В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 9
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 9 страницы из PDF
¤ · ® ¢»·¨±«¥¨¨ ´³ª¶¨© ®² ¬ ²°¨¶. ±«¨ ´³ª¶¨¿ f (x) ¤®±² ²®·® £« ¤ª ¿,².¥. ¨¬¥¥² ¤®±² ²®·® ¬®£® ¯°®¨§¢®¤»µ, ²® ¤«¿ ¥¥ ¬®¦® 0 ¯¨± ²¼ ´®°¬³«³¥©«®° , ª®00 ()f()f²®° ¿ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¤®±² ²®·® ¬®£® ·«¥®¢, f (t) = f () + 1! (t ) + 2! (t )2 + : : : +f m () (t )m + r (¢ ª ·¥±²¢¥ ¯®±«¥¤¥£® ±« £ ¥¬®£® ¬®¦® ¢§¿²¼, ¯°¨¬¥°, ®±² ²®·»©mm!0 110B .
. . . . . CC, ²®·«¥ ¢ ´®°¬¥ £° ¦ ). ±«¨ ¬ ²°¨¶ A | ¦®°¤ ®¢ ª«¥²ª , A = B@ 1A()0f ()BBf (A) = BB@f 0 ()1!...:::...f ()f (n 1) ()(n 1)!...f 0()1!01CCCC, ².¥. § ·¥¨¥ ´³ª¶¨¨ f (A) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ²®«¼ª® § ·¥A0f ()¨¥¬ ´³ª¶¨¨ f (t) ¨ ¥¥ n 1 ¯°®¨§¢®¤®© ¢ ²®·ª¥ t = , ¢±¥ ¯°®¨§¢®¤»¥ ¡®«¥¥ ¢»±®ª¨µ ¯®°¿¤ª®¢ (².¥. ¢±¥ ¯®±«¥¤³¾¹¨¥ ±« £ ¥¬»¥ ´®°¬³«» ¥©«®° ) ¤ ¾² ³«¥¢®© ¢ª« ¤. ® ¥±²¼, ¬» ¬®¦¥¬¢§¿²¼ ´®°¬³«³ ¥©«®° ¤«¿ ½²®© ´³ª¶¨¨, ®¡°³¡¨²¼ ¥¥ n 1-© ¯°®¨§¢®¤®©, ¨ ¬» ¯®«³·¨¬ ¬®£®·«¥ p(t), ¯°¨·¥¬ p(A) = f (A), ¢»·¨±«¿²¼ § ·¥¨¥ ¬®£®·«¥ ®² ¬ ²°¨¶» ±«¨0 A1 ¬» ³¬¥¥¬.0 1...A, £¤¥¬ ²°¨¶ ¯°®¨§¢®«¼ , ²® ¥¥ ³¦® ¯°¨¢¥±²¨ ª ¦®°¤ ®¢®© ´®°¬¥, A0 = @0Am0 f (A1)0 1...A ¨ f (A) = Cf (A0)C 1,A1 ; : : : ; Am | ¦®°¤ ®¢»¥ ª«¥²ª¨.
.ª. f (A0) = @0f (Am)²® ´®°¬³«³ ¥©«®° ¬ ¤®±² ²®·® ®¡°³¡¨²¼ k 1-© ¯°®¨§¢®¤®©, £¤¥ k | ¬ ª±¨¬ «¼»©° §¬¥° ¦®°¤ ®¢®© ª«¥²ª¨ ¢ ¦®°¤ ®¢®© ´®°¬¥ ¬ ²°¨¶» A, ²®£¤ ¬» ¯®«³·¨¬ ² ª®© ¬®£®·«¥p(t), ·²® p(A) = f (A). ²®² ¬®£®·«¥ §»¢ ¥²±¿ ¨²¥°¯®«¿¶¨®»¬.®¯°®±: ®·¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ f (A) ¥ § ¢¨±¨² ®² ±¯®±®¡ ¯°¨¢¥¤¥¨¿ ª ¦®°¤ ®¢®© ´®°¬¥ ?2.13¢¥¹¥±²¢«¥¨¥ ¨ ª®¬¯¥ª±¨´¨ª ¶¨¿¢¥¹¥±²¢«¥¨¥¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.13.1 ³±²¼ V | ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ª±»µ ·¨±¥« C . ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²° ±²¢® VR, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ²¥µ ¦¥ ¢¥ª²®°®¢, ·²® ¨ V , ²®«¼ª® ¢¬¥±²® ®¯¥° ¶¨¨³¬®¦¥¨¿ ¢±¥ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« ¬» ®£° ¨·¨¬±¿ ³¬®¦¥¨¥¬ ²®«¼ª® ¢¥¹¥±²¢¥»¥ ·¨±« . ®£¤ VR ¡³¤¥² «¨¥©»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ ¤ ¯®«¥¬ ¢¥¹¥±²¢¥»µ ·¨±¥« R, ®® §»¢ ¥²±¿®¢¥¹¥±²¢«¥¨¥¬ ¯°®±²° ±²¢ V .³±²¼ e1; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V , ²®£¤ ® ¥ ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¯°®±²° ±²¢ VR, ² ª ª ª ¥ ¢±¥ ¢¥ª²®° ¿¢«¿¾²±¿ ¨µ «¨¥©»¬¨ ª®¬¡¨ ¶¨¿¬¨ ± ¢¥¹¥±²¢¥»¬¨ ·¨±« ¬¨, ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« ¬» ¡®«¼¸¥ ¥ ¬®¦¥¬ ³¬®¦ ²¼.
§¨±®¬ ¢ VR ¡³¤³² ¢¥ª²®° e1 ; : : : ; en; ie1; : : : ; ien (¯°®¢¥°¼²¥), ±«¥¤®¢ ²¥«¼® dimRVR = 2 dimC V (¨¤¥ª± ³ dim ¥¯®¬¨ ¥², ¤ ª ª¨¬ ¯®«¥¬ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ° §¬¥°®±²¼ ¯°®±²° ±²¢ ).29¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.13.2 ³±²¼ ¤ ®¯¥° ²®° f : V ! V , ²®£¤ ½²®² ®¯¥° ²®°, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¯°®±²° ±²¢¥ VR, §»¢ ¥²±¿ ®¢¥¹¥±²¢«¥¨¥¬ ®¯¥° ²®° f ¨ ®¡®§ · ¥²±¿ fR.®±¬®²°¨¬, ª ª ±¢¿§ » ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®°®¢ f ¨ fR. ³±²¼ ¢ ¡ §¨±¥ e1 ; : : : ; en ¯°®±²° ±²¢ Vf (ek ) = cjk ej . ²°¨¶³ Af = (cjk ) ®¯¥° ²®° f ¬®¦® ° §«®¦¨²¼ ¢¥¹¥±²¢¥³¾ ¨ ·¨±²® ¬¨¬³¾· ±²¼, ².ª. ¥¥ ½«¥¬¥²» | ½²® ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« , ².¥. Af = A + iB , £¤¥ A = (Re cjk ),B = (Im cjk).A B .®£¤ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° fR ¢ ¡ §¨±¥ e1; : : : ; en ; ie1; : : : ; ien ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ AfR = BA®±·¨² ¥¬ det AfR , ¤«¿ ·¥£® ±¤¥« ¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ½«¥¬¥² °»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ¤ ±²°®ª ¬¨ ¨±²®«¡¶ ¬¨ ¬ ²°¨¶» AfR :¯®½²®¬³ A B A iB B iA !B A !BA i(A iB ) = A iB0! A B iB B iAA ++ iBB A + iB ;det AfR = det(A iB ) det(A + iB ) = det(Af ) det Af = j det Af j2 :®¬¯«¥ª± ¿ ±²°³ª²³° ¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.13.3 ³±²¼ V | ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¤ R.
®¬¯«¥ª±®© ±²°³ª²³°®© V §»¢ ¥²±¿ ² ª®© «¨¥©»© ®¯¥° ²®° j : V ! V , ·²® j 2 = id.®£¤ ¯°®±²° ±²¢® V ¬®¦® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¤ C , ² ª ª ª V ¬®¦® ¢¢¥±²¨ ®¯¥° ¶¨¾ ³¬®¦¥¨¿ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« : (a + ib)v := av + bj (v). ®, ·²®½²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª®°°¥ª²® (±¢®©±²¢ v-viii ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ ), ¯°®¢¥°¿¥²±¿²°¨¢¨ «¼®.¥¬¬ ±²¢¥1)2.13.4 ³±²¼V .
®£¤ dim V ·¥² ;j | ª®¬¯«¥ª± ¿ ±²°³ª²³° ¢¥¹¥±²¢¥®¬ ¢¥ª²®°®¬ ¯°®±²° -2) ¢ ¯®¤µ®¤¿¹¥¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° j ¨¬¥¥² ¢¨¤ Aj =0EE0.®ª § ²¥«¼±²¢®.1. ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ Ve ¯°®±²° ±²¢® V , ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¥ ª ª ª®¬¯«¥ª±®¥ (± ¯®¬®¸¼¾ ª®¬¯«¥ª±®© ±²°³ª²³°» j ). §¬¥°®±²¼ ¯°®±²° ±²¢ Ve ª®¥· , ².ª. ¯® ¡ §¨±³ ¯°®±²° ±²¢ V¬®¦® ° §«®¦¨²¼ «¾¡®© ¢¥ª²®° (¢®§¬®¦® ¥®¤®§ ·®). ³±²¼ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ Ve , ²®£¤ e1 ; : : : ; en; en+1 = j (e1); : : : ; e2n = j (en) ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ V , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, dim V = 2n.2. .ª.
j (ei ) = en+i ¨ j (en+i ) = ei ¤«¿ i = 1; : : : ; n, ²® ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ¨¬¥¥²³ª § »© ¢¨¤.®¬¯«¥ª±¨´¨ª ¶¨¿¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.13.5 ³±²¼ V | ¢¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ¤ ¯®«¥¬ R. ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²° ±²¢® VC = V V = f(a; b) : a; b 2 V g ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ª®¬¯«¥ª±³¾ ±²°³ª²³°³ ±«¥¤³¾¹¨¬®¡° §®¬: j (a; b) := ( b; a) (¥²°³¤® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® j 2 = id). °®±²° ±²¢® ± ² ª®© ª®¬¯«¥ª±®© ±²°³ª²³°®© §»¢ ¥²±¿ ª®¬¯«¥ª±¨´¨ª ¶¨¥© ¯°®±²° ±²¢ V .®ª ¦¥¬, ·²® dimC VC = dimRV .
±«¨ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V , ²®(e1; 0); : : : ; (en ; 0) ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ VC . ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯®±ª®«¼ª³ j (ei ; 0) = (0; ei), ²®³¬®¦¥¨¥¬ ¬¨¬³¾ ¥¤¨¨¶³ ¬» ¬®¦¥¬ ¯®«³·¨²¼ ¢¥ª²®° (0; e1); : : : ; (0; en) ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®,«¾¡®© ¢¥ª²®° (a; b), £¤¥ a; b 2 V .30¯°¥¤¥«¥¨¥ 2.13.6 ±«¨ ¤ ®¯¥° ²®° f : V ! V , ²® ®¯¥° ²®° fC : VC ! VC , § ¤ »©´®°¬³«®© fC (a; b) := (fa; fb), §»¢ ¥²±¿ ª®¬¯«¥ª±¨´¨ª ¶¨¥© ®¯¥° ²®° f .¥£ª® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ² ª ®¯°¥¤¥«¥»© fC ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¡³¤¥² «¨¥©»¬ ®¯¥° ²®°®¬. ±«¨Af | ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¢ ¡ §¨±¥ e1 ; : : : ; en, ²® ½² ¦¥ ¬ ²°¨¶ ¡³¤¥² ¬ ²°¨¶¥© ®¯¥° ²®° fC¢ ¡ §¨±¥ (e1; 0); : : : ; (en ; 0).®±¬®²°¨¬, ·²® ¡³¤¥², ¥±«¨ ª ¢¥ª²®°®¬³ ¯°®±²° ±²¢³ ¯°¨¬¥¨²¼ ª®¬¯«¥ª±¨´¨ª ¶¨¾, ¯®²®¬ ®¢¥¹¥±²¢«¥¨¥.²¢¥°¦¤¥¨¥ 2.13.7 ¥ª²®°»¥ ¯°®±²° ±²¢ (VC )R ¨ V V ª ®¨·¥±ª¨ ¨§®¬®°´».®ª § ²¥«¼±²¢®.
® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, VC ¨ V V ±®¢¯ ¤ ¾² ª ª ¬®¦¥±²¢ , ¯®½²®¬³ (VC )R ¨V V ±®¢¯ ¤ ¾² ª ª ¬®¦¥±²¢ . ¯¥° ¶¨¿ ±«®¦¥¨¿ ¯°¨ ª®¬¯«¥ª±¨´¨ª ¶¨¨ ¨ ¯°¨ ®¢¥¹¥±²¢«¥¨¨ ³ ± ¥ ¬¥¿« ±¼, ª ®¯¥° ¶¨¨ ³¬®¦¥¨¿ ±ª «¿°» ¬» ± · « ¤®¡ ¢¨«¨ ³¬®¦¥¨¥ ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« , § ²¥¬ ¥£® § ¯°¥²¨«¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ®¯¥° ¶¨¿ ³¬®¦¥¨¿ ²®¦¥ ¥ ¨§¬¥¨« ±¼. ·¨² (VC )R ¨ V V ±®¢¯ ¤ ¾² ª ª «¨¥©»¥ ¯°®±²° ±²¢ . ª¦¥, ª ª ¯°¨ ¤¥©±²¢¨¿µ ± ª®¬¯«¥ª±»¬¨ ·¨±« ¬¨, · ±²® ¢¬¥±²® ¯ ° (a; b) 2 VC ¬» ¡³¤¥¬¯¨± ²¼ a + ib.¥¬¬ 2.13.8 ±«¨ f : V ! V | ®¯¥° ²®° ¢ ¢¥¹¥±²¢¥®¬ ¢¥ª²®°®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ ¨dim V > 1, ²® ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ V ±³¹¥±²¢³¥² «¨¡® ®¤®¬¥°®¥, «¨¡® ¤¢³¬¥°®¥ ¨¢ °¨ ²®¥¯®¤¯°®±²° ±²¢®.®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ dim V = 1, ²® ³²¢¥°¦¤¥¨¥ «¥¬¬» ®·¥¢¨¤®. ±«¨ dim V > 1, ²®¯³±²¼ = + i | ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥ ®¯¥° ²®° fC . ®£¤ ¢ VC ¥±²¼ ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®°a + ib, a; b 2 V , ®²¢¥· ¾¹¨© ±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾ . ®£¤ fC (a + ib) = ( + i )(a + ib) = a b + i(b + a);® ± ¤°³£®© ±²®°®» fC (a + ib) = f (a) + if (b), ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, f (a) = a b ¨ f (b) = b + a..ª.
¨ | ½²® ¢¥¹¥±²¢¥»¥ ·¨±« , ²® f (a); f (b) 2 ha; bi, § ·¨², ha; bi | ¨¢ °¨ ²®¥¯®¤¯°®±²° ±²¢®. ·¥¢¨¤®, ·²® ®® «¨¡® ®¤®¬¥°®¥, «¨¡® ¤¢³¬¥°®¥ ( ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®® ¢±¥£¤ ¡³¤¥² ¯®«³· ²¼±¿ ¤¢³¬¥°»¬, ¥±«¨ 6= 0).33.1 ¢ª«¨¤®¢» ¨ ³¨² °»¥ ¯°®±²° ±²¢ ¢ª«¨¤®¢» ¨ ³¨² °»¥ ¯°®±²° ±²¢ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 3.1.1 ¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® V ¤ ¯®«¥¬ R §»¢ ¥²±¿ ¥¢ª«¨¤®¢»¬, ¥±«¨ ¥¬ ®¯°¥¤¥«¥ ´³ª¶¨¿ f : V V ! R (®¡®§ · ¥²±¿ f (a; b) = (a; b) ¨ §»¢ ¥²±¿ ±ª «¿°»¬¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢ ¬:1) «¨¥©®±²¼ ¯® ¢²®°®¬³ °£³¬¥²³: (a; b + c) = (a; b) + (a; c) ¤«¿ «¾¡»µ a; b; c 2 V , 2 R;2) ±¨¬¬¥²°¨·®±²¼: (b; a) = (a; b) ¤«¿ «¾¡»µ a; b 2 V ;3) ¯®«®¦¨²¥«¼ ¿ ®¯°¥¤¥«¥®±²¼: (a; a) > 0 ¤«¿ «¾¡®£® a 2 V , ¯°¨·¥¬, ¥±«¨ (a; a) = 0, ²®a = 0.¨¤®, ·²® ¡« £®¤ °¿ ¢²®°®¬³ ±¢®©±²¢³ ½² ´³ª¶¨¿ ² ª¦¥ ¡³¤¥² «¨¥©®© ¨ ¯® ¯¥°¢®¬³ °£³¬¥²³, ².¥.
® ¡¨«¨¥© .¯°¥¤¥«¥¨¥ 3.1.2 ¨¥©®¥ ¯°®±²° ±²¢® V ¤ ¯®«¥¬ C §»¢ ¥²±¿ ³¨² °»¬ (¨«¨½°¬¨²®¢»¬), ¥±«¨ ¥¬ ®¯°¥¤¥«¥ ´³ª¶¨¿ f : V V ! C (®¡®§ · ¥²±¿ f (a; b) = (a; b), §»¢ ¥²±¿ ±ª «¿°»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢ ¬:1) «¨¥©®±²¼ ¯® ¢²®°®¬³ °£³¬¥²³: (a; b + c) = (a; b) + (a; c) ¤«¿ «¾¡»µ a; b; c 2 V , 2 C ;2) ½°¬¨²®¢®±²¼: (b; a) = (a; b) ¤«¿ «¾¡»µ a; b 2 V ;3) ¯®«®¦¨²¥«¼ ¿ ®¯°¥¤¥«¥®±²¼: (a; a) > 0, ¯°¨·¥¬, ¥±«¨ (a; a) = 0, ²® a = 0.
.ª. (a; a) =(a; a) (±¢®©±²¢® 2), ²® ·¨±«® (a; a) ¢¥¹¥±²¢¥®, ¨ ¥° ¢¥±²¢® (a; a) > 0 ¨¬¥¥² ±¬»±«.31±¯®«¼§³¿ ¢²®°®¥ ±¢®©±²¢® ¬®¦® ¯®«³·¨²¼, ·²® (a + b; c) = (a; c) + (b; c), ².¥. ® ¯®«³( ²¨)«¨¥© ¯® ¯¥°¢®¬³ °£³¬¥²³, ² ª ¿ ´³ª¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ ¯®«³²®° «¨¥©®©.°¨¬¥°:³±²¼ V = K[t] | ¯°®±²° ±²¢® ¬®£®·«¥®¢ ¤ ¯®«¥¬ K (½²® ®¤¨ ¨§ ¥¬®£¨µ ±«³· ¥¢,ª®£¤ ª®¥·®¬¥°®±²¼ ¯°®±²° ±²¢ ¥ ¨£° ¥² ±³¹¥±²¢¥®© °®«¨ ¨ ¥ ®¡¿§ ²¥«¼® ®£° ¨·¨¢ ²¼±¿ ¬®£®·«¥ ¬¨ ´¨ª±¨°®¢ ®© ±²¥¯¥¨), ¢®§¼¬¥¬ ¤¢ ¯°®¨§¢®«¼»µ ¢¥¹¥±²¢¥»µ ·¨±« a; b, a < b.
¯°¥¤¥«¨¬±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤¢³µ ¬®£®·«¥®¢ p(t); q (t) ¯® ±«¥¤³¾¹¥© ´®°Rb¬³«¥: (p(t); q (t)) = a p(t)q (t) dt. ®, ·²® ¢»¯®«¥» ¯¥°¢»¥ ¤¢ ³±«®¢¨¿ ±ª «¿°®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿,±° §³ ¢»²¥ª ¥²¨§ ±¢®©±²¢ ¨²¥£° « , ¯°®¢¥°¨¬ ¯®«®¦¨²¥«¼³¾ ®¯°¥¤¥«¥®±²¼. ¥©±²¢¨²¥«¼®,Rbp2 (t) dt > 0, ¨²¥£° « ®² ¥®²°¨¶ ²¥«¼®© ´³ª¶¨¨ ¥®²°¨¶ ²¥«¥, ¯°¨·¥¬, ¥±«¨R(pb(pt)2;(pt)(tdt)) == 0,a ²®p(t) 0. «®£¨·®, ¤«¿ ¯°®±²° ±²¢ ¬®£®·«¥®¢ ¤ ¯®«¥¬ C ±ª «¿°®¥aRb¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬®¦® § ¤ ²¼ ´®°¬³«®© (p(t); q (t)) = a p(t)q (t) dt.¯°¥¤¥«¥¨¥3.1.3 ¢ª«¨¤®¢» ¨ ³¨² °»¥ ¯°®±²° ±²¢ §»¢ ¾²±¿ £¨«¼¡¥°²®¢»¬¨.p¯°¥¤¥«¥¨¥(a; a).3.1.4«¨®© ¢¥ª²®° a ¢ £¨«¼¡¥°²®¢®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«® jaj =²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª®°°¥ª²®, ².ª.