), откуда || ≥ .3) Координаты точек (±, 0) удовлетворяют уравнению гиперболы.4) Выразим из уравнения гиперболы:22 2222 = ( 2 − 1) = 2 (1 − 2 ),221√ = ± 1 − 2 = ± (1 − 2 + ( 2 )) = ± + (1) при → ±∞,2а это и означает, что прямые = ± являются наклонными асимптотамигиперболы при → ±∞.Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением1=− 111 (−, 0)−− −22−2= 1.2=22(, )22 (, 0)Точки 1 (−, 0) и 2 (, 0) называются фокусами гиперболы.Числа и называютсяполуосямигиперболы.(±, 0)Точкиназываютсявершинамигиперболы.Точка(0; 0)называетсяцентромгиперболы.Обозначим =√2 + 2 .Заметим, что >.Отрезки 1 = 1 и 2 = 2 называются фокальными радиусами точки .9Величина =называется эксцентриситетом гиперболы.

Заметим, что для любоигиперболы > 1.Прямые 1 : = − и 2 : = называются директрисами гиперболы.Пусть 1 — расстояние от точки до директрисы 1 , 2 — расстояние от точки додиректрисы 2 .При = гипербола называется равносторонней.222−2= 1 — уравнение сопряжённой гиперболы (она изображена пунктиром).Сопряженная гипербола имеет такие же асимптоты, а ее фокусы лежат на оси .Теорема 8.6 (фокальное свойство гиперболы). Гипербола222−2= 1 являетсямножеством точек на плоскости, модуль разности расстоянии от которых до фокусовпостоянен и равен 2: |1 − 2 | = 2.Докажите самостоятельно.Благодаря фокальному своиству гиперболы, можно дать инвариантное (т.е.